8第八講 鴿巢原理

第八講

鴿巢原理課目課重課難教方建

1、知識與技能）初步了解鴿巢原理”的含義，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿原理”的學(xué)習(xí)過程，體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學(xué)習(xí)方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。3、情感態(tài)度與價值觀）體數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體驗學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的樂趣）理解知識的產(chǎn)生過，受到歷史唯物注意的教育感數(shù)學(xué)在實際生活中的作用，培養(yǎng)刻苦鉆研、探究新知的良好品質(zhì)。引導(dǎo)學(xué)會把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題用抽屜原理的知識解決簡單的實際問題。理解“鴿巢原理出鴿巢問題“解決的竅門進(jìn)行反復(fù)推理。探究證明→出結(jié)論→固練習(xí)一、知識梳理“數(shù)學(xué)廣角”這一單元，向?qū)W生滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。和以往的義務(wù)教育教材相比，這部分內(nèi)容是新增的內(nèi)容。教材通過幾個直觀例子，借助實際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問題學(xué)生在理解“鴿巢問題”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題加以“模型化用鴿巢問”加以解決。在數(shù)學(xué)問題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問題。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪個物體（或人類問依據(jù)的理論我們稱之為“抽屜原理理最先是19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷用于解決數(shù)學(xué)問題的，所以又稱“狄利克雷原理之為“鴿巢問題題的理論本身并不復(fù)雜，甚至可以說是顯而易見的。但“鴿巢問題”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此巢問”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應(yīng)用。二、方法歸納鴿巣原理是一個重要又基本的組合原,在解決數(shù)學(xué)問題時有非常重要的作用。1

①什么是鴿巣原,先從一個簡單的例子入,把3個蘋放在2個子里,共四種不同的放法如表放法1234

盒子13210

盒子20123無論哪一種放法,都可以必一個盒子放了兩個或兩個以上的蘋果這結(jié)論是在“任意放法”的情況,得出的一個“必然結(jié)果類似的如有5只子飛進(jìn)個鴿籠,那一定有一個鴿籠飛進(jìn)了2只或2只以上的鴿子。如果有6封,任意投入5個箱,那一定有一個信箱至少有2封我們把這些例子中的“蘋果一種物體，把“盒子箱”看作鴿,可得到鴿巣原理最簡單的表達(dá)形式①利用公式進(jìn)行解題：物體個數(shù)÷鴿巣個數(shù)=商……余至少個=商+12、摸個色球計算方法。①要保證摸出兩個同色的球，摸出的球的數(shù)量至少要比顏色數(shù)多1。物體數(shù)＝顏色數(shù)×（至少數(shù)－1＋1②極端思想：用最不利的摸法先摸出兩個不同顏色的球無論摸出一個什么顏色的球能證一定有兩個球是同色的。③公式：兩種顏色：＋1＝3（個）三種顏色：＋1＝4（個）四顏色4＋1＝5個）鴿巢原理（一果m個體任意放進(jìn)n個屜里m>n且n是零自然數(shù)m÷n=b…余數(shù)，那么一定有1抽屜里至少放進(jìn)b+1本書。2

鴿巢原理（二國把kn個物體任意分別放進(jìn)n個空抽屜k是整數(shù)，是非0的自然數(shù)么一定有一個抽中至少放進(jìn)了k+1)個物體。三、課精講例1）枚舉法證明。由此發(fā)現(xiàn)，把4枝鉛筆分配到3個文具盒中，一共有（）情況，在每種情況中，總有一個文具盒中至少有（）枝鉛筆。（2）用數(shù)的分解法證明。似，共有（）中，至少有1個是

由此發(fā)現(xiàn)，把4分成3個，上面的枚舉法相共有（）情況，每一種情分得的個數(shù)少大于等于（）。（3）用假設(shè)法證明。把4枝鉛筆放進(jìn)3個文具盒中，設(shè)先在每個文具盒中放鉛筆，那么3個具盒里就放了（）鉛筆，還剩（）枝鉛筆。把剩下的鉛筆再放進(jìn)任意1個具盒里，則這個文具盒里就有（）鉛筆了。以上三種方法都足以證明：把4枝筆放進(jìn)3個具盒中，不管怎么放，總有1個文盒里至少放進(jìn)（）鉛筆。例2某班有男生人女生18人，下面說法正確的是（）A.少有2名生在同一個月出生的

B.至有2名生是在同一個月出生的C.全班至少5個是在同一個月出生的D.以上選項都有誤【律法主要考查用抽屜原理的知解決實際問題。解析：一年有個，因為，2+1=3，以至少有名男生是在同一個月出生的，3

