高中數(shù)學(xué)人教A版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 全國(guó)獲獎(jiǎng)2

2023學(xué)年河北武邑中學(xué)上學(xué)期高二第二次月考文科數(shù)學(xué)一、選擇題：共12題1．如圖所示為一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,則其對(duì)應(yīng)的實(shí)物是A. B. C. D.【答案】A【解析】B,D兩項(xiàng)中的幾何體的正視圖都是一個(gè)矩形,但其中的對(duì)角線看不到,應(yīng)該為一條虛線,與已知不符,所以排除B,D;C項(xiàng)的正視圖是一個(gè)矩形,但其中對(duì)角線的方向自左到右應(yīng)該是向下的,并且側(cè)視圖的矩形中的對(duì)角線也應(yīng)是虛線,與已知不符,所以排除C.故選A.

2．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于___. B.2 C.2-12 【答案】C【解析】本小題主要考查三視圖及考生的空間想象能力,考查函數(shù)與方程思想.由題可知正方體的底面與水平面平行,先把正方體正放,然后將正方體按某一側(cè)棱逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),易知當(dāng)正方體正放時(shí),其正視圖的面積最小,為1×1=1;當(dāng)正方體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),其正視圖的面積最大,為1×2=2.而2-12<1,所以正方體的正視圖的面積不可能等于

3．用平行于圓錐底面的截面去截圓錐，所得小圓錐的側(cè)面積與原來(lái)大圓錐的側(cè)面積的比是12A.12 C.22 【答案】C【解析】本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，所得小圓錐與原來(lái)的圓錐相似，則根據(jù)面積比等于相似比的平方比，而小圓錐側(cè)面積與原來(lái)大圓錐側(cè)面積的比是12，得相似比為22，故小圓錐的高與原來(lái)大圓錐的高的比值是2

4．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，下面有三個(gè)命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β.則真命題的個(gè)數(shù)為

【答案】C【解析】本題主要考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系.①若α∥β，由l⊥平面α，則l⊥平面β，由直線m?平面β，則l⊥m，故①正確；②當(dāng)α⊥β,直線l與平面α關(guān)系不確定,則l∥m不一定成立，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)l∥m時(shí)，由l⊥平面α，則m⊥平面α，又m?平面β，則根據(jù)面面垂直的判定定理可知α⊥β成立，則③正確，綜上，正確的命題為①③，故選C.

5．已知m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A.若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β B.若m∥n，m?α，n?β，則α∥βC.若m∥n，m∥α，則n∥α D.若n⊥α，n⊥β，則α∥β【答案】D【解析】本題主要考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系.由m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，得若α⊥γ,α⊥β,則γ∥β或γ與β相交，故A不正確；若m∥n,m?α,n?β,則α∥β或α與β相交，故B不正確；若m∥n,m∥α,則n∥α或n?α，故C不正確；若n⊥α,n⊥β,則由平面平行的判定定理知α∥β，故D正確，故選D.

6．正六棱錐P—ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D－GAC與P－GAC體積之比為∶1 ∶2 ∶1 ∶2【答案】C【解析】本題主要考查空間幾何體體積.由于G是PB的中點(diǎn)，故三棱錐P-GAC的體積等于三棱錐B-GAC的體積，在底面正六邊形ABCDEF中，BH=ABtan30°=33AB，而

7．如圖，設(shè)平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是點(diǎn)B，D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的⊥β ⊥EF與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上 與α，β所成的角相等【答案】D【解析】本題考查演繹推理.只要能推出EF⊥AC即可說(shuō)明BD⊥EF.當(dāng)AC與α，β所成的角相等時(shí)，推不出EF⊥AC，選D.

