高中數(shù)學蘇教版第二章統(tǒng)計抽樣方法 蘇教版 　分層抽樣 學案

2．分層抽樣1.了解分層抽樣的概念．2.理解分層抽樣、簡單隨機抽樣的聯(lián)系與區(qū)別和各自適用的范圍．3．掌握分層抽樣的特點及一般步驟．1．分層抽樣的概念一般地，當總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比實施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣，所分成的各個部分稱為“層”．2．分層抽樣的步驟(1)將總體按一定標準分層；(2)計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；(3)按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應抽取的樣本容量；(4)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣)．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在分層抽樣時，每層可以不等可能抽樣．()(2)在分層抽樣的過程中，每個個體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)及分層有關(guān)．()答案：(1)×(2)×2．為了保證分層抽樣時每個個體被等可能地抽取，必須要求()A．每層等可能抽取B．每層抽取的個體數(shù)相等C．每層抽取的個體數(shù)可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1，2，…，k)個個體(其中i是層的序號，k是總層數(shù)，n為抽取的樣本容量，Ni是第i層中的個體數(shù)，N是總體容量)D．只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個體數(shù)沒有限制解析：選C.分層抽樣時，在各層中按層中所含個體在總體中所占的比例進行抽樣．A中，雖然每層等可能地抽樣，但是沒有指明各層中應抽取幾個個體，故A不正確；B中，由于每層的個體數(shù)不一定相等，每層抽取同樣多的個體數(shù)，顯然從總體來看，各層的個體被抽取的可能性就不相等了，因此B也不正確；C中，對于第i層的每個個體，它被抽到的可能性與層數(shù)i無關(guān)，即對于每個個體來說，被抽取為樣本的可能性是相同的，故C正確；D顯然不正確．3．某地區(qū)為了解居民家庭生活狀況，先把居民按所在行業(yè)分為幾類，然后每個行業(yè)抽取eq\f(1,100)的居民家庭進行調(diào)查，這種抽樣是________．解析：符合分層抽樣的特點．答案：分層抽樣4．一個班共有54人，其中男、女比為5∶4，若抽取9人參加教改調(diào)查會，則每個男同學被抽取的可能性為________，每個女同學被抽取的可能性為________．解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，因為男同學共有54×eq\f(5,9)＝30(人)，女同學共有54×eq\f(4,9)＝24(人)，所以每個男同學被抽取的可能性為eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，每個女同學被抽取的可能性為eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)eq\f(1,6)分層抽樣的概念判斷下列對分層抽樣的說法是否正確，并說明理由．(1)因為抽樣在不同層內(nèi)進行，所以不同層的個體被抽到的可能性不一樣；(2)分層后，為確保公平性，在每層都應用同一抽樣方法；(3)所有層用同一抽樣比，等可能抽樣；(4)所有層抽同樣多容量的樣本，等可能抽樣．【解】判斷依據(jù)是分層抽樣的定義及操作步驟．eq\a\vs4\al()(1)不正確．因為不同層內(nèi)抽取的樣本數(shù)是由該層個體數(shù)與總體數(shù)的比乘以樣本容量得到的，所以每層抽取的樣本數(shù)與該層個體總數(shù)比是一樣的．所以對總體中每個個體而言，被抽取的可能性是一樣的．(2)不正確．在每層可根據(jù)不同情況采用不同的抽樣方法．(3)正確．由分層抽樣定義和操作步驟可知．(4)不正確．每層抽取的樣本數(shù)不一定相同．與該層個體數(shù)占總體數(shù)的比有關(guān)．對于分層抽樣的概念要從如何分層，每層確定樣本數(shù)，每層采用何種抽樣方法，及抽樣是否具有公平性等方面徹底理解．只有徹底理解了概念才能避免操作中的錯誤．1.某政府機關(guān)在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關(guān)對政府機構(gòu)改革的意見，要從中抽取20人，用哪種方法最合適？解：由于總體是由差異明顯的三部分組成，故用分層抽樣最合適．分層抽樣中的有關(guān)計算(1)某單位共有老、中、青年職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為________．(2)某高中學校為了促進學生個體的全面發(fā)展，針對學生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已知報名參加這兩個社團的學生共有800人，按照要求每人只能參加一個社團，各年級參加社團的人數(shù)情況如下表：高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，為了了解學生對兩個社團活動的滿意程度，從中抽取一個50人的樣本進行調(diào)查，則從高二年級“剪紙”社團的學生中應抽取________人．