至少有名生是在同一個月出生的，，班至少有個是在同一個月出生的?！臼接?xùn)練1【度級A1、填一填：（1）水東小學(xué)六年級有30名生是二月份（按28天算）出生的，六年級至少有（）學(xué)生的生日是在二月的同一天。（2）有3個同一起練習(xí)投籃，如果他們一共投進(jìn)16個球那么一定有1個同至少投進(jìn)了（）球。（3）把6只雞進(jìn)5個雞籠，至少有（）雞要放進(jìn)同個雞里。（4）某班有個小書架，個同可以任意借閱，小書架上至少要有（）書，才可以保證至少有1個學(xué)能借到2本本以的書。2．某班48名學(xué)投票選一名班長（每人只許投一票），候選人是小華、小紅和小明三人，計票一段時間后的統(tǒng)計結(jié)果如下：規(guī)定得票最多的人當(dāng)選，那么后面的計票中小華至少還要得（）才能當(dāng)選？A.6B.7例3把一些蘋果平均放在3個抽屜里，總有一個抽屜至少放入幾個呢？請完成下表：【律法主要考查簡單的抽屜原理解析：解決此類抽屜原理問題的一般思路為：放蘋果最多的抽屜至少放進(jìn)的個=蘋個數(shù)除以抽屜數(shù)所得的+1（有余的情況下）。4

例

研究發(fā)現(xiàn)，在抽屜原理的問題中“抽”至少放入物體數(shù)的求法是用物體數(shù)除以（）數(shù)，當(dāng)除得的商沒有余時，至少放入的物體數(shù)就等于（）當(dāng)除得的商有余數(shù)時，至少放入的物體數(shù)就等于（）?！韭煞ㄖ饕疾榻鉀Q簡單抽屜原問題的一般思路解析重點(diǎn)考查學(xué)的歸納概括能力，加深對已學(xué)知識的理解。根據(jù)簡單的抽屜原理：把多于個物體放到個屜中，至少有一個抽屜里的東西的個數(shù)不少于2；多于

（

乘以）物體放到個抽屜中，至少有一個抽屜里有不少于（）物體。例箱子中有個紅球4個球，至少要取出（）才能保證兩種顏色的球都有，至少要?。ǎ┎拍鼙ＷC有2個白球?！韭煞ㄖ饕疾殪`活運(yùn)用抽屜原的知識解決問題。解：兩種顏色分別看作個屜，考慮最差情況5個紅球全部取出來，那么再任意取出一個都是白球，所以至少取出6個才能保證兩種顏色的球都有；要保證有個白球，在取完所有紅球的情況下再取2個即可。【式訓(xùn)練2【度級A1．在如下圖的盒子中，小華蒙著眼睛往外摸球，至少要摸出多少個，才能保證摸出的球至少有種同的顏色？（三紅四藍(lán)四黃五綠）5

例6某同學(xué)為地震災(zāi)區(qū)小朋友捐獻(xiàn)圖，所捐圖書共分為故事書、科技樹和教輔資料書三類，捐書的情況是：有捐一本的，有捐兩本的，還有捐三本的。問至少要有幾位同學(xué)來捐書才能保證一定有兩位同學(xué)所捐書的類型相同？（每種類型的書最多捐一本）【律法主要考查考查綜合運(yùn)用排組合、抽屜原理的知識解決實際問題。解：析捐書的情況，捐一類的：故事書、科技書、教輔資料共三種；捐兩類的：故事書和科技書、故事書和教輔資料書，科技書和教輔資料書共三種；捐三類的是一種；總共有種同的捐法。把這種情況看作7個抽屜，要保證有兩位同學(xué)捐書的類型相同，只要名學(xué)即可。例

“六一兒童節(jié)那天，幼兒園買來了許多的果、桃子、桔子和香蕉，每個小朋友可以任意選擇兩種水果，那么至少要有（）小朋友才能保證有兩人選的水果是相同的；如果每位小朋友拿的兩個水果可以是同一種，那么至少要有（）小朋友才能保證兩人拿的水果是相同的?！韭煞ㄖ饕疾榕帕信c組合的知；抽屜原理解析在已知的四種水果中任意選擇兩種，共有6種同的選擇方法，那么至少要有7個朋友才能保證有兩個人選的水果是相同的；如果每位小朋友拿的兩個水果可以是同一種，那么共有10種同的選擇方法，至少要有11個朋友才能保證有兩人拿的水果相同?！臼骄殹俊径燃塀1．在下面的方格中，將每一個格涂上紅色或黃色，不論怎么涂，至少有幾列的顏色是完全相同的？①兩②兩③上下黃④黃下紅6

