高中數(shù)學人教A版第三章不等式 市賽獲獎

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。單元質量評估(三)(第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.若b<a<0，則下列不等式中正確的是()A.1a>1b C.ba+ab>2 【解析】選C.取b=-2，a=-1代入驗證得C正確.2.(2023·贛州高二檢測)不等式x-4x-1<1的解集是A.(-∞，-1)∪(3，+∞) B.(-1，1)∪(3，+∞)C.(-∞，-1)∪(1，3) D.(-1，3)【解析】選C.不等式x-4x-1<1化為(即(x-3)(x+1)【補償訓練】不等式x-2x+3A.xB.xC.xD.x【解析】選B.原不等式可化為x-2x+3-2≤0，即-x-8x+33.(2023·太原高二檢測)若m<n，p<q且(q-m)(q-n)<0，(p-m)(p-n)<0，則m，n，p，q從小到大排列順序是()<m<n<q <p<q<n<q<m<n <n<p<q【解析】選B.將p，q看成變量，則m<p<n，m<q<n.4.若變量x，y滿足約束條件x≥-1,y≥x, B.2 【解析】選C.可行域是由A(-1，-1)，B(-1，4)，C(1，1)構成的三角形，可知目標函數(shù)過C時最大，最大值為3.【補償訓練】設x，y滿足約束條件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目標函數(shù)z=ax+by(a>0，b>0)的最大值為12，則2aA.256 B.83 C.11【解析】選A.不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分，當直線z=ax+by(a>0，b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4，6)時，目標函數(shù)z=ax+by取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而2a+3b=2a+3b·2a+3b6=1365.(2023·邯鄲高二檢測)已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是() B.4 C.92 D.【解析】選B.考查基本不等式x+2y=8-x·(2y)≥8-x+2y整理得x+2y2+4即x+2y-4又x+2y>0，所以x+2y≥4.當且僅當x=2，y=1時取等號.6.設不等式組x+y-11≥0,3x-y+3≥0,5x-3y+9≤0表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點A.(1，3] B.[2，3]C.(1，2] D.[3，+∞)【解析】選A.作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象，能夠看出，當圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點(2，9)時，a可以取到最大值3，而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點，故a的取值范圍為(1，3].7.當x>1時，不等式x+1x-1≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是A.(-∞，2] B.[2，+∞)C.[3，+∞) D.(-∞，3]【解析】選D.因為x>1，所以x-1>0，則x+1x-1=x-1+18.(2023·恩施高二檢測)已知函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(-1，3)和(1，1)兩點，若0<c<1，則a的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，2)C.[2，3) D.[1，3]【解題指南】由函數(shù)圖象經(jīng)過兩點，將兩點的坐標代入，可得a，b，c的關系，又因為0<c<1，由此確定a的取值范圍.【解析】選a-b+c=3,9.(2023·鐵嶺高二檢測)某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為()A.甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B.甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C.甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D.甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱【解析】選B.設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱.則x+y≤70,10x+6y≤480,x,y∈N,目標函數(shù)z=280x+200y，結合圖象可得：當x=15，y=55時z最大，10.已知M是△ABC內(nèi)的一點，且AB→·AC→=23，∠BAC=π6，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為12，x，y， B.18 【解析】選B.因為AB→·AC→=2所以|AB→||AC→|cos所以bc=4，所以S△ABC=12bcsinπ6=因為△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為12所以12+x+y=1，化為x+y=1所以1x+4y=25+25+2yx·4xy=18，當且僅當y=2x=11.已知兩點O(0，0)，A(1，1)及直線l：x+y=a，它們滿足：O，A有一點在直線l上或O，A在直線l的兩側，設h(a)=a2+2a+3，則使不等式x2+4x-2≤h(a)恒成立的x的取值范圍是()A.[0，2] B.[-5，1] C.[3，11] D.[2，3]【解析】選B.由O，A有一點在直線l上可得a=0或a=2，由O，A在直線l的兩側可得a(a-2)<0，解得0<a<2，故0≤a≤2，又函數(shù)h(a)=(a+1)2+2在[0，2]上單調遞增，所以h(a)max=h(2)=11，h(a)min=h(0)=3，由x2+4x-2≤h(a)恒成立，得x2+4x-2≤3，解不等式可得-5≤x≤1.12.若兩個正實數(shù)x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+y4<m2-3m有解A.(-1，4) B.(-∞，-1)∪(4，+∞)C.(-4，1) D.(-∞，0)∪(3，+∞)【解題指南】將不等式x+y4<m2-3m有解，轉化為求x+y4min<m【解析】選B.因為不等式x+y4<m2-3m有解，所以x+y4因為x>0，y>0，且1x+4所以x+y4==4xy+y4x當且僅當4xy=所以x+故m2-3m>4，即(m+1)(m-4)>0，解得m<-1或m>4，所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞，-1)∪(4，+∞).