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第一節(jié)大數(shù)定律大數(shù)定律依概率收斂定義及性質(zhì)小結(jié)第五章大數(shù)定律及中心極限定理

大量隨機(jī)試驗(yàn)中大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)的頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率一、大數(shù)定律定理1（切比雪夫定理的特殊情況）切比雪夫則對(duì)任意的ε>0，有做前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均證由切比雪夫不等式上式中令得說(shuō)明3、這種穩(wěn)定性的含義說(shuō)明算術(shù)平均值是從概率意義上逼近某一常數(shù)。二、依概率收斂定義及性質(zhì)

定義性質(zhì)請(qǐng)注意:問題:伯努利

設(shè)nA是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，是事件A發(fā)生的頻率.

設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)ε>0，有定理2（伯努利大數(shù)定律）或

伯努利證明

證畢注

貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.或下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)于任意正數(shù)ε

，有定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.注2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性.

要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性塊，例如n塊地.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).例1

在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.

設(shè)，k=1,2,…問對(duì)序列{Xk}能否應(yīng)用大數(shù)定律？即對(duì)任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

諸Xk

獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.三、小結(jié)

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