例將、黃、藍(lán)三種顏色的帽子各頂入一個盒子里，要保證取出的帽子有兩種顏色，至少應(yīng)取出（）頂帽子；要保證三種顏色都有，則至少應(yīng)取出（）；要保證取出的帽子中至少有兩頂是同色的，則至少應(yīng)取出（）?！韭煞ㄖ饕疾榫C合運(yùn)用抽屜原的知識解決問題解析解答此題的鍵是從極端的情況進(jìn)行分析。假設(shè)取出的前5頂都是同一種顏色的帽子（把一種顏色取完）再取一頂就一定有兩種顏色；）假設(shè)前10次取出的是前兩種顏色的帽子（把兩種顏色的帽子取完），再取出一頂，就能保證三種顏色都有；3把三種顏色看作三個抽屜，保證取出的帽子中至少有兩個是同色的，至少應(yīng)取4頂。例撲牌里學(xué)數(shù)學(xué)：一副撲克牌（取出兩張王牌）。（1）在剩下的52張牌中任意抽9張至少有多少張是同花色的？（2）撲克牌一共有4種色，每種花色都有13張牌，問至少要抽出幾張牌才能保證有一張是紅桃？（3）至少要抽出多少張才能保有張牌是同一花色的？【律法主要考查綜合運(yùn)用抽屜原的知識解決實際問題。解：（1任意抽出9張牌假設(shè)每種花色的各有2張，剩下的張不管是什么花色，都可以保證至少有3張同花色的；（2要保證有一張是紅桃，考慮到最差情況，將不是紅桃的牌都抽光，只要再抽一張就一定是紅桃；）要保證5是同花色的，可以假設(shè)4種花色的都抽取了4張只要再抽一張即可。四、講結(jié)合題一)一：1、鴿巢原理（一果m個體任意放進(jìn)n個抽屜里（m>n，是非自然數(shù)么一定有一個抽屜里至少放進(jìn)了放進(jìn)了（）個物體。2）7本放進(jìn)3個抽，不管怎么放，總有1抽屜里至少有（）書。7

（2）如果把8本放進(jìn)3個抽，不管怎么放，總有抽屜里至少有（）書。（3）如果把本書進(jìn)3個屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少有（）本書。（4）歸納總結(jié)：綜合上面兩種情況，要把a(bǔ)本放進(jìn)抽屜里，如果（本）（）或a÷3=b（本）......2（本么一定有1個抽屜里至少放進(jìn)（）書。3、鴿巢原理（二國把多與kn個物體任意分別放進(jìn)n個空屜k是整數(shù)，是非0的然數(shù)么一定有一個抽屜中至少放進(jìn)了（）物體。（）判斷1、三個同學(xué)一起做游戲，其中定有兩人性別相同。（）2、六（）45個同學(xué)中至少4生肖屬相相同。（）3、有只兔10個籠子，果每只籠子最多放5，那么不管你怎么放，一定會有三個籠子里有一樣多的小兔。（）4、糖盒子里有外形一樣的巧克糖和水果糖各10，要想摸出2顆果糖，至少要摸出3顆。

（）54種色的撲克牌各1張張色相同的撲克牌要5張。（）（）擇：1個方體木塊的6個面分別畫三種不同的平面圖案怎畫）個畫面的圖案相同。A.2B.3C.42、劉阿姨給孩子們買衣服，有、黃、白三種顏色，但結(jié)果總是至少有兩個孩子衣服的顏色一樣，至少給（）個孩子買衣服。A.3B.4C.23紅藍(lán)黑小球各10個在個袋子里了保證摸出的小球有3個色相同，應(yīng)至少摸出（）小球。A.7B.8C.94個孩分進(jìn)4個班至有一個班分到的學(xué)生人數(shù)不少。A.2B.3C.45、小東玩擲塞子游戲，要保證出塞子的點(diǎn)數(shù)至少有兩次相同，他最少要擲（）次。8

A.5B.6C.76、25人至少有（）屬相是相同的。A.2B.3C.13D.24（）決題（1）把支筆最多放入幾個鉛筆盒里，可以保證至少有1個筆盒里的鉛筆不少于6支？（2）一個袋子里裝有紅、黃、襪子各5，一次至少取出多少只可以保證每種顏色至少有1只（）袋里有4種同顏色的小球若干個，最少取出多少個小球，就能保證其中定有3個小球的顏色相同？（4）有49名學(xué)共同參加體操表演，其中最小的8歲最大的11歲。參加體操表演的學(xué)生中是否一定有2名2名上在同年同月出生的？（5）把280張卡片分給若干名學(xué)，每人都要分到，但都不得超過10張試說明至少有6名學(xué)得到的卡片數(shù)同樣多。9

