2021屆福建省福州市高三第二學(xué)期畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測(一模)數(shù)學(xué)試題

2021屆福建省福市高三第二期畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測（一模）數(shù)學(xué)試題【含案】注意事項：答前考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓考生要認(rèn)真核對題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一.第I卷小題選出答案后，用鉛把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.II卷0.5毫黑色簽字筆在答題卡上書寫作在試題卷上作答答案無.考結(jié)，考生必須將試題卷和答題卡一并交.第I卷一、單項選擇題：本題共8小，每小題5分共40分在每小題給出的四個選項中，只有一是符合題目要求的.已集

A

，

xkkA}，AB

{1,3}

{2,4}

C.

{3,5}

{1,3,5}設(shè)數(shù)

bi(aZ,b)

，則滿足

|1

的復(fù)數(shù)z有個

C.4個

個“

”是“

m2m

”的充而不必要條件C.充分必要條件

B.要而不充分條件既充分也不必要條件若物

上一點

t,2)

到其焦點的距離等于，

11m42

C.

m

m已函

f(x)ln

，則函數(shù)

1yf(1

)

的圖象大致為ABD

0n0+1nnnnLL,3120n0+1nnnnLL,312在

中為AB邊的中點D為AC邊的點BDCE交點F.若

3AC7的值為B.C.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)如圖，有一列曲線P，P，，P，.已知P是長為1的等邊三角形，P是進如下操作而到：將P的條邊三等分，以每邊中間部分，下列結(jié)論正確的是的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉面積為.對于N

(k0,1,2,

)

.記的周長為L、所圍成的P

0

P

1

P

2

…

P

…

為等差數(shù)列

為等比數(shù)列C.

，使

，使

已函數(shù)

()

2

)

的圖象過點，區(qū)間

上為單調(diào)函數(shù)，把f()

的圖象向右平移π個單位長度后與原來的圖象重合

5,,6

且

x

，若f

C.1

二、多項選擇題：本題共4小，每小題5分共20分在每小題給出的四個選項中，有多項合題目要求.全部選對的得分，部分選對的得3分有選錯的得分“粥一飯，當(dāng)思來之不易”，道理雖簡單，但每年我國還是有2000多億元的餐桌浪費，被倒掉的食物相當(dāng)于2億人一年的口為營造“節(jié)約光榮，浪費可恥”的氛圍，某市發(fā)起了“光盤行動”某機構(gòu)為調(diào)研民眾對“光盤行動”的認(rèn)可情況某型餐廳中隨機調(diào)查了90位店就餐的客人成如右所示的列聯(lián)表，通過計算得到K認(rèn)可

的觀測值為不認(rèn)可歲以下

1歲以（40歲101已

6.635，10.828

，則下列判斷正確的是在餐廳用餐的客人中大約有66.7%客人認(rèn)可“光盤行動”在餐廳用餐的客人中大約有的客人認(rèn)可光盤行動”C.有99%把握認(rèn)為“光盤行動”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)在犯誤的概率不超過0.001的提下，認(rèn)為光盤行動”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)10.如，在下列四個正體中A，B為正方體的兩個頂點NP為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線∥

平面MNP的是ABD11.已知是雙曲線

E:

2y45

在第一象限上一點F分是E的、右焦點

eq\o\ac(△,，)PFF2

的面積為152

則以下結(jié)論正確的是點P的坐標(biāo)為

52

3

PF12

2C.

△F1F1

的內(nèi)切圓半徑為1平分線所在的直線方程為

xy12.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一與三角函數(shù)類似的函數(shù).最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)x

eex和雙曲余弦函數(shù)x22

等.雙函數(shù)在物理及生活中有著某些重要的應(yīng)用，譬如達(dá)芬苦苦思索的懸鏈線（例如固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂項鏈所形成的曲線即為懸鏈線）問題，可以用雙曲余弦型函數(shù)來刻則下列結(jié)論正確的是

2x

為偶函數(shù)，且存在最小值C.

，

x

x

R且xx2

，

sinhx1212第II卷注意事項：用0.5毫黑簽字筆在答題卡上書寫作.試題卷上作答，答案無.三、填空題：本大題共4小，每小題分，共分把答案填在題中的橫線.13.設(shè)x，滿約束條件

xxy

則

的取值范圍為

y0,14.

xx

1的展開式中，的數(shù)為x

15.在棱錐P側(cè)PAC底面垂直，30，.則三棱錐

的外接球的表面積為

16.已圓的程為

(x

2

，點M(2,0)的線與圓C交兩（點Q在四象限）若

QPO

，則點的縱坐標(biāo)為

四、解答題：本大題共6小，共70分解應(yīng)寫出文字說明、證過程或演算步.17.（小題滿分10分在①

a

；②

a

，

n

；③

a

2n

ann

，

，

這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解.問題：已知單調(diào)數(shù)列

n和為S，滿足

（1）求

式（2）求數(shù)列

項和

18.（小題滿分12分在

ABC

中，內(nèi)角A，，C所的邊分別為，b，c，

acosBC

（1）求角大?。唬?）設(shè)CD是

ABC

的角平分線，求證：

1CACBCD

.

