高中數(shù)學高考二輪復習 名師獲獎

2023年江西省南昌市十所省重點中學高考數(shù)學二模試卷（理科）（四）一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項．1．（5分）設集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，則A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]【考點】：對數(shù)函數(shù)的定義域；交集及其運算．【專題】：函數(shù)的性質及應用．【分析】：解指數(shù)不等式求出集合A，求出對數(shù)函數(shù)的定義域即求出集合B，然后求解它們的交集．【解析】：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故選D．【點評】：本題考查指數(shù)不等式的解法，交集及其運算，對數(shù)函數(shù)的定義域，考查計算能力．2．（5分）下面是關于復數(shù)z=的四個命題：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共軛復數(shù)為﹣1+i，p4：z的虛部為1，其中真命題為（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考點】：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】：利用復數(shù)的運算法則可得：復數(shù)z=1+i，再利用復數(shù)的模的計算公式、共軛復數(shù)的定義、虛部的定義即可判斷出真假．【解析】：解：復數(shù)z===1+i的四個命題：p1：|z|=≠2，因此是假命題；p2：z2=（1+i）2=2i，是真命題；p3：z的共軛復數(shù)為1﹣i，是假命題；p4：z的虛部為1，是真命題．其中真命題為p2，p4．故選：C．【點評】：本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)的模的計算公式、共軛復數(shù)的定義、虛部的定義、命題的真假判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．（5分）下列四個結論：①若x＞0，則x＞sinx恒成立；②命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆否命題為“若x≠0，則x﹣sinx≠0”；③“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的充分不必要條件；④命題“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正確結論的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個【考點】：命題的真假判斷與應用．【專題】：閱讀型；函數(shù)的性質及應用；簡易邏輯．【分析】：令y=x﹣sinx，求出導數(shù)，判斷單調性，即可判斷①；由命題的逆否命題，先將體積、結論調換，再分別對它們否定，即可判斷②；由命題p∨q為真，則p，q中至少有一個為真，不能推出p∧q為真，即可判斷③；由全稱性命題的否定為存在性命題，即可判斷④．【解析】：解：對于①，令y=x﹣sinx，則y′=1﹣cosx≥0，則有函數(shù)y=x﹣sinx在R上遞增，則當x＞0時，x﹣sinx＞0﹣0=0，則x＞sinx恒成立．則①對；對于②，命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆否命題為“若x≠0，則x﹣sinx≠0”，則②對；對于③，命題p∨q為真，則p，q中至少有一個為真，不能推出p∧q為真，反之成立，則應為必要不充分條件，則③錯；對于④，命題“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．則④對．綜上可得，其中正確的敘述共有3個．故選C．【點評】：本題考查函數(shù)的單調性的運用，考查復合命題的真假和真值表的運用，考查充分必要條件的判斷和命題的否定，屬于基礎題和易錯題．4．（5分）如圖是一個無蓋器皿的三視圖，正視圖、側視圖和俯視圖中的正方形邊長為2，正視圖、側視圖中的虛線都是半圓，則該器皿的表面積是（）A．π+24B．π+20C．2π+24D．2π+20【考點】：由三視圖求面積、體積．【專題】：計算題；空間位置關系與距離．【分析】：該器皿的表面積可分為兩部分：去掉一個圓的正方體的表面積s1和半球的表面積s2，即可求出該器皿的表面積．【解析】：解：該器皿的表面積可分為兩部分：去掉一個圓的正方體的表面積s1和半球的表面積s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故選：A．【點評】：由三視圖求表面積與體積，關鍵是正確分析原圖形的幾何特征．5．（5分）（2023?江西）閱讀如圖程序框圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結果為（）A．7B．9C．10D．11【考點】：程序框圖．【專題】：算法和程序框圖．【分析】：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的i值．【解析】：解：由程序框圖知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循環(huán)的i值為9，∴輸出i=9．故選：B．【點評】：本題考查了循環(huán)結構的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關鍵．6．（5分）已知實數(shù)x，y滿足，若目標函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，最小值為﹣2m﹣2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]【考點】：簡單線性規(guī)劃的應用．【專題】：不等式的解法及應用．【分析】：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，由z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，即當目標函數(shù)經過點（2，10）時，取得最大，當經過點（2，﹣2）時，取得最小值，利用數(shù)形結合確定m的取值范圍．