工力應(yīng)力狀態(tài)孫訊芳

第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論孫訊芳2010低碳鋼?塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？?鑄鐵低碳鋼一、一點的應(yīng)力狀態(tài)

1.一點的應(yīng)力狀態(tài)：通過受力構(gòu)件一點處各個不同截面上的應(yīng)力情況。

2.研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出該點的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進行失效分析。二、單元體

1.單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一所截取的微小正六面體?！?-1

應(yīng)力狀態(tài)概述（1）應(yīng)力分量的角標規(guī)定：第一角標表示應(yīng)力作用面，第二角標表示應(yīng)力平行的軸，兩角標相同時，只用一個角標表示。（2）面的方位用其法線方向表示3.截取原始單元體的方法、原則①用三個坐標軸(笛卡爾坐標和極坐標，依問題和構(gòu)件形狀而定)在一點截取，因其微小，統(tǒng)一看成微小正六面體②單元體各個面上的應(yīng)力已知或可求；③幾種受力情況下截取單元體方法：2.單元體上的應(yīng)力分量最一般單元體PPa)一對橫截面，兩對縱截面As=P/AsAMeMeb)橫截面，周向面，直徑面各一對Bt=Me/WnBPMeMec)同b)，但從上表面截取CtssCCBAtBtCsCsCsAsAP從梁上取單元體BACPA(a)abcdA(b)(c)31固定端平面zMzT4321yx2、4點請同學們考慮yxz主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力，分別用表示。并且，有且只有三個。主平面：單元體上沒有切應(yīng)力的面，即t＝0的平面。主單元體：由主平面組成的單元體。空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析一、解析法求斜截面的應(yīng)力-解析法xybzacd平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示。單元體上有x,x和y,y。單元體用平面圖形來表示xy(一)、斜截面上的應(yīng)力xy圖bnef截面法:

假想地沿斜截面ef

將單元體截分為二(圖b),留下左邊部分的單體元ebf

作為研究對象(圖c)。befb圖c：從x軸到外法線n逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。剪應(yīng)力：對單元體任一點的矩順時針轉(zhuǎn)為正，反之為負。ebfef設(shè)斜截面的面積為

dA

,則eb

的面積為

dAcos,bf的面積為dAsinb對研究對象列法線方向和切線方向的平衡方程并解之得a截面的應(yīng)力公式推導過程A、平面應(yīng)力狀態(tài)下,任一斜截面(截面)上的應(yīng)力

?公式B、主平面位置確定主平面：單元體上沒有切應(yīng)力的面，即t＝0的平面。數(shù)學上正切定義xyxy根據(jù)數(shù)學定義判斷2a0是第幾象限角。求出a0就可以確定主平面。C、求主應(yīng)力將a0代入任意截面正應(yīng)力公式得：}7－37－4主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3最大切應(yīng)力二、平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析－解析法xy根據(jù)數(shù)學定義判斷2a0是第幾象限角。求出a0就可以確定主平面位置。}主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3：從x軸到外法線

n

逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。xyxy習題

圖示單元體,已知x

=-40MPa,y

=60MPa,xy=-50MPa.試求e-f截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30°ef解:（1）求

e-f

截面上的應(yīng)力（2）求主應(yīng)力和主單元體的方位因為x

<y,所以0=-22.5°與min對應(yīng)xyxy22.5°13習題從受力構(gòu)件內(nèi)某點處截取的單元體如圖所示。其各側(cè)面上的應(yīng)力如圖，試求1、a＝－60O的斜截面上的應(yīng)力；2、主平面位置和主應(yīng)力值，并畫出主單元體；3、最大切應(yīng)力。10xy15110aa二、圖解法─應(yīng)力圓1.理論依據(jù)：將上兩式平方后相加得：當斜截面隨方位角變化時,其上的應(yīng)力，在-直角坐標系內(nèi)的軌跡是一個圓。圓心位于橫坐標軸(軸)上，離原點的距離為半徑為此圓習慣上稱為應(yīng)力圓