1211119.（小題滿分12分12111如圖，在三棱臺

ABCAC

中，

AAACCC1

，

，

AB

（1）求證：平面

ACCAA11

；（2）若BACAB，二面角

ABB

的正弦值20.（小題滿分12分已知橢圓

:

x22a0)a2b2

的左頂分別為

(，(2,0)

頂分別為，B，邊形

1

的周長為

4

（1）求E的程；（2）設(shè)P為上異于A，的動點，直線P與y軸于點，過作

A∥PA2

，交y軸點D試探究在x上是否存在一定點，使得

QC

，若存在，求出點坐；若不存在，說明理.21.（小滿分分）從年1月1日起某商業(yè)銀行推出四種存款品括協(xié)定存款七通知存款結(jié)性存款及大額存單.協(xié)定存款年利率為1.68%，有效期一年，服務(wù)期客戶帳戶余額須不少于萬，多出的資金可隨時支取天知存款年利率為1.8%期須超過7天取需要提前七天建立通知構(gòu)性存款存期一，年利率為；額存單，年利率為，起點金額1000萬.（注：月利率為年利率的十二分一）已知某公司現(xiàn)有2020年結(jié)余資金1050萬.（1若公司有股東他們將通過投票的方式確定投資一種存款產(chǎn)品個東只能選擇一種產(chǎn)品且不能棄權(quán)，求恰有個股東選擇同一種產(chǎn)品的概率；（2）公司決定將萬元作協(xié)定存款于2021年1月1日存入該銀行賬戶，規(guī)定從份起，每月首日支取萬元作為公司的日常開將余下500萬中的萬元作七天通知存款，準(zhǔn)備投資高新項目，剩余(500)

萬元作結(jié)構(gòu)性存款.①求2021年年該公司從協(xié)定存款中所得的利息；②假設(shè)該公司于2021年月1日七天通知存款全部取金萬用于投資高新項目專業(yè)機構(gòu)評

估，該筆投資到2021年將有的概率獲得

x30000

0.02x2

萬元的收益，有20%概率虧損x萬元，有的概率保本.問為值時，該公司年存款利息和投資高新項目所得的總收益的期望最大，并求最大值.22.（小題滿分12分已知

f(x)

.（1）判斷

f(x

的零點個數(shù)，并說明理由；（2）若

f(x)a)

，求實數(shù)的值范圍.參考答案及分細(xì)則評分說明：本答出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則。對算，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。解右所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。只整分?jǐn)?shù)。一、單項選擇題：本題共題，每小題分共分4.AD6.C二、多項選擇題：本題共題，每小題分共分AC10.ABD11.BCD12.BCD三、填空題：本大題共4小，每小題分，共分13.

[

14.515.π16.

12四、解答題：本大題共6小，共70分17.（小題滿分10分

【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列、與S的系、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識；考查推理論證能力、運算求解能力查歸與轉(zhuǎn)化思函數(shù)與方程思想查邏輯推理數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)現(xiàn)礎(chǔ)性、綜合性滿分10分.【解答）①，即

a

（i）當(dāng)n時S，a1

；當(dāng)

2

時，

（ii（iii）兩式相減得

a

，所以

列其中公比為，首項為所以

.選②，即

a

，

n所以當(dāng)2時，n即，n

an所以

k

N*)

為等比數(shù)列，其中首項為

a

，公比為，所以

a

(2

.由

a

，

2

，得

，同理可得，

a

(N*)

.綜上，

選③，即

a

，

a

.所以

列設(shè)其公比為，則

(1)

解得

2,

或2q3又因為

列所以

，故

aq所以

.

（2）由（）知，

，所以

T

n

2nn

，兩式相減得

n

nT所以18.（小題滿分12

.