【解析】：解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由目標函數(shù)z=﹣mx+y得y=mx+z，則直線的截距最大，z最大，直線的截距最小，z最?。吣繕撕瘮?shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，最小值為﹣2m﹣2，∴當目標函數(shù)經過點（2，10）時，取得最大，當經過點（2，﹣2）時，取得最小值，∴目標函數(shù)z=﹣mx+y的目標函數(shù)的斜率m滿足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故選：A．【點評】：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合目標函數(shù)的幾何意義，確定目標函數(shù)的斜率是解決本題的關鍵，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．7．（5分）對于函數(shù)f（x）=x3cos3（x+），下列說法正確的是（）A．f（x）是奇函數(shù)且在（）上遞減B．f（x）是奇函數(shù)且在（）上遞增C．f（x）是偶函數(shù)且在（）上遞減D．f（x）是偶函數(shù)且在（）上遞增【考點】：函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調性的判斷與證明．【專題】：探究型．【分析】：由題設條件知，可先化簡函數(shù)解析式，再研究函數(shù)的性質，根據(jù)得出的函數(shù)的性質選出正確選項【解析】：解：f（x）=x3cos3（x+）=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f（x），可知此函數(shù)是偶函數(shù)，又x3與sin3x在（）上遞增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（）上遞減，對照四個選項，C正確故選C【點評】：本題考查函數(shù)奇偶性與函數(shù)單調性的判斷，解題的關鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法與函數(shù)單調性的判斷方法，除了用定義法判斷之外，掌握一些基本函數(shù)的單調性，利用基本函數(shù)的單調性判斷一些由這些基本函數(shù)組合的函數(shù)的性質可以方便解題8．（5分）（2023?甘肅二模）定義：在數(shù)列{an}中，若滿足﹣=d（n∈N+，d為常數(shù)），稱{an}為“等差比數(shù)列”．已知在“等差比數(shù)列”{an}中，a1=a2=1，a3=3，則（）A．4×20232﹣1B．4×20232﹣1C．4×20232﹣1D．4×20232【考點】：進行簡單的合情推理．【專題】：計算題；推理和證明．【分析】：確定=1+2（n﹣1）=2n﹣1，再代入，即可得出結論．【解析】：解：由題意，d==3﹣1=2，=1，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，利用疊乘法可得==4×20232﹣1，故選：B．【點評】：本題考查新定義，考查數(shù)列通項的求解，解題的關鍵是對新定義的理解．9．（5分）設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）“凸函數(shù)“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)取值范圍是（）A．（﹣∞，）B．[，5]C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【考點】：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【專題】：導數(shù)的綜合應用．【分析】：函數(shù)在區(qū)間（1，3）上為“凸函數(shù)”，所以f″（x）＜0，即對函數(shù)y=f（x）二次求導，轉化為不等式問題解決即可；【解析】：解：∵f（x）=x4﹣x3﹣x2，∴f′（x）=x3﹣x2﹣3x，∴f″（x）=x2﹣mx﹣3，∵f（x）為區(qū)間（1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在區(qū)間（1，3）上恒成立，∴，解得m≥2故選：D．【點評】：本題考查函數(shù)的導數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉化能力，屬于中檔題．10．（5分）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務．已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年紀尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處．則不同的搜尋方案有（）A．40種B．70種C．80種D．100種【考點】：進行簡單的合情推理．【專題】：計算題；推理和證明．【分析】：Grace不參與該項任務，需一位小孩在大本營陪同，則其余4人被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處；Grace參與該項任務，則從其余5人中選2人去近處，即可得出結論．【解析】：解：Grace不參與該項任務，則有=30種；Grace參與該項任務，則有=10種，故共有30+10=40種故選：A．【點評】：本題考查進行簡單的合情推理，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．11．（5分）橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得△F1F2P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【考點】：橢圓的簡單性質．【專題】：計算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：分等腰三角形△F1F2P以F1F2為底和以F1F2為一腰兩種情況進行討論，結合以橢圓焦點為圓心半徑為2c的圓與橢圓位置關系的判斷，建立關于a、c的不等式，解之即可得到橢圓C的離心率的取值范圍．