高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 全國(guó)獲獎(jiǎng)

第二章推理與證明2．1合情推理與演繹推理2．合情推理1．了解合情推理的含義．2．能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．歸納推理．由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出這類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)．簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．2．類(lèi)比推理．由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類(lèi)比推理(簡(jiǎn)稱類(lèi)比)．簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理．歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(自)eq\x(測(cè))1．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類(lèi)比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于(C)\f(r2,2)\f(l2,2)\f(lr,2)D．不可類(lèi)比解析：由扇形的弧長(zhǎng)與半徑類(lèi)比于三角形的底邊與高可得C.故選C.2．從1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，…，可得一般規(guī)律為_(kāi)__________________________________________________．解析：猜想：第n個(gè)等式的左邊是2n－1個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，第1個(gè)數(shù)為n，等式的右邊是整數(shù)個(gè)數(shù)的平方，即一般規(guī)律為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)23．根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜想第n個(gè)圖形中有______________個(gè)點(diǎn)．解析：第n個(gè)圖有n個(gè)分支，每個(gè)分支上有(n－1)個(gè)點(diǎn)(不含中心點(diǎn))，再加上中心1個(gè)點(diǎn)，則有n(n－1)＋1＝n2－n＋1個(gè)點(diǎn)．答案：n2－n＋14．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于點(diǎn)E，則得到的類(lèi)比結(jié)論是________．解析：把線段比類(lèi)比到面積比，得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)eq\a\vs4\al(（一）解讀合情推理)數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．合情推理的一般過(guò)程為：eq\a\vs4\al(（二）解讀歸納推理)(1)歸納推理的分類(lèi)．①完全歸納推理：由某類(lèi)事物的全體對(duì)象推出結(jié)論．②不完全歸納推理：由某類(lèi)事物的部分對(duì)象推出結(jié)論．需要注意的是，由完全歸納推理得到的結(jié)論是準(zhǔn)確的，由不完全歸納推理得到的結(jié)論不一定準(zhǔn)確．(2)歸納推理的特點(diǎn)．由于歸納是根據(jù)部分已知的特殊現(xiàn)象推斷未知的一般現(xiàn)象，因而歸納推理具有以下特點(diǎn)：①所得結(jié)論超越了前提所包含的范圍；②所得結(jié)論具有猜測(cè)性質(zhì)，準(zhǔn)確性需要證明；③歸納的基礎(chǔ)在于觀察、實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)．(3)歸納推理的一般步驟．①通過(guò)觀察、分析個(gè)別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同特征；②將發(fā)現(xiàn)的相同特征進(jìn)行歸納，推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想)．eq\a\vs4\al(（三）解讀類(lèi)比推理)(1)類(lèi)比推理的特點(diǎn)．①類(lèi)比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性；②類(lèi)比是以原有知識(shí)為基礎(chǔ)，猜測(cè)新結(jié)論；③類(lèi)比能發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，但結(jié)論具有猜測(cè)性，準(zhǔn)確性需要證明．(2)類(lèi)比推理的一般步驟．①明確兩類(lèi)對(duì)象；②找出兩類(lèi)對(duì)象之間的相似性或者一致性；③用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得到一個(gè)明確的結(jié)論．1．歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)．(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)．2．歸納推理的思維進(jìn)程．實(shí)驗(yàn)、觀察→概括、推廣→猜測(cè)一般性結(jié)論．即對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，然后對(duì)該猜想的正確性加以檢驗(yàn)．3．一般地，歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠．4．運(yùn)用類(lèi)比推理的一般步驟：(1)找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性．(2)用一類(lèi)事物的性質(zhì)推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論．5．類(lèi)比推理常見(jiàn)的幾種題型．(1)類(lèi)比定義：本類(lèi)題型解決的關(guān)鍵在于弄清兩個(gè)概念的相似性和相異性以及運(yùn)用新概念的準(zhǔn)確性．(2)類(lèi)比性質(zhì)(定理)：本類(lèi)題型解決的關(guān)鍵在于要理解已知性質(zhì)(定理)的內(nèi)涵、應(yīng)用環(huán)境及使用方法，通過(guò)研究已知性質(zhì)(定理)，刻畫(huà)新性質(zhì)(定理)的“面貌”．(3)類(lèi)比方法(公式)：本類(lèi)題型解決的關(guān)鍵在于解題方法．1．下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排列起來(lái)，那么第36顆珠子的顏色是(A)○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．?dāng)?shù)列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(B)A．28B．32C．33D．273．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積為：S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，利用類(lèi)比推理，可以得出四面體的體積為(C)A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分別是四面體四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ca)h(h為四面體的高)4．等差數(shù)列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，類(lèi)比以上結(jié)論，在等比數(shù)列{bn}中類(lèi)似的結(jié)論是________．答案：beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)1．下列關(guān)于歸納推理的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(A)A．歸納推理是由一般到一般的一種推理過(guò)程B．歸納推理是一種由特殊到一般的推理過(guò)程C．歸納推理得出的結(jié)論具有偶然性，不一定正確D．歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能2．由數(shù)列1，10，100，1000，…猜測(cè)該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是(B)A．10nB．10n－1C．10n＋1D．113．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123456×9＋7等于(B)1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113解析：由數(shù)塔呈現(xiàn)的規(guī)律知，結(jié)果是各位都是1的7位數(shù)．4．下面使用類(lèi)比推理正確的是(C)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類(lèi)推出“a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類(lèi)推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類(lèi)推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類(lèi)推出“(a＋b)n＝an＋bn”5．