【解析】(1)設(shè)該單位老年職工人數(shù)為x，由題意得3x＝430－160，解得x＝90.則樣本中的老年職工人數(shù)為90×eq\f(32,160)＝18.(2)法一：因為“泥塑”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以“剪紙”社團的人數(shù)為800×eq\f(2,5)＝320；因為“剪紙”社團中高二年級人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以“剪紙”社團中高二年級人數(shù)為320×eq\f(3,10)＝96.由題意知，抽樣比為eq\f(50,800)＝eq\f(1,16)，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數(shù)為96×eq\f(1,16)＝6.法二：因為“泥塑”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團中的人數(shù)為50×eq\f(2,5)＝20.又“剪紙”社團中高二年級人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數(shù)為20×eq\f(3,10)＝6.【答案】(1)18(2)6eq\a\vs4\al()分層抽樣中有關(guān)計算的方法(1)抽樣比＝eq\f(樣本容量n,總體容量N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù)).(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．對于分層抽樣中求某層個體數(shù)，或某層要抽取的樣本個體數(shù)，都可以通過上面兩個等量關(guān)系求解．2.(1)為了調(diào)查城市的情況，按地域把48個城市分成大型、中型、小型三組，相應的城市數(shù)分別為8，16，24.若用分層抽樣的方法抽取12個城市，則應抽取的中型城市數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6(2)一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，則應抽取超過45歲的職工為________人．解析：(1)根據(jù)分層抽樣的特點可知，抽樣比例為eq\f(12,48)＝eq\f(1,4)，則應抽取的中型城市數(shù)為16×eq\f(1,4)＝4.(2)抽樣比為25∶200＝1∶8，而超過45歲的職工有80人，則從中應抽取的個體數(shù)為80×eq\f(1,8)＝10.答案：(1)B(2)10分層抽樣的設(shè)計與應用在100個產(chǎn)品中，有一等品20個，二等品30個，三等品50個，現(xiàn)要抽取一個容量為30的樣本，請說明抽樣過程．【解】先將產(chǎn)品按等級分成三層：第一層，一等品20個；第二層，二等品30個；第三層，三等品50個．然后確定每一層抽取的個體數(shù)，因為20∶30∶50＝2∶3∶5，所以應在第一層中抽取產(chǎn)品6個，在第二層中抽取產(chǎn)品9個，在第三層中抽取產(chǎn)品15個．再分別給這些產(chǎn)品編號并貼上標簽，用抽簽法或隨機數(shù)表法在各層中抽取，取到一等品6個，二等品9個，三等品15個，這樣就通過分層抽樣得到了一個容量為30的樣本．eq\a\vs4\al()分層抽樣的操作步驟第一步，計算樣本容量與總體的個體數(shù)之比．第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個體數(shù)．第三步，用簡單隨機抽樣在各層中抽取相應數(shù)量的個體．第四步，將各層抽取的個體合在一起，就得到所取樣本．1．分層抽樣的特點(1)適用于總體由有明顯差別的幾部分組成的情況．(2)抽取的樣本更好地反映了總體的情況．(3)是等可能性抽樣，每個個體被抽到的可能性都是eq\f(n,N).2．分層抽樣的公平性如果總體中個體的總數(shù)是N，樣本容量為n，第i層中個數(shù)為Ni，則第i層中要抽取的個體數(shù)為ni＝n·eq\f(Ni,N).每一個個體被抽取的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N)，與層數(shù)無關(guān)．所以對所有個體來說，被抽取的可能性是一樣的，與層數(shù)及分層無關(guān)，所以分層抽樣是公平的．3．分層抽樣需注意的問題(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是每層內(nèi)樣本的差異要小，不同層之間的樣本差異要大，且互不重疊．(2)抽取比例由每層個體占總體的比例確定．(3)各層抽樣按簡單隨機抽樣進行．1．下面的抽樣方法是分層抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔20分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其質(zhì)量是否合格C．某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學校機構(gòu)改革的意見D．用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗解析：選、B不是分層抽樣，C是分層抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；D是簡單隨機抽樣．2．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為()類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A．