8．若二面角M－l－N的平面角大小為2π3，直線m⊥平面M，則平面內(nèi)的直線與mA.[π6，π2] B.[π4，π2] C.[π【答案】A【解析】本題主要考查二面角.由二面角M-l-N的平面角大小為2π3，直線m⊥平面M，則直線m與平面N內(nèi)的直線所成角最小為m與平面N所成的角，由m與平面N所成的角為π6，則平面N內(nèi)的直線與m所成角的最小角為π6，又N內(nèi)一定有直線與m垂直，則平面N內(nèi)的直線與m所成角的最大角為π2，則平面N內(nèi)的直線與m

9．如下圖所示，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是下圖中的A.四個(gè)圖形都正確 B.只有(2)(3)正確 C.只有(4)錯(cuò)誤 D.只有(1)(2)正確【答案】B【解析】本題主要考查平行投影.由正方體是對(duì)稱的幾何體，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：自上而下、自左至右、由前及后三個(gè)方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影，四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1

10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，其棱長(zhǎng)為1，下列命題中，正確的命題個(gè)數(shù)為①A1C1和AD1所成角為π3②點(diǎn)B1到截面A1C1D的距離為23③正方體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶2 【答案】C【解析】本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.對(duì)于①連結(jié)AC,CD1,AD1，則∠CAD1就是A1C1和AD1所成角，在等邊△ACD1中，則∠CAD1=π3,故①正確；對(duì)于②，V三棱錐B1-A1C1

11．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FB＝14BC，則GB與EF° ° ° °【答案】D【解析】本題主要考查空間角.以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則G(0,0,1),B(2,2,0),E(2,2,1),F(32,2,0)，則GB=(2,2,-1),EF=(-12

12．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長(zhǎng)為A.2 B.3 D.2【答案】A【解析】本題主要考查空間角.由∠A1C1B1=∠ACB=90°，則B1C1⊥A1C1，又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1，則B1C1⊥平面ACC1A1，如圖,在面ACC1A1內(nèi)過(guò)C1作C二、填空題：共4題13．如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為________.【答案】π【解析】本題主要考查三視圖.依題意，該幾何體為底面直徑和高均為1的圓柱，其側(cè)面積為S=π，故填π

14．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上移動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是________.【答案】線段B1C【解析】本題主要考查直線與平面垂直的性質(zhì)定理.如圖,先找到一個(gè)平面總是保持與BD1垂直，連接AC,AB得BD1⊥CB1,BD1⊥AC；則BD1⊥面ACB1，又點(diǎn)

15．已知每條棱長(zhǎng)都為3的直平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng).則MN中點(diǎn)P的軌跡與該直平行六面體的表面所圍成的幾何體中體積較小的幾何體的體積為________.【答案】2π【解析】本題主要考查空間幾何體體積.如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，(N與D不重合)連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得，不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1，N與D重合也滿足題意，∠ADC=120°，故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D中心，半徑為1的半球的13，則所求體積為13×

16．已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于.

【答案】2【解析】本小題主要考查線面垂直、利用面積射影公式求二面角以及應(yīng)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解問(wèn)題的能力.設(shè)面AEF與面ABC所成的二面角為θ,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3,則△AEF在面ABC上的射影是△ABC.在△AEF中,AE=32+12=10,AF=(32)2+22=22,EF=(2-1)2+32=10,△AEF的面積等于12×22×(10)2-(1222)2=3112,而△ABC的面積等于三、解答題：共4題17．如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過(guò)A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【答案】(1)因?yàn)锳S＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn).又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF∥AB.因?yàn)镋F同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，且交線為SB，又AF因?yàn)锽C又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB因?yàn)镾A【解析】本題主要考查面面平行的判定定理及線面垂直的判定定理.(1)先證得EF∥AB，從而得EF∥平面ABC，利用面面平行的判定定理得平面EFG∥平面ABC.(2)利用平面SAB⊥平面SBC，利用面面垂直的判定定理證得AF⊥SB，從而證得AF⊥平面SBC，從而得AF⊥BC，利用線面垂直的判定定理證得BC⊥平面SAB，從而證得BC⊥SA.