【解析】：解：①當點P與短軸的頂點重合時，△F1F2P構成以F1F2為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的等腰△F1F2P；②當△F1F2P構成以F1F2為一腰的等腰三角形時，以F2P作為等腰三角形的底邊為例，∵F1F2=F1P，∴點P在以F1為圓心，半徑為焦距2c的圓上因此，當以F1為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時，存在2個滿足條件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F(xiàn)1F2+P1F1＞P1F2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以離心率e＞．當e=時，△F1F2P是等邊三角形，與①中的三角形重復，故e≠同理，當F1P為等腰三角形的底邊時，在e且e≠時也存在2個滿足條件的等腰△F1F2P這樣，總共有6個不同的點P使得△F1F2P為等腰三角形綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈（，）∪（，1）【點評】：本題給出橢圓的焦點三角形中，共有6個不同點P使得△F1F2P為等腰三角形，求橢圓離心率e的取值范圍．著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．12．（5分）已知實數(shù)a，b，c，d滿足==1其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為（）A．8B．10C．12D．18第Ⅱ卷【考點】：兩點間距離公式的應用．【專題】：計算題；函數(shù)的性質及應用．【分析】：由已知得點（a，b）在曲線y=x﹣2ex上，點（c，d）在曲線y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的幾何意義就是曲線y=x﹣2ex到曲線y=2﹣x上點的距離最小值的平方．由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解析】：解：∵實數(shù)a，b，c，d滿足==1，∴b=a﹣2ea，d=2﹣c，∴點（a，b）在曲線y=x﹣2ex上，點（c，d）在曲線y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的幾何意義就是曲線y=x﹣2ex到曲線y=2﹣x上點的距離最小值的平方．考查曲線y=x﹣2ex上和直線y=2﹣x平行的切線，∵y′=1﹣2ex，求出y=x﹣2ex上和直線y=2﹣x平行的切線方程，∴令y′=1﹣2ex=﹣1，解得x=0，∴切點為（0，﹣2），該切點到直線y=2﹣x的距離d==2就是所要求的兩曲線間的最小距離，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為d2=8．故選：A．【點評】：本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．二、填空題：本大題共四小題，每小題5分．13．（5分）已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影為3，則實數(shù)m=．【考點】：平面向量數(shù)量積的運算．【專題】：平面向量及應用．【分析】：由投影的定義即得，所以得到，解出m即可．【解析】：解：根據(jù)投影的概念：；∴．故答案為：．【點評】：考查投影的概念，兩向量夾角余弦公式的坐標運算，數(shù)量積的坐標運算，根據(jù)向量坐標求其長度．14．（5分）已知a=2cos（x+）dx，則二項式（x2+）5的展開式中x的系數(shù)為﹣80．【考點】：定積分；二項式定理的應用．【專題】：計算題．【分析】：根據(jù)定積分的運算法則求出a的值，再根據(jù)二項式定理的公式，求出一次項的系數(shù)；【解析】：解：∵a=2cos（x+）dx=2sin（x+）=2sin（）﹣2sin=﹣2，∴二項式（x2+）5=（x2﹣）5，∴Tr+1==，令10﹣3r=1，可得r=3，∴二項式（x2+）5的展開式中x的系數(shù)=﹣80；故答案為：﹣80；【點評】：此題主要考查定積分的運算法則和二項式定理的應用，是一道綜合題，比較簡單；15．（5分）對于集合{a1，a2，…，an}和常數(shù)a0，定義：為集合{a1，a2，…，an}相對a0的“正弦方差”，則集合相對a0的“正弦方差”為．【考點】：三角函數(shù)的化簡求值．【專題】：計算題；壓軸題；新定義．【分析】：先根據(jù)題意表示出正弦方差μ，進而利用二倍角公式把正弦的平方轉化成余弦的二倍角，進而利用兩角和公式進一步化簡整理，求得結果即可．【解析】：解：因為集合相對a0的“正弦方差”，W======故答案為：．【點評】：本題主要考查了三角函數(shù)中二倍角，兩角和公式的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．16．（5分）已知動點P在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上運動，且PA=r（0＜r＜），記點P的軌跡長度為f（r）給出以下四個命題：①f（1）=π②f（）=π③f（）=π④函數(shù)f（r）在（0，1）上是增函數(shù)，f（r）在（，）上是減函數(shù)其中為真命題的是①④（寫出所有真命題的序號）【考點】：棱柱的結構特征．【專題】：空間位置關系與距離．【分析】：由題意畫出圖形并得出相應的解析式，畫出其圖象，經過討論即可得出答案．【解析】：解：如圖所示：①當0＜r≤1時，f（r）=3××r=r，f（）=，．此時，由一次函數(shù)的單調性可得：0＜f（r）≤＜5，②當1＜r≤時，在平面ABCD內，設以點A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點E、F，則cos∠DAF=，∠EAF=﹣2∠DAF，∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2=，cos∠EAG=，∴f（r）=3rarccos+3rarccos；③當＜r≤時，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，∴f（r）=3rarccos，綜上，當0＜r≤1時，f（r）=r，當1＜r≤時，f（r）=3rarccos+3rarccos；當＜r≤時，f（r）=3rarccos，故只有①④正確．故答案為：①④．【點評】：熟練掌握數(shù)形結合、分類討論的思想方法、數(shù)形結合的思想方法是解題的關鍵．三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對應邊分別是a，b，c滿足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，求{}的前n項和Sn．