試卷分類匯編-菱形

菱形1、〔2023〕ABCDAC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于點H，且DH與AC交于G，則GH=〔 B 〕28 21 28 2525201521GOHA． cm B． cm C． cm D． 25201521GOH［解析］OA=4，OB=3，AB=5，△BDH∽△BOA，BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5， A CAH=AB-BH=5-18/5=7/5，△AGH∽△ABO，10題圖GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5/10題圖22023曲靖〕?ABCD中，對角線AC與BD相交于點，過點O作EAC交A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形考點菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CAFOCEOAFA．梯形B．矩形C．菱形D．正方形考點菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CAFOCEOAFCE利用平行四邊形和菱形的判定得出即可．解：四邊形AECF是菱形，?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AO=C，AFOCE，△AFO和△CEO中，AFCEAAS，F(xiàn)O=E，AECF平行四邊形，EA，AECF是菱形．應選：C．此題主要考察了菱形的判定以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，依據(jù)得出EO=FO是解題關鍵．3〔2023涼山州〕如圖，菱形ABCD中，B=6AB=，則以AC為邊長的正方形的周長為〔 〕A．14 B．15 C．16 D．17考點：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：依據(jù)菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長，依據(jù)正方形的性質(zhì)得AF=EF=EC=AC=4，求出即可．ABCD是菱形，AB=B，B=6，ABC是等邊三角形，AC=AB=，ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16，應選C．點評：此題考察了菱形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應用，關鍵是求出AC的長．4〔2023瀘州如圖菱形ABCD的兩條對角線相交于O，假設AC=6，BD=4，則菱形ABCD的周長是〔 〕AA．24B．16C．4D．2考點考點菱形的性質(zhì)；勾股定理．由菱形ABCD的兩條對角線相交于OAC=BD=，即可得AB，求得OA與OB的長，然后利用勾股定理，求得AB的長，繼而求得答案．ABCDAC=，BD=，AB，OA=AC=OB=BD=AB=BC=CD=A，RAOBAB==，4AB=4應選C．此題考察了菱形的性質(zhì)與勾股定理．此題難度不大，留意把握數(shù)形結(jié)合思想的應用．．5〔2023菏澤〕如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個鈍角為120°的菱形，剪口與其次次折痕所成角的度數(shù)應為〔 〕A．15°30°B．30°45°C．45°60°D．30°60°考點：剪紙問題．折痕為AC與BBAD=12°，依據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的對角線平分對角，可得ABD=3BAC=6°，所以剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應為30或ABCD是菱形，ABDABC，BACBAAB，BAD=12，ABC=18﹣BAD=18﹣12°=6，ABD=3，BAC=6°．a(chǎn)30°60°．應選D．平分每一組對角．6〔2023玉林〕如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形．甲、乙兩人的作法如下：AC的垂直平分線MN分別交則四邊形ANCM是菱形．乙：分別作AB的平分線AB，分別交BAD于E，連接E，則四邊形ABEF是菱形．依據(jù)兩人的作法可推斷〔 〕A．甲正確，乙錯誤BA．甲正確，乙錯誤B．乙正確，甲錯誤C．甲、乙均正確D．甲、乙均錯誤考點菱形的判定．分析：AOCOAS，可得MO=N，再依據(jù)對角線相互平分的四邊形是平行四邊形可判定判定四邊形ANCMAMN垂直的四邊形是菱形判定出ANCM是菱形；四邊形ABCD是平行四邊形，可依據(jù)角平分線的定義和平行線的定義，求得AB=AF，所以四邊形ABEF是菱形．