高中數(shù)學(xué)人教B版5本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 章末綜合測評第3章

章末綜合測評(三)數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.設(shè)S(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，則()(n)共有n項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)(n)共有n＋1項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)(n)共有n2－n項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)(n)共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)【解析】S(n)共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).【答案】D2.數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時，an－an－1＝2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()－2 －1 －3【解析】計算知a1＝1，a2＝4,a3＝9，a4＝16，∴可猜想an＝n2.【答案】B3.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N＋成立，則a，b，c的值為()＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4) ＝b＝c＝eq\f(1,4)＝0，b＝c＝eq\f(1,4) D.不存在這樣的a，b，c【解析】∵等式對任意n∈N＋都成立，∴當(dāng)n＝1,2,3時也成立.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋c，,1＋2×3＝322a－b＋c，,1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝c＝\f(1,4).))【答案】A4.下列代數(shù)式，n∈N＋，能被13整除的是()＋5n ＋1＋52n＋1－1＋1 ＋1＋3n＋2【解析】當(dāng)n＝1時，n3＋5n＝6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91.只有91能被13整除.【答案】D5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上()B.(k＋1)2\f(k＋14＋k＋12,2)D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】當(dāng)n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.【答案】D6.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除時，當(dāng)n＝k＋1時，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為()·3(4k＋1)＋25(34k＋1＋52k＋1)·34k＋1＋52·52k＋1＋52k＋1(34k＋1＋52k＋1)【解析】34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1變形中必須出現(xiàn)n＝k時歸納假設(shè)，故變形為56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1).【答案】A7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋…＋eq\f(1,n3)<2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)時，第一步應(yīng)驗證不等式()＋eq\f(1,23)<2－eq\f(1,2) ＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)<2－eq\f(1,3)＋eq\f(1,23)<2－eq\f(1,3) ＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)<2－eq\f(1,4)【解析】∵n≥2，第一步應(yīng)是n＝2時，1＋eq\f(1,23)<2－eq\f(1,2).【答案】A8.設(shè)n∈N＋，則4n與3n的大小關(guān)系是()>3n ＝3n<3n D.不確定【解析】4n＝(1＋3)n.根據(jù)貝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n×3＝1＋3n>3n，即4n>3n.【答案】A9.若k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱有對角面的個數(shù)為()(k) －1＋f(k)(k)＋k (k)＋2【解析】由n＝k到n＝k＋1時增加的對角面的個數(shù)與底面上由n＝k到n＝k＋1時增加的對角線的條數(shù)一樣，設(shè)底面為A1A2…Ak，n＝k＋1時底面為A1A2A3…AkAk＋1，增加的對角線為A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有k－1條，因此，對角面也增加了k－1個.【答案】B10.用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,2)＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝eq\f(sin\f(2n＋1,2)α·cos\f(2n－1,2)α,sinα)(α≠kπ，k∈Z，n∈N＋)，在驗證n＝1時，左邊計算所得的項是()\f(1,2)\f(1,2)＋cosα\f(1,2)＋cosα＋cos3α\f(1,2)＋cosα＋cos2α＋cos3α【解析】首項為eq\f(1,2)，末項為cos(2×1－1)α＝cosα.【答案】B11.如果命題P(n)對于n＝k成立，則它對n＝k＋2亦成立，又若P(n)對n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是()(n)對所有自然數(shù)n成立(n)對所有偶自然數(shù)n成立(n)對所有正自然數(shù)n成立(n)對所有比1大的自然數(shù)n成立【解析】因為n＝2時，由n＝k＋2的“遞推”關(guān)系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次類推，因此，命題P(n)對所有的偶自然數(shù)n成立.【答案】B12.在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為()【導(dǎo)學(xué)號：38000065】\f(1,n－1n＋1) \f(1,2n2n＋1)\f(1,2n－12n＋1) \f(1,2n＋12n＋2)【解析】∵a1＝eq\f(1,3)，由Sn＝n(2n－1)an得，a1＋a2＝2(2×2－1)a2，解得a2＝eq\f(1,15)＝eq\f(1,3×5)，a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)a3，解得a3＝eq\f(1,35)＝eq\f(1,5×7)，a1＋a2＋a3＋a4＝4(2×4－1)a4，解得a4＝eq\f(1,63)＝eq\f(1,7×9).【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在題中橫線上)13.從1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，歸納出：1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝________.【解析】等式的左邊符號正負(fù)間隔出現(xiàn)，先正后負(fù)，所以最后一項系數(shù)應(yīng)為(－1)n＋1，和的絕對值是前n個自然數(shù)的和為eq\f(nn＋1,2).【答案】(－1)n＋1·eq\f(nn＋1,2)14.