【考點】：數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質；余弦定理．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（Ⅰ）由已知條件推導出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知條件推導出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出an=2n，從而得以==，進而能求出{}的前n項和Sn．【解析】：解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）設{an}的公差為d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴a1==2，且=a2?a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴an=2n，∴==，∴Sn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【點評】：本題考查角的大小的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．18．（12分）某大學的一個社會實踐調查小組，在對大學生的良好“光盤習慣”的調査中，隨機發(fā)放了l20份問巻．對收回的l00份有效問卷進行統(tǒng)計，得到如下2x2列聯(lián)表：（1）現(xiàn)已按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，若從這9份問卷中隨機抽取4份，并記其中能做到光盤的問卷的份數(shù)為ξ，試求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望（2）如果認為良好“光盤習慣”與性別有關犯錯誤的概率不超過P，那么根據(jù)臨界值表最精確的P的值應為多少？請說明理由．附：獨立性檢驗統(tǒng)計量K2=，其中n=a+b+c+d，獨立性檢驗臨界表：【考點】：獨立性檢驗的應用．【專題】：應用題；概率與統(tǒng)計．【分析】：（1）因為9份女生問卷是用分層抽樣取到的，所以這9份問卷中有6份做不到光盤，3份能做到光盤．因為ξ表示從這9份問卷中隨機抽取的4份中能做到光盤的問卷份數(shù)，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相應的概率，可得隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望；（2）計算K2=≈，可得結論．【解析】：解：（1）因為9份女生問卷是用分層抽樣取到的，所以這9份問卷中有6份做不到光盤，3份能做到光盤．因為ξ表示從這9份問卷中隨機抽取的4份中能做到光盤的問卷份數(shù)，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下所以Eξ=0×+1×+2×+3×=；（2）K2=≈因為＜＜．所以能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為良好“光盤習慣”與性別有關，即P=．【點評】：本題考查隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望，考查獨立性檢驗，考查學生分析解決問題的能力，知識綜合．19．（12分）在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD與△ACB是邊長為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考點】：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．【專題】：空間位置關系與距離；空間向量及應用．【分析】：（Ⅰ）取AC中點O，連接BO，DO，由題設條件推導出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知條件推導出∠EBF=60°，由此能證明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接EG，能推導出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．法二：以OA為x軸，以OB為y軸，以OD為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】：（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，取AC中點O，連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根據(jù)題意，點F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角為60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四邊形DEFO是平行四邊形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值為．…（12分）解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一個法向量為設平面BCE的一個法向量為則，∴，∴．…（9分）所以，又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值為．…（12分）【點評】：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．20．（12分）已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的準線與x軸交于點K，過點K作圓C：（x﹣2）2+y2=1的兩條切線，切點為M，N，|MN|=（1）求拋物線E的方程（2）設A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點，且=（其中O為坐標原點）①求證：直線AB必過定點，并求出該定點Q的坐標②過點Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點，求四邊形AGBD面積的最小值．