高中數(shù)學(xué)人教A版5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯(cuò)提醒]1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)．(1)關(guān)注用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟．第一步稱(chēng)“歸納奠基”，是遞推鏈的起點(diǎn)；第二步稱(chēng)為“歸納遞推”，是遞推鏈具有傳遞性的保證．兩步缺一不可，否則不能保證結(jié)論成立．(2)關(guān)注適用范圍，數(shù)學(xué)歸納法適用于某些與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題，這里n是任意的正整數(shù)，它可取無(wú)限多個(gè)值，但是，并不能說(shuō)所有與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．(1)在數(shù)學(xué)歸納法中，沒(méi)有應(yīng)用歸納假設(shè)．(2)歸納推理不到位．專(zhuān)題一數(shù)學(xué)歸納法在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，常會(huì)遇到兩個(gè)困難，一是對(duì)其實(shí)質(zhì)不容易理解，二是對(duì)歸納步驟的證明感到難以入手，其實(shí)在數(shù)學(xué)歸納法中只有兩個(gè)步驟：歸納奠基，歸納遞推，二是缺一不可．(1)不可缺第一步．有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為第二步有遞推作用，且k可以取任意值，因此第一步就無(wú)關(guān)緊要，有沒(méi)有均可．這是一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，它忽略了第一步的奠基作用．因?yàn)槿绻麤](méi)有n＝n0時(shí)成立，歸納假設(shè)也就沒(méi)有了依據(jù)，遞推性就建立在毫無(wú)根據(jù)的結(jié)論之上，當(dāng)然也不可能得到正確的結(jié)論．(2)不可缺第二步．在剛接觸數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易覺(jué)得，既然一個(gè)數(shù)學(xué)命題對(duì)開(kāi)頭的一些自然數(shù)成立，那么由n＝k成立推導(dǎo)出n＝k＋1成立是必然的，因此第二步流于形式，證與不證一個(gè)樣．顯然這是不正確的，原因在于沒(méi)有認(rèn)識(shí)到歸納步驟所起的遞推作用，如果沒(méi)有遞推性，雖然一個(gè)數(shù)學(xué)命題對(duì)于開(kāi)頭的許多自然數(shù)都成立，但是對(duì)于后面的并不一定成立．因此我們不能把不完全歸納當(dāng)做數(shù)學(xué)證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)不可缺第二步．[例1]求證對(duì)任意正整數(shù)n，有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2成立．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，所以原等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立，即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2.在上式等號(hào)兩邊同時(shí)加上(k＋1)3，得13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝(1＋2＋…＋k)2＋(k＋1)3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(k（k＋1）,2)))eq\s\up12(2)＋(k＋1)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,2)))eq\s\up12(2)[k2＋4(k＋1)]＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（k＋1）（k＋2）,2)))eq\s\up12(2)＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2也成立．綜合(1)(2)可知，對(duì)任何正整數(shù)n，原等式成立．歸納升華1．證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是：第二步將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)結(jié)構(gòu)相同的形式——湊假設(shè)，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過(guò)恒等變形，得到結(jié)論所需要的形式——湊結(jié)論．2．證明不等式的題型多種多樣，所以不等式的證明是一個(gè)難點(diǎn)，在由n＝k成立，推導(dǎo)n＝k＋1也成立時(shí)，過(guò)去講過(guò)的證明不等式的方法在此都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時(shí)還要考慮與原不等式等價(jià)的命題．3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí)，第二步一般先將n＝k＋1代入原式，然后將原式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，湊出歸納假設(shè)，這是證明的關(guān)鍵和難點(diǎn)．[變式訓(xùn)練]設(shè)an＝eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n（n＋1）)(n∈N＋)，求證：eq\f(1,2)n(n＋1)＜an＜eq\f(1,2)(n＋1)2.證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\r(2)，eq\f(1,2)n(n＋1)＝1，eq\f(1,2)(n＋1)2＝2，所以1＜eq\r(2)＜2，所以n＝1時(shí)，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即eq\f(1,2)k(k＋1)＜ak＜eq\f(1,2)(k＋1)2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1,2)k(k＋1)＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)＜ak＋1＜eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)，eq\f(1,2)k(k＋1)＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)＞eq\f(1,2)k(k＋1)＋(k＋1)＝eq\f(1,2)(k＋1)·(k＋2)＝eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)＋1]，eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(（k＋1）（k＋2）)＝eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\f(1,2)(k＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(3,2)))＝eq\f(1,2)(k＋2)2＝eq\f(1,2)[(k＋1)＋1]2，所以eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)＋1]＜ak＋1＜eq\f(1,2)[(k＋1)＋1]2，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．