高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系 名師獲獎(jiǎng)

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若l，m，n表示不重合的直線，α表示平面，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為()①l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α?l∥n；③m⊥α，n?α?m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0解析：①正確，∵l∥m，m∥n，∴l(xiāng)∥n.又l⊥α，∴n⊥α；②正確．∵l∥m，m⊥α，∴l(xiāng)⊥α.又n⊥α，∴l(xiāng)∥n；③正確，由線面垂直的定義可知其正確．故正確的有3個(gè)．答案：C2．如果直線a與平面α不垂直，那么平面α內(nèi)與直線a垂直的直線有()A．0條 B．1條C．無(wú)數(shù)條 D．任意條解析：可構(gòu)造圖形，若a∥α，a′?α，且a′∥a，則在平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線垂直于a′，故平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線垂直于直線a.答案：C3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：如圖所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，故選D.答案：D4．線段AB的兩端在直二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)，并與這兩個(gè)面都成30°角，則異面直線AB與l所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：過(guò)B作l的平行線，過(guò)A′作l的垂線，兩線交于點(diǎn)C，過(guò)B作l的垂線交l于B′，連接AC，A′B，AB′，則∠ABC即為異面直線AB與l所成的角，由題意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，所以AA′＝eq\f(1,2)AB，BB′＝A′C＝eq\f(1,2)AB，AB′＝eq\f(\r(3),2)AB，所以A′B′＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，AC＝eq\f(\r(2),2)AB，由勾股定理知∠ACB＝90°，則∠ABC＝45°.答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)5．已知平面α，β，γ，直線l，m滿足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可推出的結(jié)論有________．(請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.解析：如圖，∵α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，∴l(xiāng)⊥α，α⊥β，而m⊥β，β⊥γ不一定成立．答案：②④6.如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB，則直線a與直線l的位置關(guān)系是________．解析：∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l?α，∴l(xiāng)⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l(xiāng)⊥平面EAB.∵EB⊥β，a?平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.答案：平行7.如圖，四面體P－ABC中，PA＝PB＝eq\r(13)，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________.解析：取AB的中點(diǎn)E，連接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.連接CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2eq\r(7)，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\r(6)，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(43)，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝7.答案：7三、解答題(每小題10分，共20分)8.如圖：三棱錐P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.證明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.9．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝eq\r(34).(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)過(guò)C作CF⊥PB交PB于F，在線段AB上找一點(diǎn)E，使得PB⊥平面CEF.解析：(1)證明：由已知得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，∴PA⊥AC，PA⊥AB，且AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC.(2)∵CF⊥PB，∴只要PB⊥CE，則有PB⊥平面CEF.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CE，只需CE⊥AB，則有CE⊥平面PAB，可得PB⊥CE，則PB⊥平面CEF，設(shè)BE＝x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形．∵BC2＝BE·AB，即9＝5x，∴x＝eq\f(9,5)，故點(diǎn)E在AB上且到點(diǎn)B的距離為eq\f(9,5).10．(2023·運(yùn)城市康杰中學(xué)高二期中)如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，則下列說(shuō)法中不正確的是()A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AB∥平面ABC解析：因?yàn)锽D⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，因?yàn)镃D?平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD，故A正確；因?yàn)槠矫嫠倪呅蜛BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AB⊥AD，又CD⊥平面ABD，所以AB⊥CD，故B正確；因?yàn)锳B⊥平面ACD，AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故C正確；因?yàn)锳B?平面ABC，所以AB∥平面ABC不成立，故D錯(cuò)誤．故選D.答案：D11．(2023·宿州市高二期中)設(shè)m，n為空間的兩條直線，α，β為空間的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若m∥α，m∥β，則α∥β；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.上述命題中，其中假命題的序號(hào)是________．解析：①若m∥α，m∥β，則α與β相交或平行，故①不正確；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β，故②正確；③若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故③不正確；④若m⊥α，n⊥α，由直線垂直于平面的性質(zhì)定理知m∥n，故④正確．答案：①③12.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.(1)求證：AE∥平面BCD；(2)求證：平面BDE⊥平面CDE.證明：(1)取BC的中點(diǎn)M，連接DM，因?yàn)锽D＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC.又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因?yàn)锳E?平面BCD，DM?平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)已證AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四邊形DMAE是平行四邊形，所以DE∥AM.連接AM，易證AM⊥BC，因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD?平面BCD，所以DE⊥CD.因?yàn)锽D⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因?yàn)镃D?平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.13.如圖，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四邊形ABED是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)．(1)求證：GF∥平面ABC；(2)求證：平面EBC⊥平面ACD；(3)求幾何體A－DEBC的體積V.解析：(1)證明：如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.因?yàn)镚，F(xiàn)分別是EC和BD的中點(diǎn)，所以HG∥BC，HF∥DE.又因?yàn)樗倪呅蜛BED為正方形，所以DE∥AB，從而HF∥AB.所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又因?yàn)镚H∩HF＝H，所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC.(2)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BED為正方形，所以EB⊥AB.又因?yàn)槠矫鍭BED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.又因?yàn)镃A2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又因?yàn)锽E∩BC＝B，所以AC⊥平面EBC.又因?yàn)锳C?平面ACD，從而平面EBC⊥平面ACD.(3)取AB的中點(diǎn)N，連接CN