根軌跡分析法

4根軌跡分析法根軌跡法是一種圖解方法，它是古典控制理論中對系統(tǒng)進行分析和綜合的基本方法之一。由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點）在s平面上的分布，因此，用根軌跡法分析自動控制系統(tǒng)十分方便，在工程實踐中獲得了廣泛應用。14根軌跡法分析

4.1概述

4.2繪制根軌跡的基本法則

4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用

4.3廣義根軌跡24.1概述1.根軌跡的概念2.閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系3.根軌跡方程34.1概述1.根軌跡的概念R(s)C(s)-圖4.1系統(tǒng)方框圖例已知二階系統(tǒng)結構圖如圖4.1所示，試分析開環(huán)增益K的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響。特征方程式：閉環(huán)傳遞函數：特征根：44.1概述1.根軌跡K=0時，s1=0，s2=－1，對應開環(huán)極點。

0<K<1/4時，s1、s2都是負實根，如s1=－0.25，s2=－0.75。

K=1/4時，s1=s2=－1/2，兩個相等負實根。K：0→∞0-1j0.5jωσK=0-j0.5圖4-2根軌跡K=0.1875K=0.25K=0.5

根軌跡：它是指系統(tǒng)中某一參數在可能的取值范圍內連續(xù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡。

1/4<K<∞時，s1,s2為一對共軛復根；K=1/2時，s1,2=－1/2±j0.5。54.1概述G(s)H(s)R(s)C(s)-圖4.3系統(tǒng)結構圖

2.閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系64.1概述

2.閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系閉環(huán)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點構成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點及開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益有關。根軌跡增益與開環(huán)放大倍數相差一個比例系數。74.1概述

3.根軌跡方程----繪制根軌跡的依據特征方程根軌跡方程開環(huán)傳遞函數幅值條件相角條件k為整數G(s)H(s)R(s)C(s)-圖4.3系統(tǒng)結構圖84.1概述

3.根軌跡方程幅值條件相角條件相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充要條件。利用相角條件確定根軌跡上某點的位置；利用幅值條件確定根軌跡上某一點對應的根軌跡增益。滿足根軌跡方程的s值為閉環(huán)極點，必然在根軌跡上；滿足相角條件的點必然在根軌跡上。94.2繪制根軌跡的基本法則法則一起始點、終止點及分支數法則二根軌跡的對稱性法則三實軸上的根軌跡法則四根軌跡的漸進線法則五根軌跡的分離點法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)法則七根軌跡的分離角與會合角法則八根軌跡與虛軸的交點及臨界增益值法則九閉環(huán)極點的和(180o根軌跡，K*：0→∞)104.2繪制根軌跡的基本法則法則一起始點、終止點及分支數若系統(tǒng)有n個開環(huán)極點、m個開環(huán)零點，則根軌跡的分支數有n條。它們起始于開環(huán)極點，有m條終止于開環(huán)零點，尚有(n-m)條終止于無窮遠處零點。根軌跡方程起始點K*→0s

→pi(n個開環(huán)極點)終止點K*→∞s

→zj(m個開環(huán)零點)(n-m個無窮大零點)114.2繪制根軌跡的基本法則法則二根軌跡的對稱性根軌跡是連續(xù)的且對稱于實軸。當根軌跡增益從0→∞連續(xù)變化時，特征方程的根也將連續(xù)改變，故系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。由于閉環(huán)傳遞函數為有理分式函數，所以閉環(huán)極點只有實根和共軛復根兩類，這些極點在s平面上的分布是對稱于實軸的。實軸上的根軌跡只能是那些在其右側的實數開環(huán)零、極點個數之和為奇數的線段。法則三實軸上的根軌跡0jωσ圖4.5某系統(tǒng)零極點分布圖p1p2p3p4z1s1θ2θ1124.2繪制根軌跡的基本法則法則四根軌跡的漸進線當K*→∞時，有(n-m)條根軌跡分支沿著漸進線趨于無窮遠處。漸進線與實軸的交點坐標和與實軸正方向的夾角分別為：134.2繪制根軌跡的基本法則法則五根軌跡的分離點幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分離點(或會合點，為了簡化可統(tǒng)稱為分離點)。分離點的可能之處可由下列微分方程解出：(極值法)或分離點的坐標d可由如下方程解出：(試探法)如果求得的解滿足特征方程或相角條件，則可判定其為分離點。144.2繪制根軌跡的基本法則法則五根軌跡的分離點確定根軌跡幾個分支的分離點，實質上是求閉環(huán)特征方程式的幾重根。將特征方程寫成在重根處應滿足將K*表示成復變量s的函數154.2繪制根軌跡的基本法則例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。解：開環(huán)極點p1=0，p2=-1，p3=-2；無開環(huán)零點。實軸上的根軌跡(-∞，-2]，[-1，0]。漸進線n=3，m=0，有三條漸進線。交點相角164.2繪制根軌跡的基本法則解得分離點-3-210-10-1-212174.2繪制根軌跡的基本法則法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)起始角：根軌跡離開開環(huán)復數極點處的切線與正實軸之間的夾角稱為起始角。

