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文檔簡介
山西省呂梁市鴉溝中學2021年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線C:的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為()A.
B.
C.
D.參考答案:A設(shè)雙曲線C:-=1的半焦距為,則.又C的漸近線為,點P(2,1)在C的漸近線上,,即.又,,C的方程為-=1.2.向面積為S的△ABC內(nèi)任投一點P,求△PBC的面積小于的概率為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B略3.已知實數(shù)滿足則的最大值是.
A.
B.
C.
D.參考答案:C略4.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C5.已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形,側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖可能為
(
)參考答案:【知識點】幾何體的三視圖.
G2【答案解析】C
解析:由三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖可知,此三棱錐的直觀圖如下,所以該三棱錐的正視圖可能為C.故選C.【思路點撥】由三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖可得此三棱錐的直觀圖,從而得此三棱錐的的正視圖的形狀.6.在下列向量組中,可以把向量表示出來的是(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:B7.已知雙曲線C1:﹣y2=1,雙曲線C2:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,M是雙曲線C2一條漸近線上的某一點,且OM⊥MF2,若C1,C2的離心率相同,且S=16,則雙曲線C2的實軸長為()A.4 B.8 C.16 D.32參考答案:C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】求得雙曲線C1的離心率,求得雙曲線C2一條漸近線方程為y=x,運用點到直線的距離公式,結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式,化簡整理解方程可得a=8,進而得到雙曲線的實軸長.【解答】解:雙曲線C1:﹣y2=1的離心率為,設(shè)F2(c,0),雙曲線C2一條漸近線方程為y=x,可得|F2M|===b,即有|OM|==a,由S=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且=,解得a=8,b=4,c=4,即有雙曲線的實軸長為16.故選:C.8.設(shè)三位數(shù)n=,若以a,b,c為三條邊長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形,則這樣的三位數(shù)n有(
)
A.45個
B.81個
C.165個
D.216個參考答案:C解:⑴等邊三角形共9個;⑵等腰但不等邊三角形:取兩個不同數(shù)碼(設(shè)為a,b),有36種取法,以小數(shù)為底時總能構(gòu)成等腰三角形,而以大數(shù)為底時,b<a<2b.a(chǎn)=9或8時,b=4,3,2,1,(8種);a=7,6時,b=3,2,1(6種);a=5,4時,b=2,1(4種);a=3,2時,b=1(2種),共有20種不能取的值.共有236-20=52種方法,而每取一組數(shù),可有3種方法構(gòu)成三位數(shù),故共有523=156個三位數(shù)即可取156+9=165種數(shù).選C.9.由曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3,x軸與y軸所圍成圖形的面積為()A.3 B. C. D.參考答案:B【考點】6G:定積分在求面積中的應(yīng)用.【分析】求出交點坐標,利用定積分知識,即可求解.【解答】解:曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3聯(lián)立可得x2+x﹣2=0,∴x=﹣2或1,∴由曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3,x軸與y軸所圍成圖形的面積為+=+2=,故選B.【點評】本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積,關(guān)鍵是利用定積分表示出面積.10.已知的圖象過點(2,1),則函數(shù)
的值域為………………(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點,橢圓與直線交于點、,則的周長為__________參考答案:812.若變量x,y滿足約束條件且z=5y-x的最大值為a,最小值為b,a-b的值是____________參考答案:解析:本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握.約束條件表示以(0,0),(0,2),(4,4),(8,0)為頂點的四邊形區(qū)域,檢驗四個頂點的坐標可知,當x=4,y=4時,a=zmax=5×4-4=16;當x=8,y=0時,b=zmin=5×0-8=-8,∴a-b=24.13.已知定義域為R的函數(shù)滿足,且,
則=