解答：解：甲的作法正確；AB，DACAC，MN是AC的垂直平分線，AO=C，在△AOM和△CON中，AOCOASA，MO=N，ANCM是平行四邊形，AM，ANCM是菱形；乙的作法正確；AB，1，6，BFABAEBA，2，5，1，5，AB=AAB=B，AF=BEAB，且AF=B，ABEF是平行四邊形，AB=A，ABEF是菱形；應選：C．點評：此題主要考察了菱形形的判定，關鍵是把握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形〔+菱形；〔“”．7、〔2023年濰坊市〕如圖，ABCD是對角線相互垂直的四邊形，且OB=OD,請你添加一個適當?shù)臈l件 ,使ABCD成為菱形.〔只需添加一個即可〕答案：OA=OC或AD=BCAD//BCAB=BC等考點：菱形的判別方法.點評：此題屬于開放題型，答案不唯一.主要考察了菱形的判定，關鍵是把握菱形的判定定理．8〔2023攀枝花〕如圖，在菱形ABCD中DAB于點cosA= BE=，則的值是 2 ．考點考點菱形的性質(zhì)；解直角三角形．求出AD=AB，設AD=AB=5x，AE=3x，則5x﹣3x=4，求出x，得出AD=10，AE=6，在RADE中，由勾股定理求出DE=，在RBDE中得出taDBE=，代入求出即可，ABCD是菱形，AD=A，cosA= BE=，DA，AD=AB=5x，AE=3x，5x﹣3x=4，x=2，AD=10，AE=6，=8，在RBDEtaDBE== =2，故答案為：2．此題考察了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應用，關鍵是求出DE的長．9、(2023ABCD中，AB＝4，B60oAEBC,AFCD,垂足分別E,F,連接EF,則的△AEF.3答案33解析BAD＝120°，∠BAE＝∠DAF3＝30°，BE＝DF＝2，AE＝AF＝23

，所以，三角33133形AEF為等邊三角形，高為3，面積S＝232 ＝310〔2023?泰州〕對角線相互 垂直的平行四邊形是菱形．考點考點菱形的判定．解：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形，故答案為：垂直．此題考察了對菱形的判定的應用，留意：菱形的判定定理有四邊形是菱形，形．11、(2023年南京)如圖，將菱形紙片ABCD折迭，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF。假設菱形ABCD的邊長為2cm，A=120，則EF= cm。答案：33解析AO處，如圖，PAOEA職點，AE333＝1，EAO=60，EP＝23

，所以，EF＝12〔2023?淮安〕假設菱形的兩條對角線分別為2和3，則此菱形的面積是 3 ．考點考點菱形的性質(zhì)．菱形的面積是對角線乘積的一半，由此可得出結(jié)果即可．解：由題意，知：S故答案為：3．此題考察了菱形的面積兩種求法〔〕利用底乘以相應底上的高2〕利用菱形的特殊性，菱形面積= ×兩條對角線的乘積；具體用哪種方法要看條件來選擇．菱形= ×2×3=3，1〔2023牡丹江〕如圖，邊長為1的菱形ABCDDAB=6°．連結(jié)對角線A，以AC為邊作其次個菱形ACEFAC=6．連結(jié)A，再以AE為邊作第三個菱形AEGH使HAE=6按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長 〔 n﹣1 ．考點考點菱形的性質(zhì)．專題規(guī)律型．DB于AC相交于M，依據(jù)和菱形的性質(zhì)可分別求得AC，AE，AG的長，從而可覺察規(guī)律依據(jù)規(guī)律不難求得第n個菱形的邊長．DB，ABCD是菱形，AD=AAD，DAB=6，ADB是等邊三角形，DB=AD=，BM= ，AM=，AC=，同理可得AE=AC=〔 〕2，AG= AE=3=〔〕3，按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為〔〕n﹣1，故答案為〔〕n﹣1．此題主要考察菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及學生探究規(guī)律的力量．14〔2023?寧夏〕如圖，菱形OABC的頂點O是原點，頂點B在y軸上，菱形的兩條對角線的長分別是6和4，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，則k的值為 ﹣6 ．考點考點反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；菱形的性質(zhì)．專題探究型．CC點坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可得出k的值．6和，〔3，，點A在反比例函數(shù)y= 的圖象上，2=k=﹣6．故答案為：﹣6．適合此函數(shù)的解析式．15〔2023?攀枝花〕如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等ABDACEF為ABDE與AB交于點GEF與AC交于點HACB=9，BAC=3．