終止角：根軌跡進入開環(huán)復數零點處的切線與正實軸之間的夾角稱為終止角。184.2繪制根軌跡的基本法則法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)在pl附近的根軌跡上取一點s1，則s1滿足根軌跡的相角條件，即過pl和s1作割線，則割線與正實軸之間的夾角為s1→pl時，∠(s1-pl)→θpl，則0jωσ圖4.7根軌跡起始角p1plp3z1s1θpl194.2繪制根軌跡的基本法則法則七根軌跡的分離角與會合角根軌跡離開(進入)重極點處的分離角(會合角)按等角性原則來確定，即分離點處分離與會合的根軌跡各個分支之間的夾角等于180o/l，l為分離或會合的根軌跡條數。方法一：特征方程分解法。將s=jω代入特征方程解得交點與臨界增益值。方法二：勞斯判據法。令勞斯表出現全零行，但第一列符號不變。這時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。所求出的純虛根位于根軌跡與虛軸的交點上。法則八根軌跡與虛軸的交點及臨界增益值204.2繪制根軌跡的基本法則法則九閉環(huán)極點的和開環(huán)傳遞函數當n>m時式中si為閉環(huán)極點。當n-m≥2時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，且為常數。即當K*變化時，在s平面上一部分根軌跡向左移動，則另一部分根軌跡必然向右移動。214.2繪制根軌跡的基本法則例4-9已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數試繪制K*從

0→∞變化時系統(tǒng)特征方程的根軌跡。解：開環(huán)極點：p1=0，p2=-3，p3,4=-1±j

；無開環(huán)零點；四條根軌跡分支。實軸上的根軌跡[-3，0]。漸進線n=3，m=0，有三條漸進線。交點相角224.2繪制根軌跡的基本法則解得那么分離點∠(s2-p1)+∠(s2-p2)+∠(s2-p3)+∠(s2-p4)=153.3o+9.1o-66.6o+78.6o=174.4o由于s2不滿足相角條件，故s2不是根軌跡上的點，不是分離點。0jωσS平面s2p1p2p3p49.1o153.3o-66.6o78.6o由特征方程求得234.2繪制根軌跡的基本法則在分離點s1處各根軌跡之間的夾角為180o/2=90o，會合角為0o、180o，故分離角為±90o。根軌跡在p3處的起始角φp3=(2k+1)π+(-135o-90o-26.6o)=-71.6o與虛軸的交點及臨界增益值：采用勞斯判據。閉環(huán)特征方程為或勞斯表s418K*s356s234/5K*s1(204-25K*)/34s0K*j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25244.2繪制根軌跡的基本法則令勞斯表s1行的首項為零，求得K*=8.16，根據s2行的系數寫出輔助方程令s=jω，K*=8.16，代入上式求得ω=±1.1。與虛軸的交點為±j1.1，對應的K*=8.16。j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25根軌跡如右圖所示。254.3廣義根軌跡主要根軌跡：指0≤K*<∞時的根軌跡(常規(guī)根軌跡、180o根軌跡、負反饋系統(tǒng)根軌跡、正參數根軌跡)。輔助根軌跡：指-∞<K*≤0時的根軌跡(補根軌跡、0o根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡、負參數根軌跡)。參數根軌跡：系統(tǒng)中變化的不是增益，而是其它參數變化時的根軌跡。根軌跡簇：多個參數變化時系統(tǒng)的根軌跡。延遲系統(tǒng)的根軌跡：具有延遲環(huán)節(jié)時系統(tǒng)的根軌跡。廣義根軌跡……264.3廣義根軌跡1.參數根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡3.正反饋回路的根軌跡274.3廣義根軌跡1.參數根軌跡有時需要討論系統(tǒng)中的參數，如某個微分或積分時間常數，反饋系數或校正環(huán)節(jié)參數的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響。這時，需繪制除開環(huán)增益之外的其它參數變化時的根軌跡，稱為系統(tǒng)的參變量根軌跡或參數根軌跡。

參數根軌跡的繪制：利用等效開環(huán)傳遞函數的概念，應用常規(guī)根軌跡的繪制法則進行繪制。等效的含義是指與原系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點。而閉環(huán)零點通常則不同，必須由原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數確定。284.3廣義根軌跡1.參數根軌跡原系統(tǒng)的特征方程為則等效開環(huán)傳遞函數為將上式整理成如下形式按常規(guī)根軌跡的繪制方法，繪制出α變化時等效系統(tǒng)的根軌跡，也即原系統(tǒng)的參數根軌跡。一般說，只要所論參數是線性地出現在閉環(huán)特征方程中，則總能把方程式寫成不含可變參數的多項式加上可變參數和另一多項式的乘積，然后將不含參數的多項式除方程式兩邊即可求等效開環(huán)傳遞函數。294.3廣義根軌跡1.參數根軌跡例4.10已知系統(tǒng)結構圖如圖4-12所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數試求Ta由0→∞連續(xù)變化時的閉環(huán)根軌跡。51+TasR(s)C(s)-圖4.12系統(tǒng)結構圖304.3廣義根軌跡1.參數根軌跡原系統(tǒng)特征方程即可改寫為新系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數為式中Ta*