90 B．100C．180 D．300解析：選C.設(shè)樣本中的老年教師人數(shù)為x，則eq\f(320,1600)＝eq\f(x,900)，解得x＝180.3．某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數(shù)為________．解析：設(shè)高二年級抽取x人，則有eq\f(6,30)＝eq\f(x,40)，解得x＝8.答案：84．一個總體中包含具有A、B、C三種性質(zhì)的個體，其容量為63，將A、B、C三種性質(zhì)的個體按1∶2∶4的比例進行分層抽樣調(diào)查，如果抽取的樣本容量為21，則A、B、C三種元素中分別抽取________．解析：A：21×eq\f(1,7)＝3；B：21×eq\f(2,7)＝6；C：21×eq\f(4,7)＝12.答案：3，6，12[A基礎(chǔ)達標]1．某商場出售三種品牌電腦，現(xiàn)庫存量分別是60臺、36臺和24臺，用分層抽樣的方法從中抽取10臺進行檢測，則這三種品牌的電腦依次應抽取的臺數(shù)是()A．6，3，1 B．5，3，2C．5，4，1 D．4，3，3解析：選B.抽樣比為eq\f(10,60＋36＋24)＝eq\f(1,12)，則三種品牌的電腦依次應抽取的臺數(shù)是60×eq\f(1,12)＝5，36×eq\f(1,12)＝3，24×eq\f(1,12)＝2.故選B.2．采用分層抽樣的方法從某學校三個年級的全體學生中抽取一個容量為45的樣本，高一年級被抽取20人，高三年級被抽取10人，高二年級共有300人，則這個學校共有高中學生為()A．1350人 B．675人C．900人 D．450人解析：選C.高二年級被抽取的人數(shù)為45－20－10＝15，則抽樣比為15∶300＝1∶20，所以45÷eq\f(1,20)＝900，即這個學校共有高中學生900人．3．某班有男生36人，女生18人，用分層抽樣的方法從該班全體學生中抽取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數(shù)為()A．6 B．4C．3 D．2解析：選C.據(jù)分層抽樣，得抽取的女生人數(shù)為eq\f(9,36＋18)×18＝3，選C.4．某中學有高中生3500人，初中生1500人．為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．250解析：選A.抽樣比為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，該?？?cè)藬?shù)為1500＋3500＝5000，則eq\f(n,5000)＝eq\f(1,50)，故n＝100.5．某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷調(diào)查，從8～10歲，11～12歲，13～14歲，15～16歲四個年齡段回收的問卷依次為：120份，180份，240份，x份．因調(diào)查需要，從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，其中在11～12歲學生問卷中抽取60份，則在15～16歲學生中抽取的問卷份數(shù)為()A．360 B．240C．120 D．60解析：選～12歲回收180份，其中在11～12歲學生問卷中抽取60份，則抽樣比為eq\f(1,3).因為從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，所以從8～10歲，11～12歲，13～14歲，15～16歲四個年齡段回收的問卷總數(shù)為eq\f(300,\f(1,3))＝900(份)，則15～16歲回收問卷份數(shù)為：x＝900－120－180－240＝360(份)．所以在15～16歲學生中抽取的問卷份數(shù)為360×eq\f(1,3)＝120(份)．6．最新高考改革方案已在上海和浙江實施，某教育機構(gòu)為了解我省廣大師生對新高考改革方案的看法，對某市部分學校500名師生進行調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下表：贊成改革不贊成改革無所謂教師1202040學生15040130現(xiàn)從500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進行問卷調(diào)查，則應抽取“不贊成改革”的教師和學生人數(shù)分別為________．解析：由題意知，抽樣比為eq\f(50,500)＝eq\f(1,10)，則應抽取“不贊成改革”的教師人數(shù)為eq\f(1,10)×20＝2，學生人數(shù)為eq\f(1,10)×40＝4.答案：2，47．某實驗中學共有學生1600名，為了調(diào)查學生的身體健康狀況，采用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知樣本容量中女生比男生少10人，則該校的女生有________人．解析：設(shè)該校女生人數(shù)為x，則男生人數(shù)為1600－x.由已知，得eq\f(200,1600)×(1600－x)－eq\f(200,1600)·x＝10，解得x＝760.故該校的女生人數(shù)為760.答案：7608．某學校在校學生2000人，為了學生的“德、智、體”全面發(fā)展，學校舉行了跑步和登山比賽活動，每人都參加而且只參與其中一項比賽，各年級參與比賽的人數(shù)情況如下表：高一年級高二年級高三年級跑步人數(shù)abc登山人數(shù)xyz其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(1,4).