高中數(shù)學(xué)人教B版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第1章距離和高度問題

應(yīng)用舉例第1課時距離和高度問題1.能將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.(難點)2.能夠用正、余弦定理等知識和方法求解與距離、高度有關(guān)的實際應(yīng)用問題.(重點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理實際測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語閱讀教材P12～P13問題3，完成下列問題.實際測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線鉛垂平面與地面垂直的平面坡角坡面與水平面的夾角α為坡角坡比坡面的垂直高度與水平寬度之比坡比：i＝eq\f(h,l)仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時，視線與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時視線與水平線的夾角判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)一般來說，在測量過程中基線越長，測量精確度越低.()(2)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊.()(3)兩個不可到達(dá)的點之間的距離無法求得.()(4)坡面與水平面的夾角稱之為坡角.()(5)坡面的水平寬度與坡面的鉛直高度之比稱為坡比.()(6)坡角的范圍是[0，π].()【解析】(1)×.因為在測量過程中基線越長，測量的精確度越高.(2)×.因為要解三角形，至少要知道這個三角形的一條邊.(3)×.兩個不可到達(dá)的點之間的距離我們可以借助余弦定理求得.(4)√.由坡角的定義可知.(5)×.因為坡比是指坡面的鉛直高度與坡面的水平寬度的比.(6)×.坡角的范圍是(0，π).【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×[小組合作型]測量距離問題要測量對岸A，B兩點之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之間的距離.【精彩點撥】將題中距離、角度轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.【自主解答】如圖所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)，∴A，B之間的距離為eq\r(5)km.三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略：1解決三角形中與距離有關(guān)的問題，若在一個三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切危倮谜?、余弦定理求?2解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決[再練一題]1.如圖1-2-1，在河岸邊有一點A，河對岸有一點B，要測量A，B兩點的距離，先在岸邊取基線AC，測得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B兩點間的距離.【導(dǎo)學(xué)號：18082023】圖1-2-1【解】在△ABC中，AC＝120，∠A＝45°，∠C＝75°，則∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝60°，由正弦定理，得AB＝ACeq\f(sinC,sinB)＝eq\f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq\r(2)＋eq\r(6)).即A，B兩點間的距離為20(3eq\r(2)＋eq\r(6))m.測量高度問題(1)如圖1-2-2，從山頂望地面上C，D兩點，測得它們的俯角分別為45°和30°，已知CD＝100米，點C位于BD上，則山高AB等于()圖1-2-2A.100米 B.50eq\r(3)米C.50eq\r(2)米 (eq\r(3)＋1)米(2)在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，那么這座塔吊的高是()A.20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m (1＋eq\r(3))m(eq\r(6)＋eq\r(2))m (eq\r(6)＋eq\r(2))m【精彩點撥】(1)解決本題關(guān)鍵是求AB時確定在哪一個三角形中求解，該三角形是否可解.(2)解決本題關(guān)鍵是畫出示意圖.【自主解答】(1)設(shè)山高為h，則由題意知CB＝h，DB＝eq\r(3)h，所以eq\r(3)h－h(huán)＝100，即h＝50(eq\r(3)＋1).(2)如圖，由條件知四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20eq\r(3)m.∴BE＝BC＋CE＝(20＋20eq\r(3))m.選B.【答案】(1)D(2)B解決測量高度問題的一般步驟：1畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖.2分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形.3求解：運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解.在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用[再練一題]2.某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m).如圖1-2-3所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα＝，tanβ＝，請據(jù)此算出H的值.圖1-2-3【解】由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×,－＝124.因此，算出的電視塔的高度H是124m.[探究共研型]與立體幾何有關(guān)的測量高度問題探究1已知A，B是海平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D是點C到水平面的垂足.試畫出符合題意的示意圖.【提示】用線段CD表示山，用△DAB表示海平面.結(jié)合題中相應(yīng)的距離及角度，畫出立體圖形，如圖所示：探究2在探究1中若要求山高CD怎樣求解？【提示】由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的長，然后在Rt△ACD中求出CD.如圖1-2-4，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D，測得CD＝200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.圖1-2-4【精彩點撥】利用方程的思想，設(shè)AB＝h.表示出BC＝h，BD＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，然后在△BCD中利用余弦定理求解.【自主解答】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若設(shè)AB＝h，則BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2023＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，所以h2＝2023，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米.測量高度問題的兩個關(guān)注點：1“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.2“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路[再練一題]3.要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()【導(dǎo)學(xué)號：18082023】A.100eq\r(2)m B.400mC.200eq\r(3)m D.500m【解析】由題意畫出示意圖，設(shè)塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).【答案】D1.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿，甲觀測的仰角為50°，乙觀測的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有()>d2 <d2>20m <20m【解析】如圖，設(shè)旗桿高為h，則d1＝eq\f(h,tan50°)，d2＝eq\f(h,tan40°).因為tan50°>tan40°，所以d1<d2.【答案】B2.在某個位置測得某山峰仰角為θ，對著山峰在地面上前進(jìn)600m后測得仰角為2θ，繼續(xù)在地面上前進(jìn)200eq\r(3)m以后測得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為()A.200m B.300mC.400m D.100eq\r(3)m【解析】法一：如圖，△BED，△BDC為等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200eq\r(3)(m).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故選B.法二：由于△BCD是等腰三角形，eq\f(1,2)BD＝DCcos2θ，即300＝200eq\r(3)cos2θ.cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故選B.【答案】B3.某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉(zhuǎn)150°，向新的方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好為eq\r(3)km，那么x的值為()\r(3) \r(3)\r(3)或eq\r(3) 【解析】如圖，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解之得x＝2eq\r(3)或eq\r(3).【答案】C4.在高出海平面200m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時兩船間的距離為________m.【導(dǎo)學(xué)號：18082023】【解析】過點A作AH⊥BC于點H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，則BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.【答案】200(eq\r(3)＋1)5.如圖1-2-5所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α，在塔底C處測得點A的俯角為β，已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD.圖1-2-5【解】法一：在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，則eq\f(BC,sinα－β)＝eq\f(AB,sin90°＋β)，∴AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β).在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCsin90°＋