18．如圖所示，在三棱錐P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ＝2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)GH.(1)求證：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值.【答案】(1)證明：因?yàn)镈，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC.又EF又EF又EF∥AB，所以AB∥GH.(2)方法一：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ.因?yàn)镻B⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.又BP∩BQ＝B，所以AB⊥平面PBQ.由(1)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.又FH平面PBQ，所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC，所以∠FHC為二面角D－GH－E的平面角.設(shè)BA＝BQ＝BP＝2.聯(lián)結(jié)FC，在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝2，在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝5.又H為△PBQ的重心，所以HC＝13PC＝53.同理FH＝在△FHC中，由余弦定理得cos∠FHC＝59+59-22×59＝－45方法二：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°.又PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BA＝BQ＝BP＝2，則E(1，0，1)，F(xiàn)(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2).所以EQ＝(－1，2，－1)，F(xiàn)Q＝(0，2，－1)，DP＝(－1，－1，2)，CP＝(0，－1，2).設(shè)平面EFQ的一個(gè)法向量為m＝(x1，y1，z1)，由m·EQ＝0，m·FQ＝0得-x1+2y1-z1=02y1設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0，得-取z2＝1，得n＝(0，2，1).所以cos〈m，n〉＝mnm|n|因?yàn)槎娼荄－GH－E為鈍角，所以二面角D－GH－E的余弦值為－45.【解析】本題主要考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理、二面角的求法.(1)利用D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，證得EF∥DC，利用線面平行的判定定理證得EF∥平面PCD，又EF2)方法一：先證得∠FHC為二面角D－GH－E的平面角.設(shè)BA＝BQ＝BP＝2.聯(lián)結(jié)FC，在Rt△PBC中，求得HC，F(xiàn)H的長(zhǎng)，在△FHC中，由余弦定理求得cos∠FHC，從而求得二面角.方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面EFQ的一個(gè)法向量為m＝(x1，y1，z1)，利用空間向量數(shù)量積求得m＝(0，1，2).同理求得平面PDC的一個(gè)法向量為n，利用數(shù)量積求得二面角的余弦值.

19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一點(diǎn)，△AEC面積的最小值是3.(1)求證：AC⊥DE；(2)求四棱錐P－ABCD的體積.【答案】(1)連接BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC.而PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PDB.E為PB上任意一點(diǎn)，DE?平面PDB，所以AC⊥DE.(2)連接EF.由(1)知AC⊥平面PDB，EF?平面PDB，所以AC⊥EF.S△ACE＝12AC·EF，在△ACE面積最小時(shí)，EF最小，則EF⊥P此時(shí)S△ACE＝3，12×6×EF＝3解得EF＝1.由△PDB∽△FEB，得PD由于EF＝1，F(xiàn)B＝4，所以PB＝4PD.又PB＝FD2+64，∴FD2+64解得PD＝815∴VP－ABCD＝13S菱形ABCD·＝13×24×81515【解析】本題主要考查線面垂直的判定定理及空間幾何體體積.(1)連接BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F.利用PD⊥平面ABCD，證得PD⊥AC.利用線面垂直的判定定理證得AC⊥平面PDB.從而證得AC⊥DE.(2)連接EF.由(1)知AC⊥平面PDB，從而證得AC⊥EF.求得在△ACE面積最小時(shí)，EF最小，則EF⊥PB.求得EF的長(zhǎng)，利用△PDB∽△FEB，求得PB＝4PD，從而求得PD的長(zhǎng)，利用四棱錐的體積公式求得VP－ABCD.

20．如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值;(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為26,求線段AM的長(zhǎng)【答案】解法一如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(Ⅰ)易得B1C1=(1,0,-1),CE=(-1,1,-1),于是B1C1·CE=0,所以(Ⅱ)B1C=(1,-2,-1).設(shè)平面B1CE則m·B1C=0,m·CE=0,即由(Ⅰ)知,B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故B1C1=(1,0,-1)為平面CEC于是cos<m,B1C1>=m·B從而sin<m,B1C1所以二面角B1-CE-C1的正弦值為217(Ⅲ)AE=(0,1,0),EC1=(1,1,1).設(shè)EM=λEC1=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AM=AE+EM=(λ,λ+1,λ).可取AB=(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量.設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則sinθ=|cos<AM,AB>|=|AM·AB||AM|·|AB|=2λλ2解法二(Ⅰ)因?yàn)閭?cè)棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.經(jīng)計(jì)算可得B1E=5,B1C1=2,E