給出如下結(jié)論：EA；四邊形ADFE為菱形；AD=4A；FHBD其中正確結(jié)論的 ④〔請將全部正確的序號都填上．考點考點菱形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．ABEFAEFBAEACBDF=3°DBEF，則AE=D，再由FE=A，得出四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG，從而得到答案．ACE是等邊三角形，EAC=6°AE=A，BAC=3°，F(xiàn)AEACB=9AB=2B，F(xiàn)為AB的中點，AB=2A，BC=A，ABEF，F(xiàn)E=A，AEFBAC=3°，EAEA，ACB=9，HB，F(xiàn)是AB的中點，HF= B，BC= ABAB=B，HF= BDAD=B，BF=A，DFB=9°，BDF=3°，F(xiàn)AEBACCAE=9，DFBEA，EA，AEF=3°，BDFAE，DBEFAASAE=D，F(xiàn)E=A，ADFE為平行四邊形，AE，ADFE不是菱形；AG= A，AG= A，AD=A，則AD= AG，故說法正確，故答案為．條件先推斷出一對全等三角形，然后按排解法來進展選擇．16〔2023內(nèi)江〕菱形ABCD68，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值= 5 ．考點考點軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)．M關于BD的對稱點QNQBD于PMPMP+NP的值最小，連接AC，求出OC、OB，依據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解答：解：M關于BD的對稱點QNQBD于PMPMP+NP的值最小，連接AC，ABCD是菱形，ABQBPMB，即Q在AB上，MBD，AM，M為BC中點，Q為AB中點，N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，BC，BQ=C，BQNC是平行四邊形，NQ=B，CO=AC=，BO=BD=，在RBOCMP+NP=QP+NP=QN=，故答案為：5．點評：此題考察了軸對稱﹣最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能依據(jù)軸對稱找出P的位置．1〔2023?黔西南州〕如下圖，菱形ABCD的邊長為，且ABC于ACD于，B=6°，則菱形的面積為 ．考點考點菱形的性質(zhì)．ABE可求出AE的長，再由菱形的面積等于底×高計算即可．ABCD的邊長為4，AB=BC=，ABC于B=6，sinB==，AE=2，菱形的面積=4×2 =8，故答案為8 ．此題考察了菱形的性質(zhì)：四邊相等以及特別角的三角函數(shù)值和菱形面積公式的運用．1〔2023衢州〕如圖，在菱形ABCD中，邊長為10A=6°．順次連結(jié)菱形ABCD各邊A1B1C1D1A1B1C1D1A2B2C2D2；順次連結(jié)四邊A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律連續(xù)下去…．則四邊形A2B2C2D2的周長是 20 ；四邊形A2023B2023C2023D2023的周長是 ．考點考點中點四邊形；菱形的性質(zhì)．專題規(guī)律型．依據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形各邊長得出規(guī)律求出即可．ABCD中，邊長為1A=6，順次連結(jié)菱形ABCD各邊中點，A11是等邊三角形，四邊形B22是菱形，1=C1=AC=5 ，2=D=2=D=，A2B2C2D2的周長是：5×4=20，同理可得出：A3D3=5×，C3D3=AC=×5 ，A5D5=5×〔〕2，C5D5=AC=〔〕2×5 ，…A2023B2023C2023D2023的周長是：=．故答案為：20，．出邊長變化規(guī)律是解題關鍵．1〔2023四川宜賓〕ABCAB=90BD為AC的中線，過點C作CBDEABDCEFAFFG=BD，BG、DFAG=13，CF=6BDFG的周長為20．考點：菱形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．BGFD可得BFBGFDG=A=1A=2RACFx的值．ABBF，BGFD是平行四邊形，CB，CA，DAC中點，B=D=A，BGFD是菱形，GF=xAF=13﹣x，AC=2x，Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即〔13﹣x〕2+62=〔2x〕2，解得：x=5，故答案為：20．BGFD是菱形．22023黃岡ABCDABD相交于點DAB于，連接ODHODC．考點考點：菱形的性質(zhì)．專題證明題．