《應(yīng)用微積分》6.3定積分的應(yīng)用

第6

章定積分及其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)定積分的計(jì)算定積分的應(yīng)用6.3定積分的應(yīng)用平面圖形的面積1旋轉(zhuǎn)體的體積

2平行截面已知的立體的體積3平面曲線的弧長(zhǎng)41.直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積如下圖，如果，則曲線與直線及軸所圍成的平面

圖形的面積的為高、微元是

如果在上不是非負(fù)的，那么它的面積的微元應(yīng)是以為

底的矩形面積于是，不論是否為非負(fù)的，即xyo總是6.3.1平面圖形的面積

由上述公式得也可先畫出與直線及軸所圍成求由曲線與直線及軸所圍成的平面圖形的面積。的平面圖形，則由定積分的幾何意義知

例6.29解求由兩條曲線與兩條直線所圍成的平面圖形的面積。如果任取一子區(qū)間其上的面積用以為高，為底的矩形面積近似代替，即面積微元，如下圖所示如果在負(fù)的。則在上的面積上不是非近似值應(yīng)是即面積微元因此不論什么情況，總有

由上述公式知

求平面圖形的面積。所圍成的例6.30解根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以求拋物線與直線圖形的面積。

所圍成的作出它的草圖,如下圖所示,并求拋物線與直線的交點(diǎn)，即解方程組的交點(diǎn)。如果選擇y作積分變量，,任取一個(gè)子區(qū)間，則在上的面積微元

于是例6.31解如果選擇求由曲線及x軸所圍成的平面圖形的面積。作出它的草圖,如下圖所示如選擇

x

為積分變量，，則

作積分變量，則取后一個(gè)表達(dá)式計(jì)算比較簡(jiǎn)單。例6.32解求平面圖形面積的步驟：ABCDE

畫圖定出圖形所在范圍；

求圍成平面圖形的各條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；確定關(guān)于x積分還是關(guān)于y積分或需分成幾部分，然后定出積分限；

寫出面積的積分表達(dá)式；求出積分值（面積）。

因?yàn)閳D形關(guān)于代入上述積分式軸、求橢圓的面積（下圖所示）其中軸對(duì)稱，所以橢圓面積是它在第一象限部分的面積的四倍。即把由定積分的換元公式得中，例6.33解處的極徑用2.極坐標(biāo)系下平面圖形的面積由曲線及兩條半直線成的圖形稱為曲邊扇形。所圍任取一個(gè)子區(qū)間為半徑，以為圓心的小扇形的面積作為面積微元，如下圖中斜線部分的面積。即利用對(duì)稱性知例6.34解所圍成的曲邊梯形繞軸旋

及具體解法如下：設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由曲線與直線軸轉(zhuǎn)而成.用過點(diǎn)且垂直于軸的平面截該旋轉(zhuǎn)體所得的截面是半

徑為的圓，則截面面積為

于是旋轉(zhuǎn)體的體積為6.3.2旋轉(zhuǎn)體的體積類似地可以求得，由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

求由橢圓分別繞軸和而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

軸旋轉(zhuǎn)

繞軸時(shí)，由上述公式并利用對(duì)稱性，得

繞軸時(shí)，由上述公式并利用對(duì)稱性，得

當(dāng)時(shí)，則得球的體積為例6.35解的高為的正拋物線弓形繞其底邊底長(zhǎng)為旋轉(zhuǎn)，求由此得到的旋轉(zhuǎn)體體積。

以拋物線弓形的底邊為軸,且以底邊上的中垂線軸。則拋物線

為弓形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為,

底邊的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為設(shè)在該坐標(biāo)系下拋物線的方程為因此拋物線過點(diǎn)A、B、C，由此解得：。即拋物線方程為

AOBy

x2ah

例6.36解于是拋物線弓形繞其底邊旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體體積為求和直線

所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

先求出兩曲線的交點(diǎn)：解方程組得交點(diǎn)減去由曲邊三角形OPA繞x軸該旋轉(zhuǎn)體的體積是等于由直角三角形OPA繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐體的體積旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，即例6.37解所以代入公式得是軸）的截面所截設(shè)一物體，它被垂直于直線（設(shè)為的連續(xù)函數(shù)，的面積與

之間，則此物體的體積為事實(shí)上，由元素法，從而且此物體的位置在6.3.3平形截面已知的立體的體積取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積例6.38解設(shè)函數(shù)在上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù),在中任取子區(qū)間,其上一段弧

MN的長(zhǎng)度為由下圖知，它可以用曲線在點(diǎn)處的切線上相應(yīng)該子區(qū)間的小段MT的長(zhǎng)度近似。

由微分的幾何意義,可知弧長(zhǎng)的微元所以為6.3.4平面曲線的弧長(zhǎng)若曲線是由參數(shù)方程則弧長(zhǎng)的微元為則若曲線由極坐標(biāo)方程弧長(zhǎng)微元為則表示，表示，求懸鏈線從到的一段弧的長(zhǎng)度。

因?yàn)榇牍降美?.39解求擺線第一拱的弧長(zhǎng)

因?yàn)榇牍降美?.40解求阿基米德螺線上從變到的一段弧的長(zhǎng)度。

因?yàn)榇牍降?/p>

例6.41解內(nèi)容小結(jié)旋轉(zhuǎn)體的體積2平面圖形的面積