為了了解學生對本次活動的滿意程度，從中抽取一個200人的樣本進行調(diào)查，則高三年級參與跑步的學生中應抽取________人．解析：全校參與登山的人數(shù)是2000×eq\f(1,4)＝500，所以參與跑步的人數(shù)是1500，應抽取eq\f(1500,2000)×200＝150，c＝150×eq\f(3,10)＝45(人)．答案：459．某校在校學生1600人，其中高一學生520人，高二學生500人，高三學生580人．如果想抽查其中的80人來調(diào)查學生的消費情況，考慮到不同年級的學生消費情況有明顯差異，而同一年級內(nèi)消費情況差異較?。畣枒敳捎迷鯓拥某闃臃椒?？高三學生應抽取多少人？解：因為不同年級的學生消費情況有明顯差異，而同一年級內(nèi)學生消費情況差異較小，所以可采用分層抽樣，分三個層次進行抽樣．因為樣本所占總體的比例為eq\f(80,1600)＝eq\f(1,20)，所以高三學生應抽取580×eq\f(1,20)＝29(人)．10．某中學舉行了為期3天的新世紀體育運動會，同時進行全校精神文明擂臺賽，為了解這次活動在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別在全校500名教職員工、3000名初中生、4000名高中生中作問卷調(diào)查，如果要在所有答卷中抽出120份用于評估．(1)應如何抽取才能得到比較客觀的評價結(jié)論？(2)要從3000份初中生的答卷中抽取一個容量為48的樣本，如果采用簡單隨機抽樣，應如何操作？解：(1)由于這次活動對教職員工、初中生和高中生產(chǎn)生的影響不相同，所以應當采取分層抽樣的方法進行抽樣．因為樣本容量為120，總體個數(shù)為500＋3000＋4000＝7500，則抽樣比：eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8，3000×eq\f(2,125)＝48，4000×eq\f(2,125)＝64，所以在教職員工、初中生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8，48，64.分層抽樣的步驟是：①分層：分為教職員工、初中生、高中生，共三層．②確定每層抽取個體的個數(shù)：在教職員工、初中生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8，48，64.③各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本．④綜合每層抽樣，組成樣本．這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評價結(jié)論．(2)由于簡單隨機抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機數(shù)表法．如果用抽簽法，要作3000個號簽，費時費力，因此采用隨機數(shù)表法抽取樣本，步驟是：①編號：將3000份答卷都編上號碼：0001，0002，0003，…，3000.②在隨機數(shù)表上隨機選取一個起始位置．③規(guī)定讀數(shù)方向：向右連續(xù)取數(shù)字，以4個數(shù)為一組，如果讀取的4位數(shù)大于3000，則去掉，如果遇到相同的號碼則只取一個，這樣一直到取滿48個號碼為止．[B能力提升]1．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A．4 B．5C．6 D．7解析：選C.四類食品的種數(shù)比為4∶1∶3∶2，則抽取的植物油類的種數(shù)為20×eq\f(1,10)＝2，抽取的果蔬類的種數(shù)為20×eq\f(2,10)＝4，二者之和為6種，故選C.2．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果：企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量(件)130由于不小心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10件，根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是________件．解析：由于B產(chǎn)品的數(shù)量和樣本容量的比為10∶1，又A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10件，則A產(chǎn)品的產(chǎn)品數(shù)量比C產(chǎn)品的產(chǎn)品數(shù)量多100件；設(shè)C產(chǎn)品的產(chǎn)品數(shù)量為x，則(x＋100)＋1300＋x＝3000，解之，得x＝800.故應填800.答案：8003．一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應采取什么樣的方法？并寫出具體過程．解：因為疾病的發(fā)病率與地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層抽樣的方法．具體過程如下：(1)將3萬人分為5層，其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層．(2)按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應抽取的人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60人．(3)按照各層抽取的人數(shù)隨機抽取各