分析：依據(jù)菱形的對角線相互平分可得OD=OB，再依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=O，然后依據(jù)等邊對等角求出OHBOB，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)OBHOD，然后依據(jù)等角的余角相等證明即可．解答：ABCD是菱形，OD=O，COD=9，DAB，OH=O，OHBOB，AC，OBHOD，在RCODODCDCO=9°，在RGHBDHODC．半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關系是解題的關鍵．2〔2023十堰〕如圖，正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點〔，﹣2．求反比例函數(shù)的解析式；觀看圖象，直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；假設雙曲線上點C〔2，n〕沿OA方向平移個單位長度得到點B，推斷四邊形OABC的外形并證明你的結(jié)論．考點考點反比例函數(shù)綜合題．分析：〔1〕設反比例函數(shù)的解析式為y= 〔k＞，然后依據(jù)條件求出A點坐標，再求出k的值，進而求出反比例函數(shù)的解析式；直接由圖象得出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；首先求出OA的長度，結(jié)合題意COA且CB= ，推斷出四邊形OABC是行四邊形，再證明OA=OC即可判定出四邊形OABC的外形．解答：解〔〕設反比例函數(shù)的解析式為y= k＞，〔，﹣〕在y=2x上，﹣2=2，m﹣1，〔1，2，又點A在y= 上，k﹣，反比例函數(shù)的解析式為y= ；〔2〕觀看圖象可知正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍為﹣1＜x＜0或x＞1；〔3〕四邊形OABC是菱形．A〔，﹣，OA==，COA且CB=CB=O，OABC是平行四邊形，〔，n〕在y= 上，，n=，〔，1，OC= =，OC=O，的性質(zhì)以及菱形的判定定理，此題難度不大，是一道不錯的中考試題．22〔2023年廣州市ABCDACBDO,AB=5,AO=4,BD的長.分析：依據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO的長，即可得出答案解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線ACBD相交于O，∴AC⊥BD，DO=BO，∵AB=5，AO=4，∴BO==3，∴BD=2BO=2×3=6．點評：此題主要考察了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，依據(jù)得出BO的長是解題關鍵2〔2023常州〕ABCAB=AB=6FAECA是ABC的兩個外ADFACDEC．求證：四邊形ABCD是菱形．考點考點菱形的判定．專題證明題．依據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出．B=6°AB=A，ABC為等邊三角形，AB=B，ACB=6°，F(xiàn)ACACE=12°，BADBCD=12°，BD=6°，ABCD是平行四邊形，AB=B，ABCD是菱形．形與平行四邊形的區(qū)分，得出AB=BC是解決問題的關鍵．22023恩施州〕如下圖，在梯形ABCDABAB=CEH分別為AB、BC、CD、DA的中點，求證：四邊形EFGH為菱形．考點考點菱形的判定；梯形；中點四邊形．專題證明題．連接AC、BD，依據(jù)等腰梯形的對角線相等可得AC=BD，再依據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF=GH= AC，HE=FG= BD，從而得到EF=FG=GH=HE，再依據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形判定即可．解答：AC、BD，AB，AB=C，AC=B，、、GH分別為邊ABCDA的中點，在△ABC中，EF= AC，在△ADC中，GH= AC，EF=GH= A，同理可得，HE=FG= BD，EF=FG=GH=H，EFGH為菱形．等于第三邊的一半，作關心線是利用三角形中位線定理的關鍵，也是此題的難點．2〔2023宜昌〕如圖，點FAAE=A，分別以點F心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF．請你推斷所畫四邊形的性狀，并說明理由；連接E，假設AE=8A=6，求線段EF的長．考點考點菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．〔1由AE=AF=ED=D是菱形；〔2〕首先連接E，由AE=AA=6EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長．〔〕菱形．AE=AF=ED=D，AEDF是菱形；〔2〕連接EF，AE=A，A=6，EAF是等邊三角形，EF=AE=8厘米．