=Ta相當于新系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。Ta變化時系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。314.3廣義根軌跡1.參數根軌跡圖4.14Ta變化時系統(tǒng)的根軌跡∞←TaTa=0Ta=1.8

Ta變化反映了系統(tǒng)開環(huán)零點變化對系統(tǒng)性能的影響。當Ta很小時，一對共軛復數極點離虛軸很近，系統(tǒng)的階躍響應有強烈的振蕩，平穩(wěn)性很差。324.3廣義根軌跡1.參數根軌跡

當Ta加大時，兩閉環(huán)極點離虛軸遠，靠近實軸，系統(tǒng)的阻尼加強，振蕩減弱，提高了平穩(wěn)性。

當Ta再加大時，兩閉環(huán)極點變?yōu)閷崝担到y(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，階躍響應具有非周期性?！蕖鸗aTa=0Ta=1.8334.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用1.閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響2.暫態(tài)響應性能分析3.增加開環(huán)零極點對根軌跡形狀的影響344.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用1.閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響利用根軌跡得到閉環(huán)零極點在s平面的分布情況，就可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數，進行系統(tǒng)性能分析。下面以系統(tǒng)的單位階躍響應為例，考查閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律。354.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用1.閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響單位階躍響應單位階躍響應其中，A0、Ai取決于系統(tǒng)閉環(huán)零極點的分布。閉環(huán)傳遞函數364.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用1.閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響(1)穩(wěn)定性欲使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，系統(tǒng)的根軌跡必須位于s平面的左半部。(2)運動形態(tài)設系統(tǒng)不存在閉環(huán)偶極子，閉環(huán)實極點對應的根軌跡位于實軸上，則對應的時間響應一定是單調的；閉環(huán)復數極點對應的時間響應是有振蕩的。(3)平穩(wěn)性欲使系統(tǒng)響應平穩(wěn)，系統(tǒng)的閉環(huán)復數極點的阻尼角應盡可能地小。兼顧系統(tǒng)響應的快速性，閉環(huán)主導極點的阻尼角一般取45o左右。(4)快速性欲使系統(tǒng)具有好的響應快速性，閉環(huán)極點應遠離虛軸，或用閉環(huán)零點與虛軸附近的閉環(huán)極點構成閉環(huán)偶極子。374.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)響應的性能由閉環(huán)傳遞函數的零極點確定，而閉環(huán)系統(tǒng)的零極點可由根軌跡法確定。當系統(tǒng)存在一對主導極點時，可以用低階系統(tǒng)來近似估算高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能。384.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析例4.15已知某天線伺服系統(tǒng)結構圖如圖4.25所示，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為試用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能。θi(t)θo(t)-圖4.25伺服系統(tǒng)方框圖KeKfGm(s)n誤差檢測裝置放大器伺服電機齒輪裝置θe(t)394.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析(1)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解作根軌跡圖如圖所示。-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β(2)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標當Kf=80時，由根軌跡圖可得系統(tǒng)閉環(huán)極點。設s11=-1.53+jωdωd8.08.28.348.358.368.388.4K*66.369.671.972.072.272.672.9利用幅值條件，通過試探法求得閉環(huán)極點為s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35404.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35計算出性能指標為-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β414.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β要求阻尼比ζ=0.32，試求放大器增益與性能指標。42sys3=tf([1],[15860]);rlocus(sys3)4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析例設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試繪制系統(tǒng)的根軌跡法，并分析K*=4時系統(tǒng)的性能。解(1)作根軌跡圖如圖所示。

(2)根據幅值條件確定系統(tǒng)的零極點分布。434.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析根據根軌跡的一些特殊點(如分離點、與虛軸交點)確定試探范圍。s-1.8-1.9-2.0-2.1-2.2-2.3-2.4-2.5-2.6-2.7K*3.543.784.004.184.294.334.264.063.703.15當K*=4時，用試探法求得：s1=-2s2=-2.52當K*=4時，系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點為負實數，而另兩個則為共軛復數。0-3-2.3(K*=4.35)444.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能分析

特征多項式為用長除法得由s2+0.48s+0.79=0解得另兩個閉環(huán)復數極點為：S3,4=-0.24±j0.86(3)分析系統(tǒng)性能暫態(tài)性能s1和s2的實部分別為復數極點實部的8.3倍和10.5倍，則系統(tǒng)可簡化為由主導極點S3,4所決定的二階系統(tǒng)。454.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用2.暫態(tài)響應性能