五．課自測練習(xí)1、一個小組13個人其中至少有（）是同一個月出生的。2、6只子飛回5個鴿，至少有（）鴿子要飛進(jìn)同一個鴿舍里。3、盒子里有同樣大小的紅球、球各3個要想摸出的球一定有2個是同色的，最少要摸出（）球。4、49名年婦女在廣場上載歌舞，她們中至少有（）名婦女是同一個月出生5界水日”是每年的（）（）日。6、盒子里有紅，黑，黃，藍(lán)四顏色的球5個，摸出的球一定有2個同色的，最少要摸出（）球。摸出的球一定有2個是不同色的，最少要摸出（）個球。7、一個由6個長為2厘米正方形組成的長方形，這個圖形的周長是（）厘米。8一長方形的周長是l8米果它的長和寬都是整數(shù)米么這個長方形的面積多少種可能值請一列舉。9、有個人住5個房間，至少有兩個人住同一間房。為什么？（請你用圖示的方法說明理由）10、把9本書放進(jìn)2個抽屜里，總一個抽屜至少放5本書，為什么？11、望小學(xué)有367人，請問有有兩個學(xué)生的生日是同一天？為什么？10

12、25枚子放入下圖的三角形內(nèi)，那么一定有一個小三角形中至少放入（）。A.6B.7C.8D.913、花貓釣到了鯉魚、草魚、魚三種魚共12，放在桶里提回家去，路上遇見了小白貓，小花貓問小白貓：“你最愛吃什么魚？”小白貓說：“我最愛吃的是鯉魚?！毙』ㄘ堈f：“好，你只要從我的桶里隨便拿出3條魚，就一定會有你最愛吃的鯉魚，不過你得先告訴我，我一共釣了幾條鯉魚？”小白貓說了一個數(shù)，并從桶里拿出3條，果然有鯉魚，小花貓把1條魚送給了小貓。那么，小花貓到底釣到了幾條鯉魚呢？11

第講鴿問【答】課精例1）4；2（2；2（3）3；1；22例2?！臼骄殹?）2（2）6

（3）2（4）412．答案：。解析：根據(jù)題意一共48票，已計了30票還有48-30=18票沒計。現(xiàn)在小華得了13票，小紅得了10票，要小華到的票數(shù)比小紅多1就能當(dāng)選。（18-3）÷2=7……1，7+1=8，以小華至少還要得8票能當(dāng)選。例案：放蘋果最多的抽屜至少放進(jìn)的個蘋果個數(shù)除以抽屜數(shù)所得的+（有余數(shù)的情況下）。例答：抽屜；商；+1。例答案6?！臼骄殹俊径燃堿1．答案：5+4+1=10個）答：至少要摸出10個，才能證有3不同的顏色。例6案：7+1=8（）答：至少要8位學(xué)來捐書，才能保證一定有兩位同學(xué)所捐書的類型相同。例答案：；11【式練】【度級B1.答：…12+1=3（列）答：不論如何涂色，至少有3列顏色是完全相同的。12

解：一列有四種不同的涂法（如下圖），將9列作9個體，四種不同的涂法看成4個屜，9÷4=2…，即每涂色的方法各涂出2列，還剩下1列所以至少有2+1=3（）的顏色是完全相同。①兩紅②兩③紅下黃④黃下紅例答案：；11；4。例案（1）9÷4=2…2+1=3張）答：至少有3張同花色的。（2）13×3+1=40（張）答：至少要抽出40張才能保有一張是紅桃。（3）4×4+1=17（張）答：至少要抽出17張能保證5牌是同一花色的。四講結(jié)題()一：1、22）3（2）3（3）4（4）b+13（）判斷1、2.√3.前6個子分別放245只共要（31-15=16只，這16只論怎么放在剩下的個籠子里，總和前面有一個相同的，即一定會有2+1=3只籠子里有一樣多的小兔．所以原題說法正確．4.×。根據(jù)題干分析可得10+2=12（）答：要想摸出2顆果糖，至少要摸出12顆故答案為．13

5.√。4×1+1=5（（）擇：1.A2.B3.C4.B5.C6.B（）決題（13個筆，分別為5,5,6。屜原理，反證每個都≤5，最多3*5=15矛所以有最少一個以。（2以壞方法,取第一次時取得全是紅色（五只）第二次取得是全是黃色（五只）第三次取一只這樣只（3）個2乘4加1等9；如果按最壞的情況來,就是每種顏色都拿了個,樣就乘以4等于再一個不管是什么顏色的都一定有3個色相同.所以2乘以加1,案是9個（4）抽屜問題，8歲到11歲有年8、9、10年有十二個月、四年就有48個月、有49名同、49÷48=1…1么，1+1=2(）所以，一定有兩個同學(xué)同年同月出生（5）假設(shè)沒有人上分到的卡片數(shù)相同，那么最多就5人分得的卡片張數(shù)相等，根據(jù)題意，那么1-10每個數(shù)字最多有人分到那分的卡片數(shù)最多為：張，不到280張，說明此假設(shè)不成立所以可得至少有6名學(xué)分得的卡片張數(shù)相等．五．課自測練習(xí)1、2；2、2；、4、5、3；226、5；6