【考點】：拋物線的簡單性質．【專題】：平面向量及應用；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：（1）求得K的坐標，圓的圓心和半徑，運用對稱性可得MR的長，由勾股定理和銳角的三角函數(shù)，可得CK=3，再由點到直線的距離公式即可求得p=2，進而得到拋物線方程；（2）①設出直線方程，榴蓮么拋物線方程，運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡整理，即可得到定點Q；②運用弦長公式和四邊形的面積公式，換元整理，結合基本不等式，即可求得最小值．【解析】：（1）解：由已知可得K（﹣，0），圓C：（x﹣2）2+y2=1的圓心C（2，0），半徑r=1．設MN與x軸交于R，由圓的對稱性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，則拋物線E的方程為y2=4x；（2）①證明：設直線AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），聯(lián)立拋物線方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．則有AB恒過定點Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=?，同理|GD|=|y2﹣y1|=?，則四邊形AGBD面積S=|AB|?|GD|=???=4，令m2+=μ（μ≥2），則S=4是關于μ的增函數(shù)，則當μ=2時，S取得最小值，且為88．當且僅當m=±1時，四邊形AGBD面積的最小值為88．【點評】：本題考查拋物線的方程和性質，主要考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，同時考查直線和圓的位置關系，向量的數(shù)量積的坐標表示，具有一定的運算量，屬于中檔題．21．（12分）設函數(shù)f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是實數(shù)，曲線y=f（x）恒與x軸相切于坐標原點（1）求常數(shù)b的值（2）當0≤x≤1時，關于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（3）求證：對于任意的正整數(shù)n，不等式（1+）n．【考點】：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【專題】：導數(shù)的概念及應用；導數(shù)的綜合應用；不等式的解法及應用．【分析】：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由條件可得f′（0）=0，即可得到b=1；（2）求出f（x）的導數(shù)，對a討論，①當a≤﹣時，②當a≥0時，③當﹣＜a＜0時，求出單調區(qū)間，求得最小值，即可得到a的范圍；（3）對要證的不等式等價變形，可得ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②運用（2）中的結論，通過a的取值，即可得證．【解析】：（1）解：對f（x）求導得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，根據(jù)條件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，解得b=1；（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1f″（x）=﹣．①當a≤﹣時，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[]上單調遞增，從而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[]上單調遞增，即f（x）≥f（0）而且僅有f（0）=0；②當a≥0時，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[]上單調遞減，從而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[]上單調遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0；③當﹣＜a＜0時，令m=min{1，﹣}，當0≤x≤m時，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，m]上單調遞減，從而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上單調遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0．綜上可知，所求實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣]．（3）證明：要證對于任意的正整數(shù)n，不等式（1+）n．即證對于任意的正整數(shù)n，nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）．即證ln（1+）＜＜（+1）ln（1+）．即證ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②對于①相當于（2）中a=0，有f（x）在[0，1]上單調遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0．取x=，有l(wèi)n（1+）﹣＜0；對于②相當于（2）中a=﹣1，有?x∈[0，1]，f（x）≥0而且僅有f（0）=0．取x=，有（+1）ln（1+）﹣＞0成立．則有對于任意的正整數(shù)n，不等式（1+）n．【點評】：本題考查導數(shù)的運用：求切線斜率和單調區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調性的運用，運用分類討論的思想方法和等價轉化的思想方法是解題的關鍵．請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑．選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E．（Ⅰ）求證AB?PC=PA?AC（Ⅱ）求AD?AE的值．【考點】：與圓有關的比例線段．【專題】：直線與圓．【分析】：（1）由已知條件推導出△PAB∽△PCA，由此能夠證明AB?PC=PA?AC．（2）由切