高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式單元測(cè)試【區(qū)一等獎(jiǎng)】

第二課時(shí)基本不等式的應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）通過(guò)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步加深對(duì)基本不等式的理解，能靈活地用基本不等式解決有關(guān)問(wèn)題。（2）理解用不等式求最值的條件，并能求實(shí)際問(wèn)題的最大值或最小值。（3）通過(guò)本節(jié)的探究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、歸納等數(shù)學(xué)意識(shí)與解決問(wèn)題的能力。2.基礎(chǔ)預(yù)探（1）不等式中的a,b的取值范圍是，等號(hào)成立的條件是。（2）不等式中的a,b的取值范圍是，等號(hào)成立的條件是。（3）可化為型的函數(shù)，當(dāng)ab>0且時(shí)可用基本不等式求最值，若a>0,b>0,則當(dāng)時(shí)，。若則當(dāng)時(shí)，。（4）對(duì)于正數(shù)，若則有最值是，若則有最值是。二、基本知識(shí)習(xí)題化1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的取值范圍是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(4，＋∞)D．[4，＋∞)2．已知正整數(shù)a，b滿足4a＋b＝30，使得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值時(shí)，則實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)是()A．(5,10)B．(6,6)C．(10,5)D．(7,2)3．已知，則函數(shù)的最大值是4．函數(shù)在時(shí)有最值為三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1．基本不等式或具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”，以及將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能。2.“和定積最大，積定和最小”，即兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則可求其積的最大值；反過(guò)來(lái)，若積為定值，則可求其和的最小值，應(yīng)用此結(jié)論須注意以下三點(diǎn)：一正、二定、三相等。3.有關(guān)二元多項(xiàng)式的最值，由于涉及兩個(gè)未知數(shù)，使得變形方向不夠明朗。變形過(guò)程中應(yīng)圍繞可以應(yīng)用已知條件中的“和或積為常數(shù)”來(lái)進(jìn)行，常用湊的方法。另外，“1”的代換也是一種常用的方法。4.對(duì)于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，例如：等，同時(shí)還要注意不等式成立的條件和等號(hào)成立的條件。5.可以變形為形式的函數(shù)。這里，可以考慮應(yīng)用均值不等式求解。圍繞等號(hào)成立的條件，發(fā)現(xiàn)使等號(hào)成立的條件與參數(shù)有關(guān)，針對(duì)進(jìn)行討論，在等號(hào)不能成立時(shí)，則可考慮應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解。四．典例導(dǎo)析題型一函數(shù)方程與基本不等式例1已知，求的最小值。思路導(dǎo)析：應(yīng)用基本不等式可把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等關(guān)系，進(jìn)而可求出的取值范圍。解析：或（舍去）等號(hào)成立的條件是且即時(shí)滿足條件，故的最小值為9.規(guī)律總結(jié)：利用基本不等式，構(gòu)造關(guān)于某個(gè)變量的不等式，解此不等式便可求出該變量的取值范圍，再驗(yàn)證等號(hào)是否成立，便可確定該變量的最值，這是解決最值的常用方法，應(yīng)熟練掌握。變式訓(xùn)練1：已知正數(shù)滿足求的最大值。題型二基本不等式的證明例2.如果求證：思路導(dǎo)析：若證，只需證解析：即當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。規(guī)律總結(jié)：在解答數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，把數(shù)值、整式合理地拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者恒等地配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，是數(shù)學(xué)表達(dá)式變形過(guò)程中常用的方法，這是一種解題技巧，要熟練運(yùn)用這一技巧。變式訓(xùn)練2：已知，求證：題型三利用基本不等式求最值例3.求函數(shù)的最小值。思路導(dǎo)析：對(duì)于本題中的函數(shù)式，可把看成一個(gè)整體，然后把函數(shù)轉(zhuǎn)化為用來(lái)表示，這樣轉(zhuǎn)化一下表達(dá)形式，可以暴露其內(nèi)在的形式特點(diǎn)，從而能用基本不等式來(lái)處理。解析：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。時(shí)，原函數(shù)取得最小值為9.規(guī)律總結(jié)：利用均值不等式求最值時(shí)，要滿足“一正，二定，三相等”的條件，如果形式不滿足，要首先化簡(jiǎn)整理，使其變?yōu)闈M足條件的形式，進(jìn)而可以求得最值。變式訓(xùn)練3：求函數(shù)的最大值。題型四基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例4.圍建一個(gè)面積為的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用的舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為的進(jìn)出口，已知舊墻的維修費(fèi)用為每米45元，新墻的造價(jià)為每米180元。設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為（單位：），修建此矩形圍墻的總費(fèi)用為（單位：元）。（1）將表示為的函數(shù)。（2）試確定，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最少，并求出最小總費(fèi)用。