根據(jù)①②可知對(duì)任意的n∈N＋，不等式eq\f(1,2)n(n＋1)＜an＜eq\f(1,2)(n＋1)2恒成立．專(zhuān)題二歸納、猜想、證明思想的應(yīng)用歸納、猜想、證明屬于探索性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)算、觀(guān)察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，因此務(wù)必要保持猜想的正確性，同時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書(shū)寫(xiě)．[例2]數(shù)列{an}滿(mǎn)足Sn＝2n－an.(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想．(1)解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，所以a1＝1.當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，所以a2＝eq\f(3,2).當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，所以a3＝eq\f(7,4).當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，所以a4＝eq\f(15,8).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N＋)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，即ak＋1＝2＋ak－ak＋1，所以ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2＋\f(2k－1,2k－1),2)＝eq\f(2k＋1－1,2k)，這表明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．由①②知猜想的通項(xiàng)公式an＝eq\f(2n－1,2n－1)成立．歸納升華此類(lèi)猜想數(shù)列通項(xiàng)公式的題，是通過(guò)利用遞推關(guān)系來(lái)完成n＝k＋1的證明的．[變式訓(xùn)練]數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＝eq\r(2aeq\o\al(2,n－1)＋1)(n∈N＋，n≥2)．(1)寫(xiě)出數(shù)列{an}的前五項(xiàng)；(2)猜測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．解：(1)a1＝1，a2＝eq\r(3)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(15)，a5＝eq\r(31).(2)猜想an＝eq\r(2n－1)(n∈N＋)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\r(21－1)＝1，顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即ak＝eq\r(2k－1).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝eq\r(2aeq\o\al(2,k)＋1)＝eq\r(2（2k－1）＋1)＝eq\r(2k＋1－1).這表明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．由①②知，結(jié)論對(duì)所有的正整數(shù)都成立．專(zhuān)題三轉(zhuǎn)化和化歸思想把所要證的平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解決，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的思想．一般將待解決的平面幾何問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之化為我們熟悉的或容易解決的問(wèn)題．[例3]設(shè)平面α內(nèi)有n條直線(xiàn)，這n條直線(xiàn)把平面α分成互不垂疊的區(qū)域個(gè)數(shù)的最大值為f(n)，求f(n)的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．解：設(shè)平面α內(nèi)k(k≥1)條直線(xiàn)把平面α分成區(qū)域個(gè)數(shù)的最大值為f(k)，則第k＋1條直線(xiàn)與前k條直線(xiàn)最多有k個(gè)交點(diǎn)，因此第k＋1條直線(xiàn)最多可以被分成k＋1段，每一段可把所在的區(qū)域分為兩部分，所以比原來(lái)的區(qū)域增加k＋1個(gè)，即有f(k＋1)＝f(k)＋k＋1，所以f(k＋1)－f(k)＝k＋1.于是f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝3，…，f(n)－f(n－1)＝n.把以上n－1個(gè)等式相加得f(n)－f(1)＝2＋3＋…＋n.因?yàn)閒(1)＝2，所以f(n)＝f(1)＋(2＋3＋…＋n)＝eq\f(1,2)(n2＋n＋2)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)n＝1時(shí)，一條直線(xiàn)可以把平面分成2個(gè)，即f(1)＝2，而eq\f(1,2)(n2＋n＋2)＝eq\f(1,2)(1＋1＋2)＝2，所以命題成立．(2)假設(shè)n＝k時(shí)，f(k)＝eq\f(1,2)(k2＋k＋2)成立，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)＝eq\f(1,2)(k2＋k＋2)＋(k＋1)＝eq\f(1,2)(k2＋2k＋1＋k＋3)＝eq\f(1,2)[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]，所以命題仍成立．由(1)(2)知，當(dāng)n∈N*時(shí)，f(n)＝eq\f(1,2)(n2＋n＋2)成立．歸納升華有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、公式等與自然數(shù)n有關(guān)的命題，主要是抓住遞推關(guān)系，明確要證明的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．[變式訓(xùn)練]用數(shù)學(xué)歸納法證明：任意凸多邊形都可以變成一個(gè)和它等面積的三角形．證明：(1)當(dāng)n＝3時(shí)，命題顯然成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N＋)時(shí)，命題成立，即任意凸k邊形都可以變成一個(gè)和它等面積的三角形．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)于