高中數(shù)學北師大版2第三章推理與證明反證法 第3章4反證法

§4反證法1．了解間接證明的一種基本方法——反證法．2．理解反證法的概念及思考過程和特點．(難點)3．掌握反證法證題的基本步驟，會用反證法證明相關的數(shù)學問題．(重點、難點)[基礎·初探]教材整理反證法閱讀教材P65～P67“練習”以上內容，完成下列問題．1．反證法的定義在證明數(shù)學命題時，先假定命題結論的反面成立，在這個前提下，若推出的結果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結論的反面不可能成立，由此斷定命題的結論成立．這種證明方法叫作反證法．2．反證法證明的思維過程反證法的證明過程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結論開始，經(jīng)過正確的推理，導出邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)的過程．用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用框圖3-4-1表示：eq\x(\a\al(肯定條件p，,否定結論q))→eq\x(\a\al(導致邏,輯矛盾))→eq\x(\a\al(“p且?q”,為假))→eq\x(\a\al(“若p則q”,為真))圖3-4-1判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)反證法屬于間接證明問題的方法．()(2)反證法的證明過程既可以是合情推理，也可以是一種演繹推理．()(3)反證法推出的矛盾不能與已知相矛盾．()【解析】(1)正確．反證法其實是證明其逆否命題成立，所以它屬于間接證明問題的方法．(2)錯誤．反證法從證明過程看是一種嚴謹?shù)难堇[推理．(3)錯誤．反證法推出的矛盾可以與已知相矛盾．【答案】(1)√(2)×(3)×[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小組合作型]用反證法證明否定性命題等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).【導學號：67720230】(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．【精彩點撥】第(1)問應用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d兩式求解．第(2)問先假設存在三項bp，bq，br成等比數(shù)列，再用反證法證明．【自主解答】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，r∈N＋，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，這與p≠r矛盾．所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．1．當結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適合應用反證法．例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾．2．反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法．3．常見否定詞語的否定形式如下表所示：否定詞語否定詞語的否定形式?jīng)]有有不大于大于不等于等于不存在存在[再練一題]1．已知方程f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)，證明：方程f(x)＝0沒有負數(shù)根．【證明】假設x0是方程f(x)＝0的負數(shù)根，則x0<0，x0≠－1且ax0＋eq\f(x0－2,x0＋1)＝0，所以ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1).又當x0<0時，0<ax0<1，故0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即0<－1＋eq\f(3,x0＋1)<1,1<eq\f(3,x0＋1)<2，解得eq\f(1,2)<x0<2.這與x0<0矛盾，所以假設不成立，故方程f(x)＝0沒有負數(shù)根．用反證法證明“至多”“至少”問題已知x，y，z均大于零，求證：x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)這三個數(shù)中至少有一個不小于4.【精彩點撥】本題中含有“至少”，不宜直接證明，故可采用反證法證明．【自主解答】假設x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)都小于4，即x＋eq\f(4,y)<4，y＋eq\f(4,z)<4，z＋eq\f(4,x)<4，于是得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))<12，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,z)))≥2eq\r(x·\f(4,x))＋2eq\r(y·\f(4,y))＋2eq\r(z·\f(4,z))＝12，這與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))<12矛盾，因此假設錯誤，即x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)中至少有一個不小于4.1．用反證法證明“至少”“至多”型命題，可減少討論情況，目標明確．否定結論時需弄清楚結論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯誤．2．用反證法證明“至多”“至少”問題時常見的“結論詞”與“反設詞”如下：結論詞反設詞結論詞反設詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n－1個p或q?p且?q至多有n個至少有n＋1個p且q?p或?q[再練一題]2．若x>0，y>0，且x＋y>2，求證：eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個小于2.【證明】假設eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)都不小于2，即eq\f(1＋y,x)≥2，eq\f(1＋x,y)≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，兩式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，這與已知中x＋y>2矛盾，∴假設不成立，原命題成立．故eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個小于2.[探究共研型]用反證法證明“唯一性”命題探究1用反證法證明數(shù)學命題的步驟是什么？【提示】(1)反設：假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真．(2)歸謬：從反設和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結果．(3)存真：由矛盾的結果斷定反設不真，從而肯定原結論成立．探究2如何證明兩條相交直線有且只有一個交點？【提示】假設兩條直線a，b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B，這樣同時經(jīng)過點A，B的直線就有兩條，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾．所以兩條相交直線有且只有一個交點．已知一點A和平面α.求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面α垂直．【精彩點撥】【自主解答】根據(jù)點A和平面α的位置關系，分兩種情況證明．(1)如圖①，點A在平面α內，假設經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB，AC，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過點A的一條直線a.因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，aα，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內經(jīng)過點A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾．①(2)如圖②，點A在平面α外，假設經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB和AC(B，C為垂足)，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于直線BC，因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，BCα，所以AB⊥BC，AC⊥BC.②在平面β內經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾．綜上，經(jīng)過一點A只能有一條直線和平面α垂直．證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性．當證明結論以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結論易于導出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡單明了．[再練一題]3．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像連續(xù)不斷，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上單調遞增，求證：f(x)在(a，b)內有且只有一個零點．【證明】由于f(x)在[a，b]上的圖像連續(xù)不斷，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)內至少存在一個零點，設零點為m，則f(m)＝0，假設f(x)在(a，b)內還存在另一個零點n，即f(n)＝0，則n≠m.若n>m，則f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，則f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假設不正確，即f(x)在(a，b)內有且只有一個零點．[構建·體系]1．應用反證法推出矛盾的推理過程中可作為條件使用的是()①結論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結論．A．①② B．②③C．①②③ D．①②④【解析】根據(jù)反證法的基本思想，應用反證法推出矛盾的推導過程中可把“結論的否定”“已知條件”“公理、定理、定義等”作為條件使用．【答案】C2．實數(shù)a，b，c不全為0等價于()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為0【解析】不全為0即至少有一個不為0，故選D.【答案】D3．命題“△ABC中，若A>B，則a>b”的結論的否定應該是()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)≤bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≥b【解析】“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故選B.【答案】B4．用反證法證明某命題時，對某結論：“自然數(shù)a，b，c中無偶數(shù)”，正確的假設為________．【解析】a，b，c中無偶數(shù)，即a，b，c都是奇數(shù)，反設應是“a，b，c中至少有一個偶數(shù)”．【答案】a，b，c中至少有一個偶數(shù)5．若a，b，c互不相等，證明：三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個方程有兩個相異實根．【證明】假設三個方程中都沒有兩個相異實根，則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，這與a，∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實