思路導(dǎo)析：解決應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，本題要先把與的函數(shù)式表示出來(lái)，然后結(jié)合基本不等式求出最值。解析：（1）設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為，則由已知得。所以，（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。即時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元。規(guī)律總結(jié)：應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法步驟是：（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；（4）寫(xiě)出正確答案。變式訓(xùn)練4：過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車(chē)的車(chē)流量（千輛/小時(shí)）與汽車(chē)的平均速度（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：．（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度為多少時(shí)，車(chē)流量最大？最大車(chē)流量為多少？（精確到千輛/小時(shí)）（2）五．隨堂練習(xí)1.下列命題中正確的是()A.函數(shù)的最小值為2B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最大值為。D.函數(shù)的最小值為。2.當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]3.已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是（）A.0.1CD.44.設(shè)，則函數(shù)在=________時(shí)，有最小值__________5．設(shè)且,則的最小值為_(kāi)_______6．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，求eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值．六．課后作業(yè)1.已知為正實(shí)數(shù)，且則的最大值為（）A.B.C.D.2．某工廠第一年底的產(chǎn)量為P，第二年的增長(zhǎng)率為a，第三年的增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則有()A．x≥eq\f(a＋b,2)B．x＝eq\f(a＋b,2)C．x≤eq\f(a＋b,2)D．x＞eq\f(a＋b,2)3.正數(shù)滿足，則的最小值是4.若直線平分圓，則的最小值是5.已知求的最小值。6.若不等式對(duì)一切成立，求的最小值。第二課時(shí)答案：一．答案：（1）（2）（3），。，（4）大，。小，二．1．D解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.當(dāng)用僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立。2．A解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝·eq\f(4a＋b,30)＝eq\f(1,30)，∵eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝4.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)即b＝2a時(shí)等號(hào)成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2a,4a＋b＝30))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝10)).3.解析：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值。4.解析：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最大值為1。四．變式訓(xùn)練1.解析:當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立。解得時(shí)原式有最大值。變式訓(xùn)練2.解析：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。變式訓(xùn)練3.解析：設(shè)從而當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值為。變式訓(xùn)練4.解：（Ⅰ）依題意，（Ⅱ）由條件得整理得v2－89v+1600<0,即（v－25）（v－64）<0,解得25<v<64.答：當(dāng)v=40千米/小時(shí)，車(chē)流量最大，最大車(chē)流量約為千輛/小時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)大于25千米/小時(shí)且小于64千米五．1.解析：A選項(xiàng)中的不一定大于0。B選項(xiàng)中=，等號(hào)取不到。C．D選項(xiàng)中函數(shù)=。所以應(yīng)該選C.2．解析：a≤x＋eq\f(1,x－1)恒成立?a≤的最小值．∵x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2eq\r(x－1·\f(1,x－1))＋1＝3.∴a≤3.選D.答案：D3.解析：=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。所以應(yīng)選D.4.解析：=，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)原式取得最小值3.5.解析：6．解析：函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A(－2，－1)，(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，neq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝·(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8.即eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為8。六．1.解析：選C.為正實(shí)數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。2．解析：依題意得，該工廠第二年的產(chǎn)量為P(1＋a)，第三年的產(chǎn)量為P(1＋a)(1＋b)．又由于這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則P(1＋x)2＝P(1＋a)(1＋