二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知不等式x2-ax-b<0的解集為(2，3)，則不等式bx2-ax-1>0的解集為__________.【解析】依題意知方程x2-ax-b=0的兩根為2，3，根據(jù)根與系數(shù)的關系可求得a=5，b=-6，所以不等式bx2-ax-1>0為6x2+5x+1<0，解得-12<x<-1答案：-14.(2023·揚州高二檢測)不等式4x-3·2x+2<0的解集是__________.【解析】由4x-3·2x+2<0?(2x)2-3·2x+2<0?(2x-1)(2x-2)<0?1<2x<2.所以0<x<1，故不等式的解集是{x0<x<1}.答案：{x0<x<1}15.已知f(x)=32x-k·3x+2，當x∈R時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍為________.【解題指南】當x∈R時，f(x)>0恒成立，分離出參數(shù)，轉化為求最值問題，利用基本不等式求最值.【解析】由f(x)>0，得32x-k·3x+2>0，解得k<3x+23x，而3x+23x≥2答案：(-∞，22)【補償訓練】不等式x+3+x-1≥a2-3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為【解析】依題意，x+3+x4≥a2-3a，解得-1≤a≤4.答案：[-1，4]16.(2023·鹽城高二檢測)設m>1，已知在約束條件y≥x,y≤mx,x+y≤1下，目標函數(shù)z=x2+y2的最大值為23【解題指南】由題意作出其平面區(qū)域，z=x2+y2可看成陰影內(nèi)的點到原點(0，0)的距離的平方，求陰影內(nèi)的點到原點(0，0)的距離為23【解析】由題意作出其平面區(qū)域，z=x2+y2可看成陰影內(nèi)的點到原點(0，0)的距離的平方，則由題意得x解得，點C的坐標為12則m=12+3答案：2+3三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2023·濰坊高二檢測)已知a>0，b>0，且a≠b，比較a2b+【解析】a2b+b2a-(a+b)=a2b=(a2-b2)a-bab=又因為a>0，b>0，且a≠b，所以(a-b即a2b+所以a2b+18.(12分)(2023·蘇州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+6.(1)當a=5時，解不等式f(x)<0.(2)若不等式f(x)>0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因為當a=5時，不等式f(x)<0即x2+5x+6<0，所以(x+2)(x+3)<0，所以-3<x<-2，所以不等式f(x)<0的解集為{x|-3<x<-2}.(2)不等式f(x)>0的解集為R，所以關于x的一元二次不等式x2+ax+6>0的解集為R，所以Δ=a2-4×6<0?-26<a<26，所以實數(shù)a的取值范圍是(-26，26).【拓展提升】恒成立問題的解決策略(1)不等式ax2+bx+c>0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當a=0時，b=0，c>0；當a≠0時，a(2)不等式ax2+bx+c<0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當a=0時，b=0，c<0；當a≠0時，a(3)fx≤a恒成立?fxmax≤a，fx≥a恒成立?f19.(12分)(2023·重慶高二檢測)已知x>0，y>0，x+2y-xy=0.(1)求xy的最小值.(2)求x+y的最小值.【解析】(1)因為x>0，y>0，x+2y-xy=0，所以xy=x+2y≥2x·2y當且僅當x=2y=4時取等號.所以xy的最小值是8.(2)由x+2y=xy，解得y=xx-2所以x+y=x+xx-2=x-2+22(x-2)·2x-2當且僅當x=2+2，y=1+2時取等號，所以x+y的最小值為22+3.20.(12分)(2023·南昌高二檢測)若a<1，解關于x的不等式ax【解析】不等式axx-2>1可化為因為a<1，所以a-1<0，故原不等式可化為x-故當0<a<1時，原不等式的解集為x2<x<當a<0時，原不等式的解集為x2當a=0時，原不等式的解集為?.21.(12分)(2023·黃山高二檢測)電視臺與某廣告公司簽約播放兩部影片集，其中影片集甲每集播放時間為19分鐘(不含廣告時間，下同)，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為60萬；影片集乙每集播放時間為7分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為20萬，廣告公司規(guī)定每周至少有6分鐘廣告，而電視臺每周只能為該公司提供不多于80分鐘的節(jié)目時間(含廣告時間).(1)問電視臺每周應播放兩部影片集各多少集，才能使收視觀眾最多.(2)在獲得最多收視觀眾的情況下，影片集甲、乙每集可分別給廣告公司帶來a和b(萬元)的效益，若廣告公司本周共獲得3萬元的效益，記S=8a+5b為效益調和指數(shù)(單位：萬元)【解析】(1)設影片集甲乙分別播放x，y集，由題意得x+y≥6,要使收視觀眾最多，只要z=60x+20y最大即可.作出可行域，如圖由x+y=6,20x+8y=80,解得A所以滿足題意的最優(yōu)解為(2，5)，zmax=60×2+20×5=220，故電視臺每周影片集甲播出2集，影片集乙每周播出5集，能使收視觀眾最多.(2)由題意得：2a+5b=3，則S=8a+5b=13(=13當且僅當a=23，b=1322.(12分)某小區(qū)有一塊三角形空地，如圖△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90°，開發(fā)商計劃在這片空地上進行綠化和修建運動場所，在△ABC內(nèi)的P點處有一服務站(其大小可忽略不計)，開發(fā)商打算在AC邊上選一點D，然后過點P和點D畫一分界線與邊AB相交于點E，在△ADE區(qū)域內(nèi)綠化，在四邊形BCDE區(qū)域內(nèi)修建運動場所.現(xiàn)已知點P處的服務站與AC距離為10米，與BC距離為100米，設DC=d米，試問d取何值時，運動場所面積最大？【解析】方法一：以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則C(0，0)，A(0，180)，B(90，0)，P(10，100)，D(0，d)，DE直線方程：y-100=d-100AB所在直線方程為2x+y=180，②解①，②組成的方程組得，xE=10d-1800因為直線DE經(jīng)過點B時d=2252所以0<d<2252S△ADE=12AD·|xE|=12·(180-d)·設120-d=t∈152S△ADE=5·(=5·t+因為t+3600t≥120(當且僅當t=60，即k此時d=120-t=60，所以當d=60時，綠化面積最小，從而運動區(qū)域面積最大.方法二：如圖，分別過點P，E作AC的垂線，垂足為點Q，F(xiàn).設EF=h，若如圖1所示，則PQ=10，CQ=100，DQ=100-d，由△AFE∽△ACB得AF180=即AF=2h，從而C