n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下：根據(jù)規(guī)律，從2023到2023，箭頭的方式依次是(C)A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字是以4為公差的等差數(shù)列，由eq\a\vs4\al(11→12可知從2023到2023為↑→.,,,↑,,,10,,)6．如圖所示，面積為S的凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)為ai(i＝1，2，3，4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi(i＝1，2，3，4)，若eq\f(a1,1)＝eq\f(a2,2)＝eq\f(a3,3)＝eq\f(a4,4)＝k，則eq\i\su(i＝1,4,)(aihi)＝eq\f(2S,k).類(lèi)比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i＝1，2，3，4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離為Hi(i＝1，2，3，4)，若eq\f(S1,1)＝eq\f(S2,2)＝eq\f(S3,3)＝K，則eq\i\su(i＝1,4,)(SiHi)＝(B)\f(4V,K)\f(3V,K)\f(2V,K)\f(V,K)解析：從平面類(lèi)比到空間，通常是邊長(zhǎng)類(lèi)比為面積，面積類(lèi)比為體積，又凸四邊形中，面積為S＝eq\f(1,2)(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱錐中，體積為V＝eq\f(1,3)(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系數(shù)差異，所以，上述性質(zhì)類(lèi)比為B.7．觀察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_(kāi)______________________________．解析：觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)不等式的左邊＝1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)，右邊＝eq\f(2（n＋1）－1,n＋1)，所以第五個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).8．下圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律，第n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚________塊(用含n的代數(shù)式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)依次為：15－3＝12，24－8＝16，35－15＝20，…由此可猜測(cè)第n個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)為：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋89．圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)，將原三角形剖分成4個(gè)三角形(如圖2)，再分別連接圖2中一個(gè)小三角形三邊的中點(diǎn)，又可將原三角形剖分成7個(gè)三角形(如圖3)，…，依此類(lèi)推，設(shè)第n個(gè)圖中三角形被剖分成an個(gè)三角形，則第4個(gè)圖中最小三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_________；a100＝__________．答案：eq\f(1,8)29810．圓的面積S＝πr2，周長(zhǎng)c＝2πr，兩者滿足c＝S′(r)，類(lèi)比此關(guān)系寫(xiě)出球的公式的一個(gè)結(jié)論是：________．解析：圓的面積、周長(zhǎng)分別與圓的體積和表面積類(lèi)比可得，球的體積V＝eq\f(4,3)πR3，表面積S＝4πR2，滿足S＝V′(R)．答案：V球＝eq\f(4,3)πR3，S球＝4πR2，滿足S＝V′(R)．11．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立．類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________________成立．解析：a10是等差數(shù)列{an}的前19項(xiàng)的中間項(xiàng)，而b9是等比數(shù)列{bn}的前17項(xiàng)的中間項(xiàng)．所以答案應(yīng)為：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)．答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)．12．設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，且2aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＋a2·a1＝0，即2aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0解得a2＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝2時(shí)，由3aeq\o\al(2,3)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)a3＝0，即6aeq\o\al(2,3)＋a3－1＝0，解得a3＝eq\f(1,3)，…由此猜想；an＝eq\f(1,n).13．在圓x2＋y2＝r2中，AB為直徑，C為圓上異于AB的任意一點(diǎn)，則有kAC·kBC＝－1，你能用類(lèi)比的方法得出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中有什么樣的結(jié)論？解析：設(shè)A(x0，y0)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則A點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－x0，－y0)，點(diǎn)P(x，y)為橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則kAP·kBP＝eq\f(y－y0,x－x0)·eq\f(y＋y0,x＋x0)＝eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),x2－xeq\o\al(2,0)).由于A，B，P三點(diǎn)都在橢圓上．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，))兩式相減有eq\f(x2－xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),b2)＝0，∴eq\f(y2－yeq\o\al(2,0),x2－xeq\o\al(2,0))＝－eq\f(b2,a2)，即kAP·kBP＝－eq\f(b2,a2).故橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中過(guò)中心的一條弦的兩個(gè)端點(diǎn)A，B，P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，則有kAP·kBP＝－eq\f(b2,a2).?品味高考1．(2023·陜西卷)已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2014(x)的表達(dá)式為_(kāi)_______．解析：由f1(x)＝eq\f(x,1＋x)?f2(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,1＋x)))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，故可猜想f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).答案：eq\f(x,1＋2014x)2．(2023·陜西卷)觀察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)______________________________．答案：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)3．(2023·湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)．若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4.(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L分別是________；(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù)．若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)．解析：(1)四邊形DEFG是一個(gè)直角梯形，觀察圖形可知：S＝(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四邊形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐標(biāo)系中，取