,或稱為莫爾圓o(b)（2）應(yīng)力圓作法D1量取OB1=x,B1D1=x

,得D1點B1xx在

-坐標系內(nèi),

選定比例尺o圖9-4(b)B1xxD1量取OB2=y,B2D2=y,

得D2點D2yB2yo圖9-4(b)B1xxD1yyB2D2連接D1D2兩點的直線與軸相交于C

點,以C為圓心,CD1或CD2為半徑作圓

Co(b)B1xxyyB2D2C該圓的圓心C點到坐標原點的距離為

半徑為該圓就是相應(yīng)于該單元體應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓D1點的坐標為(x,x)因而D1點代表單元體x平面上的應(yīng)力。D1D2點的坐標為(y,y)因而D2點代表單元體y平面上的應(yīng)力。xD2oB1xxyyB2Cef（3）利用應(yīng)力圓求單元體上任一截面上的應(yīng)力從應(yīng)力圓的半徑CD1按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2,得到半徑CE,圓周上E點的?坐標就依次為

?。（證明略）2ED1說明點面之間的對應(yīng)關(guān)系：單元體某一面上的應(yīng)力，必對應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點的坐標。夾角關(guān)系：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。oc2ABo圖9-4(b)B1xxD1yyB2D2Cef2E應(yīng)力圓畫法及求任意截面的應(yīng)力o（4）利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置xD1yyB2D2C主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和A2兩點為與主平面對應(yīng)的點，其橫坐標為主應(yīng)力1,2（7-3）（7-4）oxD1yyB2D2C主平面方位2由CD1順時針轉(zhuǎn)2a0到CA1所以從x軸順時針轉(zhuǎn)a0（負值）即到smax對應(yīng)得主平面得外法線a0確定后smax對應(yīng)得主平面方位即確定例7-3圖示單元體,試用應(yīng)力圓求主應(yīng)力并確定主平面位置.解:（1）求主應(yīng)力和主單元體的方位-解析法804060單位：MPa（2）求主應(yīng)力和主單元體的方位-圖解法tsOD(80,-60)D’(-40,60)40MPaC22.5°13例7-4

簡支梁如圖所示.已知m-m

截面上A點的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa,=50MPa.確定A點的主應(yīng)力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點處截取的單元體放大如圖因為x

<y

，所以0=27.5°與min對應(yīng)xAA01313習題：單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖。用解析法和圖解法求：主應(yīng)力，并在單元體中畫出主應(yīng)力方向。5020(1)解析法=57-7502005020(2)圖解法D1D2CA1A220(3)畫主應(yīng)力方向D’習題求1）圖示單元體α=300斜截面上的應(yīng)力

2）主應(yīng)力、主平面（單位：MPa）。60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例畫此單元體對應(yīng)的應(yīng)力圓403020單位：MPaasata40203014.9os"s's"s'

習題圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。求：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力；

2)主應(yīng)力及其方位；

3)極值切應(yīng)力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020單位：MPaxasata40.3-40.3

習題

用應(yīng)力圓法重解上題。

α38MPa28MPa48MPa114MPa習題：已知平面應(yīng)力狀態(tài)下某點處的兩個截面上的應(yīng)力如圖所示。試利用應(yīng)力圓求該點處的主應(yīng)力值和主平面方位，并求出此兩截面間的夾角a值。解：由已知按比例作圖中A，B兩點，作AB的垂直平分線交

軸于點C，以C為圓心，CA或CB為半徑作圓，得（或由

得

。

應(yīng)力圓半徑量得主應(yīng)力為量得主平面位置為s2A(38,28)B(114,48)CHOxsts1兩截面夾角為習題二向應(yīng)力狀態(tài)如圖所示(應(yīng)力單位為MPa),試求主應(yīng)力并作應(yīng)力圓。80805050tt300(a)D1(80,0)D2(40,0)st解：習題一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

求（1）主應(yīng)力；（2）繪出主應(yīng)力單元體。120ootsCa120oD解：（1）作應(yīng)力圓b目錄（2）根據(jù)應(yīng)力圓的幾何關(guān)系確定主應(yīng)力120ootsa120ob半徑因此主應(yīng)力為：目錄（3）繪出主應(yīng)力單元體。120ootsa120obCDs1s2s2s1目錄★分析：1、本題亦可用解析法求解。2、在某些情況下，單元體可以不取立方體，如平面應(yīng)力狀態(tài)問題，零應(yīng)力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零應(yīng)力面垂直的任意兩個面上的應(yīng)力，就可以求出其它任意斜截面上的應(yīng)力以及主應(yīng)力。例如：CD目錄3、一點處的應(yīng)力狀態(tài)有不同的表示方法，而用主應(yīng)力表示最為重要。otsa目錄習題為一直徑為d＝40mm的實心軸承受力P=50kN和力偶的聯(lián)合作用。(1)指出危險點位置，計算其應(yīng)力值，并畫出危險點的單元休；(2)試求該單元體的主應(yīng)力大小、主平面方位，并畫出主單元體；(3)試求該單元體的最大切應(yīng)力。PPmmK解：1、根據(jù)軸向壓縮和扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分布規(guī)律，可知危險點在橫截面邊緣上各點，取k點畫單元體。tss1s22、用公式或應(yīng)力圓，求主平面和主應(yīng)力。畫主單元體求最大切應(yīng)力s3習題求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應(yīng)力坐標系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓0s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖

102AB解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO主應(yīng)力軌跡線下圖表示一受任意橫向力作用的矩形截面梁,在橫截面

m–m上,分別圍繞1、2、3、4,、5五點各取出一單元體。假設(shè)該橫截面上的剪力和彎矩都是正值。12345mm12345mm1223x3x445利用公式或應(yīng)力圓求出主平面位置和主應(yīng)力所以在梁的xy

平面內(nèi)可以繪制兩組正交的曲線。一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應(yīng)力1的方向，而另一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應(yīng)力3的方向,這樣的曲線稱為梁的主應(yīng)力跡線。梁內(nèi)任一點處的兩個主應(yīng)力必然一個為拉應(yīng)力,一個為壓應(yīng)力,兩者的方向互相垂直。主應(yīng)力跡線的概念主應(yīng)力跡線1122

(2)從1-1上任一點

a

開始,求出該點處主應(yīng)力1的方向,將這一方向線延長至2-2截面線,相交于b點,再求出b點處主應(yīng)力1的方向,延長至c點。

(1)按一定的比例畫出梁在xy平面的平面圖,畫出代表一些橫截面位置的等間距直線1-1,2-2等等abc主應(yīng)力跡線的繪制1122

(4)按同樣的方法可繪得主應(yīng)力3跡線

(3)依此類推,就可以畫出一條折線,作一條與此折線相切的曲線,這一曲線就是主應(yīng)力1的跡線abcFxF/2F/2圖中繪出的是受均布線荷載作用的簡支梁的兩組主應(yīng)力跡線實線表示主應(yīng)力1

的跡線,虛線表示主應(yīng)力3

的跡線,所有的跡線與梁軸線(代表梁的中性層位置)間的夾角都是45°,在梁的橫截面上=0的各點處,跡線的切線則與梁的軸線平行或正交45縱向鋼筋彎起鋼筋qσ1σ3q簡支梁的主應(yīng)力軌跡線及其配筋圖懸臂梁的主應(yīng)力軌跡線及其配筋圖P彎起鋼筋45(b)(a)P應(yīng)力狀態(tài)2平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析－解析法xy根據(jù)數(shù)學定義判斷2a0是第幾象限角。求出a0就可以確定主平面位置。}主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3：從x軸到外法線

n

逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。.平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析－圖解法（應(yīng)力圓法）xy下面利用應(yīng)力圓法介紹空間應(yīng)力狀態(tài)xyzo上面右側(cè)面前面

空間應(yīng)力狀態(tài)一般情況§7-3

三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓在受力物體內(nèi)的任一點處一定可以找到一個單元體，其三對互相垂直的平面均為主平面，其主應(yīng)力為s1、s2、s3。為主單元體。三個主應(yīng)力均不等于零的應(yīng)力狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)；在空間應(yīng)力狀態(tài)，一般應(yīng)用應(yīng)力圓法；即在同一坐標系下分別作三視圖的應(yīng)力圓。見下頁圖。s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2任意截面的應(yīng)力均可用三個應(yīng)力圓上的點，或其陰影部分表示由圖中可以看出，最大切應(yīng)力為：例7-6

單元體的應(yīng)力如圖所示,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位.解:

該單元體有一個已知主應(yīng)力因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z

無關(guān),依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓.

求另外兩個主應(yīng)力xyz50MPa30MPa70MPa40MPa由x,xy

定出D

點由y,yx

定出D′

點以DD′為直徑作應(yīng)力圓

A1,A2

兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應(yīng)力

1和

3

A1A2D′ODC13

1=74.97MPa

3=5.3MPa該單元體的三個主應(yīng)力

1=74.97MPa

2=50MPa

3=5.3MPa根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個應(yīng)力圓習題

單元體的應(yīng)力如圖a所示,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位。因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z無關(guān),依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓.解:

該單元體有一個已知主應(yīng)力oA1A246MPa-26MPa量得另外兩個主應(yīng)力為c該單元體的三個主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小順序排列為ocA1A2B根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個應(yīng)力圓。從應(yīng)力圓上量得主單元體見下頁max主單元體習題