;參考答案:14.在△ABC中,D為AB的一個三等分點,AB=3AD,AC=AD,CB=3CD,則cosB=.參考答案:【考點】余弦定理.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合法;解三角形.【分析】令A(yù)C=AD=1,CD=m>0,可求AB=3,BC=3m,利用余弦定理可得關(guān)于cosA的等式,解得m的值,利用余弦定理即可求cosB的值.【解答】解:令A(yù)C=AD=1,CD=m>0,則:AB=3,BC=3m,則利用余弦定理可得:.∴.故答案為:.【點評】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.15.若直線y=kx+b是曲線y=ex+2的切線,也是曲線y=ex+1的切線,則b=.參考答案:4﹣2ln2【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】設(shè)直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點分別為和,分別求出切點處的直線方程,由已知切線方程,可得方程組,解方程可得切點的橫坐標,即可得到b的值.【解答】解:設(shè)直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點分別為和,則切線分別為,,化簡得:,,依題意有:,所以.故答案為:4﹣2ln2.【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求切線的方程,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,正確求得導(dǎo)數(shù)和設(shè)出切點是解題的關(guān)鍵,考查運算能力,屬于中檔題.16.已知函數(shù),,則的最小值為_____________.參考答案:1略17.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:按照以上排列的規(guī)律,第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.現(xiàn)有一元人民幣3張,五元人民幣2張,拾元人民幣4張,伍拾元人民幣1張,從中至少取一張(多取不限),共可取得多少種不同的幣值?參考答案:解析:注意到取2張五元人民幣與取1張拾元人民幣幣值相同,不能算為兩種不同取法。為避免重復(fù),將4張拾元人民幣“換作”8張五元人民幣,1張五十元人民幣“換作”10張五元人民幣。于是所給問題等給于:有1元人民幣3張、五元人民幣20元,從中至少取一張(多取不限),可取得多少種不同幣值?
將取幣的過程看作二重選擇過程:從3張1元人民幣中有取0、1、2、3張等4種不同取法,從20張五元人民幣中有取0,1,2,…,20張等21種不同取法。于是由乘法原理知,有4×21=84種不同幣值。但是,這是須除去1元和五元都沒有的情形,因此,共可取得83種不同幣值。
點評:注意從中學習問題轉(zhuǎn)化的策略。19.(12分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.參考答案:解:(1)設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+3d=–15.由a1=–7得d=2.所以{an}的通項公式為an=2n–9.(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為–16.
20.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為M.(1)設(shè)集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},從集合P中隨機取一個數(shù)作為x,從集合Q中隨機取一個數(shù)作為y,求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率;(2)設(shè)x∈[0,3],y∈[0,4],求點M落在不等式組:所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率.參考答案:解:(1)記“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A.∵組成復(fù)數(shù)z的所有情況共有12個:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每種情況出現(xiàn)的可能性相等,屬于古典概型,其中事件A包含的基本事件共2個:i,2i,∴所求事件的概率為P(A)==.(2)依條件可知,點M均勻地分布在平面區(qū)域內(nèi),屬于幾何概型.該平面區(qū)域的圖形為右圖中矩形OABC圍成的區(qū)域,面積為S=3×4=12.而所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域為,其圖形如圖中的△OAD(陰影部分).又直線x+2y-3=0與x軸、y軸的交點分別為A(3,0)、D,∴△OAD的面積為S1=×3×=.∴所求事件的概率為P===.略21.(本題滿分14分)如圖,已知菱形的邊長為,,.將菱形沿對角線折起,使,得到三棱錐.(Ⅰ)若點是棱的中點,求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)設(shè)點是線段上一個動點,試確定點的位置,使得,并證明你的結(jié)論.參考答案:(Ⅰ)因為點是菱形的對角線的交點,所以是的中點.又點是棱的中點,所以.
(2分)因為平面,平面,所以平面.
(4分)(Ⅱ)由題意,,因為,所以,.(5分)又因為菱形,所以,.建立空間直角坐標系,如圖所示..所以(6分)設(shè)平面的法向量為,則有即:令,則,所以.(8分)因為,所以平面.平面的法向量與平行,所以平面的法向量為.(9分),因為二
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