高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 單元測(cè)評(píng)(四)_第1頁(yè)
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單元測(cè)評(píng)(四)推理與證明(B卷)(時(shí)間:90分鐘滿分:120分)第Ⅰ卷(選擇題,共50分)一、選擇題:本大題共10小題,共50分.1.銳角三角形的面積等于底乘高的一半;直角三角形的面積等于底乘高的一半;鈍角三角形的面積等于底乘高的一半;所以,凡是三角形的面積都等于底乘高的一半.以上推理運(yùn)用的推理規(guī)則是()A.三段論推理 B.假言推理C.關(guān)系推理 D.完全歸納推理解析:所有三角形按角分,只有銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種情形,上述推理窮盡了所有的可能情形,故為完全歸納推理.答案:D2.?dāng)?shù)列1,3,6,10,15,…的遞推公式可能是()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,,an+1=an+nn∈N*))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,,an=an-1+nn∈N*,n≥2))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,,an+1=an+n-1n∈N*))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,,an=an-1+n-1n∈N*,n≥2))解析:記數(shù)列為{an},由已知觀察規(guī)律:a2比a1多2,a3比a2多3,a4比a3多4,……,可知當(dāng)n≥2時(shí),an比an-1多n,可得遞推關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,,an-an-1=nn≥2,n∈N*.))答案:B3.有一段演繹推理是這樣的:“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”,結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.不是以上錯(cuò)誤解析:大小前提都正確,其推理形式錯(cuò)誤.故應(yīng)選C.答案:C4.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=eq\f(n+3n+4,2)(n∈N*)時(shí),驗(yàn)證n=1,左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4解析:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+2+…+(1+3)=1+2+3+4,故應(yīng)選D.答案:D5.在R上定義運(yùn)算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則()A.-1<a<1 B.0<a<2C.-eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2) D.-eq\f(3,2)<a<eq\f(1,2)解析:類比題目所給運(yùn)算的形式,得到不等式(x-a)?(x+a)<1的簡(jiǎn)化形式,再求其恒成立時(shí)a的取值范圍.(x-a)?(x+a)<1?(x-a)(1-x-a)<1,即x2-x-a2+a+1>0.不等式恒成立的充要條件是:Δ=1-4(-a2+a+1)<0,即4a2-4解得-eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).故應(yīng)選C.答案:C6.已知f(n)=eq\f(1,n)+eq\f(1,n+1)+eq\f(1,n+2)+…+eq\f(1,n2),則()A.f(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,3)B.f(n)中共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)C.f(n)中共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,3)D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)解析:項(xiàng)數(shù)為n2-(n-1)=n2-n+1,故應(yīng)選D.答案:D7.已知a+b+c=0,則ab+bc+ca的值()A.大于0 B.小于0C.不小于0 D.不大于0解析:方法一:∵a+b+c=0,∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc∴ab+ac+bc=-eq\f(a2+b2+c2,2)≤0.方法二:令c=0,若b=0,則ab+bc+ac=0,否則a、b異號(hào),∴ab+bc+ac=ab<0,排除A、B、C,選D.答案:D8.若eq\f(sinA,a)=eq\f(cosB,b)=eq\f(cosC,c),則△ABC是()A.等邊三角形B.有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一個(gè)內(nèi)角是30°的等腰三角形解析:∵eq\f(sinA,a)=eq\f(cosB,b)=eq\f(cosC,c),由正弦定理得,eq\f(sinA,a)=eq\f(sinB,b)=eq\f(sinC,c),∴eq\f(sinB,b)=eq\f(cosB,b)=eq\f(cosC,c)=eq\f(sinC,c).∴sinB=cosB,sinC=cosC.∴∠B=∠C=45°.∴△ABC是等腰直角三角形.答案:C9.若凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸(k+1)邊形的內(nèi)角和f(k+1)(k≥3且k∈N*)等于()A.f(k)+eq\f(π,2) B.f(k)+πC.f(k)+eq\f(3,2)π D.f(k)+2π解析:由凸k邊形到凸(k+1)邊形,增加了一個(gè)三角形,故f(k+1)=f(k)+π.答案:B10.設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列{xn}滿足x0=5,且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2023=()x12345f(x)41352B.2解析:x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,……數(shù)列{xn}是周期為4的數(shù)列,所以x2023=x3=4.故應(yīng)選C.答案:C第Ⅱ卷(非選擇題,共70分)二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.11.半徑為r的圓的面積S(r)=πr2,周長(zhǎng)C(r)=2πr,若將r看作(0,+∞)上的變量,則(πr2)′=2πr.①①式可用語(yǔ)言敘述為:圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù).對(duì)于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,請(qǐng)你寫出類似于①式的式子:____________________________,你所寫的式子可用語(yǔ)言敘述為_(kāi)___________________________.答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))′=4πR2球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)12.已知f(n)=1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,n)(n∈N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>eq\f(n,2)時(shí),f(2k+1)-f(2k)=__________.解析:f(2k+1)=1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2k+1),f(2k)=1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2k)f(2k+1)-f(2k)=eq\f(1,2k+1)+eq\f(1,2k+2)+…+eq\f(1,2k+1).答案:eq\f(1,2k+1)+eq\f(1,2k+2)+…+eq\f(1,2k+1)13.觀察①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=eq\f(3,4);②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=eq\f(3,4).由兩式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可提出一個(gè)猜想的等式為_(kāi)_________.解析:觀察40°-10°=30°,36°-6°=30°,由此猜想:sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=eq\f(3,4).可以證明此結(jié)論是正確的,證明如下:sin2α+cos2(30°+α)+sinα·cos(30°+α)=eq\f(1-cos2α,2)+eq\f(1+cos60°+2α,2)+eq\f(1,2)[sin(30°+2α)-sin30°]=1+eq\f(1,2)[cos(60°+2α)-cos2α]+eq\f(1,2)sin(30°+2α)-eq\f(1,4)=1+eq\f(1,2)[-2sin(30°+2α)sin30°]+eq\f(1,2)sin(30°+2α)-eq\f(1,4)=eq\f(3,4)-eq\f(1,2)sin(30°+2α)+eq\f(1,2)sin(30°+2α)=eq\f(3,4).答案:sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=eq\f(3,4)14.給出下列不等式:①a>b>0,且a2+eq\f(b2,4)=1,則ab>a2b2;②a,b∈R,且ab<0,則eq\f(a2+b2,ab)≤-2;③a>b>0,m>0,則eq\f(a+m,b+m)>eq\f(a,b);④eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x+\f(4,x)))≥4(x≠0).其中正確不等式的序號(hào)為_(kāi)_________.解析:①a>b>0,∴a≠eq\f(b,2).∴a2+eq\f(b2,4)=1>2eq\r(a2·\f(b2,4))=ab.∴1-ab>0.∴ab-a2b2=ab(1-ab)>0.∴ab>a2b2.①正確.②eq\f(a2+b2,ab)+2=eq\f(a+b2,ab).∵ab<0,(a+b)2≥0,∴eq\f(a2+b2,ab)≤-2.②正確;③eq\f(a+m,b+m)-eq\f(a,b)=eq\f(b-am,bb+m).∵a>b>0,m>0,∴b(b+m)>0,b-a<0.∴eq\f(b-am,bb+m)<0.∴eq\f(a+m,b+m)<eq\f(a,b).③不正確.④eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x+\f(4,x)))=|x|+eq\f(4,|x|)≥4.④正確.答案:①②④三、解答題:本大題共4小題,滿分50分.15.(12分)已知:a、b、c∈R,且a+b+c=1.求證:a2+b2+c2≥eq\f(1,3).證明:由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+分∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)分由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1.即a2+b2+c2≥eq\f(1,3).12分16.(12分)證明下列等式,并從中歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論.2coseq\f(π,4)=eq\r(2),2coseq\f(π,8)=eq\r(2+\r(2)),2coseq\f(π,16)=eq\r(2+\r(2+\r(2))),……證明:2coseq\f(π,4)=2·eq\f(\r(2),2)=eq\r(2).3分2coseq\f(π,8)=2eq\r(\f(1+cos\f(π,4),2))=2·eq\r(\f(1+\f(\r(2),2),2))=eq\r(2+\r(2)).6分2coseq\f(π,16)=2eq\r(\f(1+cos\f(π,8),2))=2eq\r(\f(1+\f(1,2)\r(2+\r(2)),2))=eq\r(2+\r(2+\r(2))).9分……歸納一般性的結(jié)論:2coseq\f(π,2n+1)=eq\r(2+\r(2+\r(2+…))).12分17.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax+eq\f(x-2,x+1)(a>1).(1)求證:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);(2)用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)根.證明:(1)證法一:任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,ax2-x1>1且ax1>0,∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>分又∵x1+1>0,x2+1>0,∴eq\f(x2-2,x2+1)-eq\f(x1-2,x1+1)=eq\f(x2-2x1+1-x1-2x2+1,x1+1x2+1)=eq\f(3x2-x1,x1+1x2+1)>分于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+eq\f(x2-2,x2+1)-eq\f(x1-2,x1+1)>0.故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).6分證法二:f′(x)=axlna+eq\f(x+1-x-2,x+12)=axlna+eq\f(3,x+12),3分∵a>1,∴l(xiāng)na>0.∴axlna+eq\f(3,x+12)>分f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立.即f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).6分(2)設(shè)存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,7分則ax0=-eq\f(x0-2,x0+1),且0<ax0<分∴0<-eq\f(x0-2,x0+1)<1.即eq\f(1,2)<x0<2.與假設(shè)x0<0矛盾.11分故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.12分18.(14分)當(dāng)n∈N*時(shí),Sn=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+…+eq\f(1,2n-1)-eq\f(1,2n),Tn=eq\f(1,n+1)+eq\f(1,n+2)+eq\f(1,n+3)+…+eq\f(1,2n).(1)求S1,S2,T1,T2;(2)猜想Sn與Tn的關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解:(1)S1=1-eq\f(1,2)=eq\f(1,2),S2=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)=eq\f(7,12).T1=eq\f(1,1+1)=eq\f(1,2),T2=eq\f(1,2+1)+eq\f(1,2+2)=eq\f(7,12).4分(2)猜想:Sn=Tn(n∈N*)即:1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-

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