握關心線的作法，留意數(shù)形結(jié)合思想的應用．26〔2023雅安〕在ABCD中，點E、FAB、CD上，且AE=CF．ADCB；假設DF=BF，求證：四邊形DEBF為菱形．考點考點菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題證明題．〔1〕首先依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BA，再加上條件AE=CF可利用SASADCB；〔2〕首先證明DF=B，再加上條件ACD可得四邊形DEBF是平行四邊形，又DF=FB，可依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形證出結(jié)論．1〕ABCD是平行四邊形，AD=B，A，△ADE和△CBF中，，ADCB〔SA；〔2〕ABCD是平行四邊形，AC，AB=C，AE=C，DF=E，DEBF是平行四邊形，DF=F，DEBF為菱形．理，以及菱形的判定定理，平行四邊形的性質(zhì)．27〔2023南寧〕如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E、F分別是邊BC、AD的中點．ABCD；B=6AB=，求線段AE的長．考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1〕首先依據(jù)菱形的性質(zhì)，得到AB=BC=AD=CB，結(jié)合點、F分別是邊BADABCD；〔2ABCRAEBB=6AB=，即可求出AE的長．解答：〔〕ABCD是菱形，AB=BC=AD=C，BD，E、F分別是邊BC、AD的中點，BE=D，在△ABE和△CDF中，∵ ，ABCD〔SA；〔2〕B=6°，ABC是等邊三角形，E是邊BC的中點，AB，在RAEB中sin60°= = ，解得AE=2 ．點評：此題主要考察菱形的性質(zhì)等學問點，解答此題的關鍵是嫻熟把握菱形的性質(zhì)、全等三角形的證明以及等邊三角形的性質(zhì)，此題難度不大，是一道比較好的中考試題．28〔2023安順〕如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE=2DEDE到FEF=BE，連接CF．求證：四邊形BCFE是菱形；假設CE=BCF=12°，求菱形BCFE的面積．考點：菱形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．DEABC中位線，所以DBC且2DE=B，所以BC和EFBCFEBE=FBCF是EBC為6，所以菱形的邊長也為．〔1〕E分別是AAC的中點，DBC且2DE=B，EF=B，EB，BCFE是平行四邊形，BE=F，BCFE是菱形；2〕BCF=12°，EBC=6°，EBC是等邊三角形，菱形的邊長為4，高為2，菱形的面積為4×2=8．此題考察菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理29〔2023?婁底〕某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全一樣的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖〔1〕所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEFA點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角〔°＜＜9°，如圖AE與BC交于點AC與EF交于點NBC與EF交于點P．求證：AM=AN；當旋轉(zhuǎn)角α=30°時，四邊形ABPF是什么樣的特別四邊形？并說明理由．考點考點旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．〔1〕依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=ABAMFAABAFN即可；〔利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出FAB=12FPCB=6ABPF是平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案．四邊形，再利用菱形的判定得出答案．解答：〔1〕60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖〔1〕所示位置放置放置，現(xiàn)將RAEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角〔°＜＜9°，AB=A，BAMFA，在△ABM和△AFN中，，ABAF〔AS，AM=A；〔2〕解：當旋轉(zhuǎn)角α=30°時，四邊形ABPF是菱形．理由：連接AP，α=3，F(xiàn)AN=3，F(xiàn)AB=12，B=6，AB，F(xiàn)FPC=6°，F(xiàn)PCB=6，AF，ABPF是平行四邊形，AB=A，ABPF是菱形．