分）【命題意圖】本小題主要考查解三角形等基礎(chǔ)知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合.分12分【解答】解法一）為C

，由正弦定理得sinAsinBCcosBsinBcosC

，因為

B)sin(

)sinA

，所以

sin(B)Bcos

，所以2sinBC

，因為

(0,

)

，所以B，以C

12又

(0,

)

，所以

C

3（2）因為CD是ABC

的角平分線，且

C

3

，所以

ACD

3

.在

ABC

中，

eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,)ACD

eq\o\ac(△,)BCD

，則由面積公式得121sinCDsin233

，即

CACA

.兩邊同時除以

CA

得

1CACBCD

.

sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin解法二）為BC

，由余弦定理得

a

a

a2ac2ab

，整理得

ac2b

，即

222

，所以

ab2cosC)

，所以

cosC

12

，又

(0,

)

，所以

C

3

.（2）因為CD是ABC

的角平分線，且

C

3

，所以

ACD

3

.在ABC

中，由正弦定理得CBsinsinA

，CBADDB即sinsinA

.同理在

△CAD

和

△CBD

中，得CD，sin3

，所以

CACD，即，sinBsinsinBsinsinA故

CACDCDCD，即1CACBCA

，

11故

1CACB

.19.（小題滿分12分【命題意圖】本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知；考查推理論證能力、運算求解能力與空間想象能力；考查數(shù)形結(jié)合思想；考查直觀想象、邏輯推理、學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合.分分【解答）題意，四邊形

ACCA

為等腰梯形，過

，

分別引的線，垂足分別為D，AD

11ACACAA，6022

.在

△ACA

中，

AC

AC

AAcos

12

，所以

2AC

，故

C1

.因為

AB，A，，AA平A111

，所以

平ABBA11

，因為

平面CCA

，所以

平面AA平面ABB

平面（2

AC

ACAC平面CC1

AB平面AA

，結(jié)合（）可知AB，，D三直線兩兩垂以為點，分別以

ABACDA

的方向為x，y，

1222111212的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，圖所示，則各點坐標(biāo)為1222111212A

，

B

，

C

，

1

133,

.由（）知，

n1

2AC33

3,為面ABBA

的法向1,2,0)

，

1,2

，設(shè)

n,z

為平面

BCCB

的法向量，則

,2C21

故

0,3y0,2

取

n

，所以

cosnn12

121

1設(shè)二面角

A的小，則1

154

.20.（小題滿分12分【命題意圖】本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查推理論證能力、運算求能力；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性.滿分12【解答】解法一）題意，

由橢圓的對稱性可知，四邊形

B121

為菱形，其周長為

4

.所以

b所以E的方程為

x2

y

.

00111000011100（2）設(shè)

y0

，則

2

20

0

，直線

A1

的方程為

yyx20

(2)

，故

2y0x20

由

A∥PA知D的程為y12

y0x20

(，故

20x0

假設(shè)存在

t

，使得

QC

，則yyQCx20

2

y2x200x20

.解得t

所以當(dāng)Q的標(biāo)為時，QC解法二（1）同解法（2點P與重時C點(0,1)而點D即

(0,

假設(shè)存在

t使得QC

，則

(，即t

，得

.以下證明當(dāng)Q為

(

時，

QC設(shè)

Py0

，則

2

20

20

，直線A的方程為

yyx20

(

，故

20x20

由

A∥PA12

知的程為

y

y0x20

(，故

20x20

所以

QC

2yx20

2

y2x20x20

.說明：Q只求出

(2,0)

或

(

，不扣21.（小題滿分12分【命題意圖】本小題主要考查古典概型、概率分布列、等差數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識；考查數(shù)據(jù)理能力、推理論證能力、運算求解能力與創(chuàng)新意識；考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整思想、必然與或然思想；考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新滿分分.【解答恰有3個東同時選擇同一款理財產(chǎn)品的事件為A由題意知股東共有5種擇，而恰好有3個東同時選擇同一款理財產(chǎn)品的可能情況為C所以

P(A

5

445

.（2）①年全年該公司從協(xié)定存款中所得的利息：500

12500.00144.692

（萬元）.②由條件，高新項目投資可得收益頻率分布表投資收益

x30000

0.02x2

xP

0.6

0.2所以，高新項目投資所得收益的期望為：x3t)0.135x0.60.20.012x2所以，存款利息和投資高新項目所得的總收益的期望為：

2xxx2xxx()0.00002

0.012x

0.027x(500)0.018

612

x

0.012x

22.69(0500)

.'(x)

令

L'(x，x400，x由

L'(x

，得x400

；由

L'(x

，得

.由條件可知，當(dāng)x時Lx)

取得最大值為：

L(400)

（萬元所以當(dāng)x400時該公司2021年存款利息和投資高新項目所得的總收益的望取得最大值萬.22.（小題滿分12分【解答】解法一）題意，

f)x(

，則當(dāng)