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an＝4×2n－1－2的第二步中，設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時結(jié)論成立，即ak＝4×2k－1－2，那么當(dāng)n＝k＋1時，需證明ak＋1＝________.【解析】當(dāng)n＝k＋1時，把a(bǔ)k代入，要將4×2k－2變形為4×2(k＋1)－1－2的形式.【答案】4×2(k＋1)－1－215.證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)(n∈N＋)，假設(shè)n＝k時成立，當(dāng)n＝k＋1時，左邊增加的項數(shù)是________.【解析】左邊增加的項數(shù)為2k＋1－1－2k＋1＝2k.【答案】2k16.在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立；在四邊形ABCD中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立；在五邊形ABCDE中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立.猜想在n邊形A1A2…An中，其不等式為________.【解析】eq\f(9,π)＝eq\f(32,π)，eq\f(16,2π)＝eq\f(42,2π)，eq\f(25,3π)＝eq\f(52,3π)，所以在n邊形A1A2…An中，eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π).【答案】eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1).【證明】(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(k≥1，k∈N＋)，命題成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1).那么當(dāng)n＝k＋1時，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋[2(k＋1)－1]2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)(2k＋1)(2k＋3)(k＋1)＝eq\f(1,3)(k＋1)[4(k＋1)2－1].∴當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立.由(1)(2)得，對于任意n∈N＋，等式都成立.18.(本小題滿分12分)求證：62n＋3n＋2＋3n是11的倍數(shù)(n∈N＋).【證明】(1)當(dāng)n＝1時，62×1＋31＋2＋31＝66，是11的倍數(shù).(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，且k≥1)時，命題成立，即62k＋3k＋2＋3k是11的倍數(shù).則當(dāng)n＝k＋1時，62(k＋1)＋3k＋3＋3k＋1＝62k＋2＋3k＋3＋3k＋1＝36·62k＋3·3k＋2＋3·3k＝33·62k＋3·62k＋3·3k＋2＋3·3k＝33·62k＋3(62k＋3k＋2＋3k).由假設(shè)可知3(62k＋3k＋2＋3k)是11的倍數(shù)，而33·62k也是11的倍數(shù)，即n＝k＋1時，原命題正確.由(1)(2)可知，對任意n∈N＋原命題成立.19.(本小題滿分12分)已知a，b為正數(shù)，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，試證：對每一個n∈N＋，(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1.【證明】(1)n＝1時，左邊＝0，右邊＝0，∴左邊＝右邊，命題成立.(2)假設(shè)n＝k(k≥1)時，命題成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時，∵ak＋1＋bk＋1＝(a＋b)·(ak＋bk)－akb－abk，∴左邊＝(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1＝(a＋b)·[(a＋b)k－ak－bk]＋akb＋abk.又∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴ab＝a＋b.∵(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，∴a＋b≥4，∴ab＝a＋b≥4.由akb＋abk≥2eq\r(ak·bk·ab)＝2eq\r(abk·ab)≥2·2k＋1＝2k＋2.ak＋bk≥2eq\r(abk)≥2k＋1.故左邊≥4·(22k－2k＋1)＋2k＋2＝22k＋2－2k＋2＝22(k＋1)－2(k＋1)＋1＝右邊.∴當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立.由(1)(2)可知，對一切n∈N＋不等式成立.20.(本小題滿分12分)是否存在常數(shù)a，b，c使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(nn＋1,12)(an2＋bn＋c)對一切n∈N＋都成立？并證明你的結(jié)論.【解】假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，在等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(nn＋1,12)(an2＋bn＋c)中，令n＝1，得4＝eq\f(1,6)(a＋b＋c)， ①令n＝2，得22＝eq\f(1,2)(4a＋b＋c)， ②令n＝3，得70＝9a＋3b＋c. ③由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，于是，對于n＝1,2,3，都有1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝eq\f(nn＋1,12)(3n2＋11n＋10)(*)成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于一切正整數(shù)n，(*)式都成立.假設(shè)n＝k時，(*)成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝eq\f(kk＋1,12)(3k2＋11k＋10)，那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(kk＋1,12)(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝eq\f(k＋1k＋2,12)(3k2＋5k＋12k＋24)＝eq\f(k＋1k＋2,12)[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，由此可知，當(dāng)n＝k＋1時，(*)式也成立.綜上所述，當(dāng)a＝3，b＝11，c＝10時題設(shè)的等式對于一切n∈N＋都成立.21.(本小題滿分12分)如果數(shù)列{an}滿足條件：a1＝－4，an＋1＝eq\f(－1＋3an,2－an)(n＝1,2，…)，證明：對任何自然數(shù)n，都有an＋1>an且an<0.【證明】(1)由于a1＝－4，a2＝eq\f(－1＋3a1,2－a1)＝eq\f(－1－12,2＋4)＝eq\f(－13,6)>a1.且a1<0，因此，當(dāng)n＝1時不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，ak＋1>ak且ak<0.那么ak＋1＝eq\f(－1＋3ak,2－ak)<0.當(dāng)n＝k＋1時，有ak＋2＝eq\f(－1＋3ak＋1,2－ak＋1)，∴ak＋2－ak＋1＝eq\f(－1＋3ak＋1,2－ak＋1)－eq\f(－1＋3ak,2－ak)＝eq\f(5ak＋1－ak,2－ak＋12－ak)>0.因此ak＋2>ak＋1且ak＋1<0.這就是說，當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立，根據(jù)(1)(2)，不等式對任何自然數(shù)n都成立.因此，對任何自然數(shù)n，都有an＋1>an且an<0.22.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn