管理里統(tǒng)計(jì)學(xué)3統(tǒng)計(jì)資料的綜合

表示統(tǒng)計(jì)資料的特征數(shù)有哪些？幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)各適合于什么情況？計(jì)算樣本方差與總體方差公式有何區(qū)別？集中位置分散程度偏倚程度3.1表示集中位置的特征數(shù)3.1.1平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）幾何平均數(shù)（GeometricMean）調(diào)和平均數(shù)定義：一組n個(gè)觀測(cè)值x1,x2,…，xn的算術(shù)平均數(shù)，定義為(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）如果資料已經(jīng)分組，組數(shù)為k，用x1,x2,…，xk

表示各組中點(diǎn)，f1，f2…,fk

表示相應(yīng)的頻數(shù)，那么(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）表3-1某校125位大學(xué)一年級(jí)新生體重表體重（公斤）組中值(x)

人數(shù)(f)46—4847449—51502052—54532555—57563858—60592161—63621264—66655(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）其平均體重：=＝＝55.592(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）

當(dāng)時(shí)最小

性質(zhì)(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）在數(shù)據(jù)為環(huán)比類型的問題中，算術(shù)平均數(shù)是不適用的。例如下表是天津市工業(yè)總產(chǎn)值在“十五”期間的逐年增長(zhǎng)率，如求該期間平均增長(zhǎng)率，算術(shù)平均數(shù)是不恰當(dāng)?shù)?。幾何平均?shù)可以解決這個(gè)問題。(2)幾何平均數(shù)（GeometricMean）表3-2天津市工業(yè)總產(chǎn)值年份比上年增長(zhǎng)％2000200114.0200219.6200324.1200431.0200520.8（天津市2005統(tǒng)計(jì)年鑒）

(2)幾何平均數(shù)（GeometricMean）定義:一組n個(gè)數(shù)據(jù)的幾何平均數(shù)定義為在上式中，依次為114.0，119.6，124.1，十五期間天津市工業(yè)總產(chǎn)值年均增長(zhǎng)率為21.8%。131.0，120.8于是幾何平均數(shù)：(2)幾何平均數(shù)（GeometricMean）當(dāng)數(shù)據(jù)是相對(duì)變化率，求平均數(shù)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)也不恰當(dāng)。例如：甲乙兩地相距120公里，某人乘車往返甲乙兩地之間，去時(shí)速度每小時(shí)20公里，回來時(shí)速度為每小時(shí)30公里，若求平均速度，這時(shí)用算術(shù)平均數(shù)是不對(duì)的，但調(diào)和平均數(shù)可解決此類問題。(3)調(diào)和平均數(shù)在上例中，（公里/小時(shí)）定義：一組n個(gè)數(shù)據(jù)的調(diào)和平均數(shù)H，由下式定義(3)調(diào)和平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)是三種不同形式平均數(shù)，分別有各自的應(yīng)用條件

進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究時(shí)，適宜采用算術(shù)平均數(shù)時(shí)就不能用調(diào)和平均數(shù)或幾何平均數(shù)，適宜用調(diào)和平均數(shù)時(shí)，同樣也不能采用其他兩種平均數(shù)。但從數(shù)量關(guān)系來考慮，如果用同一資料（變量各值不相等）：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)表示了集中位置特征，它照顧到每一個(gè)值，但它不見得是出現(xiàn)次數(shù)最多的值（甚至也可能不是觀測(cè)值中的一個(gè)）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征數(shù)。3.1.2眾數(shù)（Mode）定義：對(duì)于有頻數(shù)分布的變量，它的眾數(shù)指頻數(shù)最大的變量的值表3-3頻數(shù)分布表Xf3155273對(duì)于已分組且等組距的頻數(shù)分布，根據(jù)最大頻數(shù)，可求得眾數(shù)所在組。根據(jù)眾數(shù)定義，可知眾數(shù)不唯一。3.1.2眾數(shù)（Mode）算術(shù)平均數(shù)作為集中位置的特征還有一缺點(diǎn)，就是受觀測(cè)值中極端值的影響很大，而一組觀測(cè)值中的極端值常常沒有代表性。中位數(shù)將避免這種影響。3.1.3中位數(shù)（Median）

一組n個(gè)觀測(cè)值按數(shù)值大小排列，處于中央位置的值稱為中位數(shù)以表示，，當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)定義：即3.1.3中位數(shù)（Median）性質(zhì)：一組觀測(cè)值中小于Me的個(gè)數(shù)和大于Me的個(gè)數(shù)相等。當(dāng)最小第25百分位數(shù)又稱第一個(gè)四分位數(shù)（FirstQuartile）,用Q1表示；第50百分位數(shù)又稱第二個(gè)四分位數(shù)（SecondQuartile），用Q2表示；第75百分位數(shù)又稱第三個(gè)四分位數(shù)（ThirdQuartile）,用Q3表示。中位數(shù)是第50百分位數(shù)一組n個(gè)觀測(cè)值按數(shù)值大小排列如x1,x2,x3,x4…處于p%位置的值稱第p百分位數(shù)。定義：3.1.4百分位數(shù)（Percentile）計(jì)算第p百分?jǐn)?shù)第1步：以遞增順序排列原數(shù)據(jù)（即從小到大排列）。第2步：計(jì)算指數(shù)

第3步1.若i不是整數(shù)，將i向上取整。大于I的毗鄰整數(shù)為第p百分位數(shù)的位置。2.若i是整數(shù)，則第P百分位數(shù)是第i項(xiàng)與第（i＋l）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均值。如何計(jì)算百分位數(shù)2210225523502380238023902420244024502550263028253.1.4四分位數(shù)（quartile）數(shù)據(jù)的變異程度產(chǎn)品質(zhì)量檢查的結(jié)果說明生產(chǎn)是否穩(wěn)定測(cè)量的結(jié)果說明測(cè)量方法或儀器是精密還是粗糙學(xué)生的成績(jī)成績(jī)是否整齊（而不是高低）3.2表示變異（分散）程度的特征數(shù)定義

其中xmax和xmin分別為數(shù)據(jù)中的極大值和極小值。3.2.1極差（或稱全距Range）R對(duì)于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）定義平均差M.D.是離差的絕對(duì)值的平均數(shù)，即3.2.2平均差（MeanAbsoluteDeviation）方差

樣本

對(duì)于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）總體

樣本

總體

3.2.3方差（Variance），標(biāo)準(zhǔn)差（Standard

Deviation）標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）標(biāo)準(zhǔn)差的單位與X的單位相同。3.2.3方差（Variance），標(biāo)準(zhǔn)差（Standard

Deviation）定義變異系數(shù)C是一個(gè)無量綱的量。它適于用在比較有不同算術(shù)平均數(shù)或有不同量綱的兩組數(shù)據(jù)的情況。例如比較大學(xué)生身高與小學(xué)生身高，或比較130名大學(xué)生身高和體重哪個(gè)變化波動(dòng)范圍比較大時(shí)，都可用變異系數(shù)。3.2.4變異系數(shù)（CoefficientofVariation）3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對(duì)位置

下圖列舉出了對(duì)稱的、具有左偏態(tài)（負(fù)偏態(tài)）和右偏態(tài)（正偏態(tài)）的頻數(shù)分布的例子。注意到它們的特點(diǎn)是：①對(duì)稱的分布的眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)相同；②具有偏倚性的分布，算術(shù)平均數(shù)突出在外，偏向分布的尾端，而中位數(shù)則介于眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間。偏倚性是表示各觀測(cè)值分布不對(duì)稱情況或程度的。3.3表示偏倚情況或程度的特征數(shù)

圖3-13.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對(duì)位置>Me>Mo<Me<Mo

=Me=Mo可以看出，對(duì)于單峰的分布，對(duì)稱態(tài)：左偏態(tài)：右偏態(tài)：3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對(duì)位置（1）Pearson偏倚系數(shù)Pearson分布對(duì)稱，則k=0左偏態(tài)，則k<0右偏態(tài)，則k>03.3.2定量地描述偏倚性，常用的兩個(gè)公式（2）用標(biāo)準(zhǔn)化的三階矩陣g表示3.3.2定量地描述偏倚性，常用的兩個(gè)公式

3.4五數(shù)概括法五數(shù)概括法（2）第1四分位數(shù)（Q1）。（3）中位數(shù)（Q2）。（4）第3四分位數(shù)（Q3）。（5）最大值。（1）最小值。首先將數(shù)據(jù)按遞增順序排列，然后很容易就能確定最小值、3個(gè)四分位數(shù)和最大值了。對(duì)12個(gè)月薪數(shù)據(jù)的樣本，按照遞增順序排列如下：221022552350|238023802390|242024402450|255026302825Q1＝2365Q2＝2405Q3＝2500上述起薪數(shù)據(jù)以五數(shù)概括為：2210，2365，2405，2500，2825。3.4五數(shù)概括法盒形圖實(shí)際上是以圖形來概括數(shù)據(jù)。我們將盒形圖延至這一章才講是因?yàn)樗年P(guān)鍵是計(jì)算中位數(shù)和四分位數(shù)Q1和Q3。此外還將用到四分位數(shù)間距IQR＝Q3－Q1

。盒形圖的畫法步驟如下：

（1）畫一個(gè)方盒，其邊界恰好是第1和第3四分位數(shù)。對(duì)于上述的起薪數(shù)據(jù)，Q1＝2365，Q3＝2500。這個(gè)方盒包含了中間的50％的數(shù)據(jù)。（2）在方盒上中位數(shù)的位置畫一條垂線（對(duì)起薪數(shù)據(jù)，中位數(shù)為2405）。因此中位數(shù)將數(shù)據(jù)分為相等的兩個(gè)部分。3.5盒形圖（3）利用四分位數(shù)間距IQR=Q