已知某結(jié)構(gòu)物中一點處為平面應(yīng)力狀態(tài),x=-180MPa,y=-90MPa,x=y=0,試求此點處的最大切應(yīng)力。解:根據(jù)給定的應(yīng)力可知,主應(yīng)力1=z=0,2=y=-90MPa,3=x=-180MPa,將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式(9-9)可

習題

試確定左圖所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并確定主平面和最大切應(yīng)力作用面位置。x300150y140z90解：①給定應(yīng)力狀態(tài)中有一個主應(yīng)力是已知的，即sz=90MPa。因此，可將該應(yīng)力狀態(tài)沿z方向投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)，可直接求主應(yīng)力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根據(jù)s1、s2、s3的排列順序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa④主應(yīng)力方位：⑤單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力：第一象限角xzysy=140txy=150sx=300正視圖s2y'31o31os1x's3主單元體可畫出三個應(yīng)力圓(略)習題求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）解：1)x面為主平面之一2)建立應(yīng)力坐標系如圖，畫y—z平面的應(yīng)力圓及三向應(yīng)力圓得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax解析法——1)由單元體知：x面為主平面之一,2)求y—z面內(nèi)的最大、最小正應(yīng)力。3)主應(yīng)力4)最大切應(yīng)力xyz305040CBA（MPa

）20030050otmax平面應(yīng)力狀態(tài)作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例§7-4

廣義胡克定律一、廣義虎克定律1.有關(guān)概念：

①主應(yīng)變：沿主應(yīng)力方向的應(yīng)變，分別用e1≥e2≥e3表示；

②正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，切應(yīng)力只引起剪應(yīng)變；2.廣義虎克定律：①推導方法：疊加原理②主應(yīng)變與主應(yīng)力關(guān)系：③一般情況：s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的應(yīng)變：s2方向上的應(yīng)變：s3方向上的應(yīng)變：IIIs3上式中：

體應(yīng)變q：單位體積的改變可以寫成以下形式其中例7-7

在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，n=0.30。FpFF/Apppp

④柱內(nèi)各點的三個主應(yīng)力為：求得：

③由廣義虎克定律：

②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，當它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間將產(chǎn)生徑向均勻壓力p。柱體內(nèi)任一點均為二向均壓應(yīng)力狀態(tài)，柱內(nèi)任一點的徑向與周向應(yīng)力均為-p，考慮到柱與凹座之間的間隙，可得應(yīng)變e2的值為：解：①在柱體橫截面上的壓應(yīng)力為：解；一一對應(yīng)。由于構(gòu)件自由表面，所以主應(yīng)力2=0。該點為平面應(yīng)力狀態(tài)。習題已知一受力構(gòu)件自由表面上的兩個主應(yīng)變數(shù)值為。構(gòu)件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求該點處的主應(yīng)力值，并求該點處另一主應(yīng)變2

的數(shù)值和方向。該點處另一主應(yīng)變2的數(shù)值為習題

邊長a=0.1m的銅立方塊,無間隙地放入體積較大,變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖a所示。已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比=0.34,當受到P=300kN的均布壓力作用時,求該銅塊的主應(yīng)力.體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為Zyxzxy（b)aaaP（a)銅塊應(yīng)力如圖b所示變形條件為解得銅塊的主應(yīng)力為體積應(yīng)變最大剪應(yīng)力分別為圖示一鋼質(zhì)桿直徑d=20mm，已知:A點在與水平線成600方向上的正應(yīng)變60°=4.1×10-4，=0.28,E=210GPa.求：荷載P的值習題A一受扭轉(zhuǎn)的圓軸,直徑d=2cm,=0.3,材料E=200GPa,

現(xiàn)用變形儀測得圓軸表面與軸線450方向上的應(yīng)變45°=5.2×10-4.求：軸上的扭矩T習題注意:x為負值TTA求：（1）A點處的主應(yīng)變1，

2，3設(shè)3=041.4-21.4求：（2）A點處的線應(yīng)變x，

y，z習題在一塊鋼板上先畫上直徑

d=300mm

的圓，然后在板上加上應(yīng)力，如圖所示。試問所畫的圓將變成何種圖形？并計算其尺寸。已知鋼板的彈性常數(shù)E=206GPa，

v=0.28。解：求出主應(yīng)力和主平面位置求主應(yīng)變