旋轉(zhuǎn)前后圖形大小不發(fā)生變化得出是解題關鍵．3〔2023株洲〕四邊形ABCD是邊長為2BAD=6°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EFAD于點E，交BC于點F．AOCO；EOD=3，求CE的長．考點菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．〔1〕依據(jù)菱形的對角線相互平分可得AO=C，對邊平行可得AB，再利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得OAEOCAOE和COF〔2〕依據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出DAO=3AEF=9，然后求AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．〔1〕ABCD是菱形，AO=CAB，OAEOC，在△AOE和△COF中， ，AOCO〔ASA；〔2〕BAD=6，DAO= BAD= ×60=3°，EOD=3°，AOE=9°30=6°，AEF=18°﹣BO﹣AOE=18﹣3﹣6°=9，2DAO=3°，OD= AD= ×2=，AO= = = ，AE=CF= × = ，2BAD=6°，高EF=2× = ，在Rt△CEF中，CE= = = ．此題考察了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應用等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應用〔〕CEF鍵，也是難點．31〔2023蘇州〕如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊ADF，交CD的延長線于點G．APAP；DF：FA=1：2DP的長為x，線段PFy．yx的函數(shù)關系式；x=6時，求線段FG的長．考點考點相像三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．〔1〕依據(jù)菱形的性質(zhì)得出DAPPAAD=A，再利用全等三角形的判定得出APAPD；〔2〕首先證DFBE，進而得出 = ，= ，進而得出=，即= ，即可得出答案；依據(jù)中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進而得出 == ，求出即可．〔1〕P是菱形ABCD對角線AC上的一點，DAPPAAD=A，，APAP〔SA；〔2〕APAP，DP=P，ADPAB，，DFBEASA，PF=PDF=B，GA，∴=，D：FA=2，∴∴= ， = ，∴= ，∵=，即= ，y= x；當x=6時，y= ×6=4，PF=PE=DP=PB=，∵= = ，∴= ，解得：FG=5，故線段FG5．平行關系得出 = ，= 是解題關鍵．3〔2023聊城〕ABOAFOCD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點C作DA的平行線與AF相交于點CD=BE=2．求證1〕四邊形FADC是菱形；2〕FCO的切線．考點：切線的判定與性質(zhì)；菱形的判定．〔1〕首先連接O，由垂徑定理，可求得CE的長，又由勾股定理，可求得半徑OCADAD=CDFADC是平行四邊形，繼而證得四邊形FADC是菱形；2〕首先連接OAFCF，繼而可證得FCO〔〕連接O，ABOCA，CE=DE=CD×=，OC=x，BE=，OE=2，2〔x22〔解得：x=4，OA=OC=OE=2，AE=，AD=C，AFO切線，AA，CA，AC，CA，F(xiàn)ADC是平行四邊形，∴FADC是菱形；〔2〕連接OF，F(xiàn)ADC是菱形，F(xiàn)A=F，在△AFO和△CFO中，，AFCF〔SS，F(xiàn)COFAO=9，即OF，CO上，F(xiàn)CO的切線．

=4，點評：33〔2023泰安〕如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交ACF，連接DF．BACDAAFDCF．假設AC，試證明四邊形ABCD是菱形；在〕的條件下，試確定EEFDBC，并說明理由．考點：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．〔1〕首先利用SSSABADCBACDAABAD，AFDAFAFDCF；首先證明CADAC，再依據(jù)等角對等邊可得AD=C，再有條件可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是菱形；BCDCFCBFCD，再依據(jù)BCDBECDEF=9，進而EFDBC．解答〔1〕證明：ABCADC中 ，ABADSS，BACDA，在△ABF和△ADF中 ，ABAD，AFDAF，AFBAF，AFDCF；AC，BACAC，CADAC，AD=C，AB=A，CB=C，AB=CB=