2020年北京市豐臺(tái)一模

《新計(jì)圖豐區(qū)2019—2020學(xué)年第學(xué)綜練（）高數(shù)

2020.04第部

（選擇題共分）一選題10小題每題4分，分．每題出的個(gè)項(xiàng)，出合目求一．．若集合AxZ2}

，x2

，則A（A）{0}

（）{0

（C）{0

（）{．已向量ax2)，滿足‖，則x（A）1

（）

1

（C）

（）．若復(fù)滿

z

，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限

（）第二象限（）第三象限（）第四象限．圓(的心到直線xy的離為（A）21．已知3，

12

（）2，則，clog

（C）1

（）

（A）

（）

（C）b

（）．“a”“

”立的（A）充分而不必要件（C）充分必要條件

（B必要而不充分條件（D既不充分也不必要條件．三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個(gè)中，面積等于的（A）個(gè)

（B

主視圖

左視圖2（C

（D個(gè)2俯視圖

過(guò)拋物線C：

(

的焦點(diǎn)

F

作傾斜角為°的直線與拋物線

C

交于兩個(gè)不同的點(diǎn)

A，豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

1頁(yè)共頁(yè)

．．‖‖‖．．‖‖‖《新計(jì)圖（點(diǎn)

A

在

軸上方

的值為（A）

13

（）

（C）

（）

將函數(shù)fx)的象向左平移

π

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)()的象且g(0)下列說(shuō)法錯(cuò)誤是（A）g()為函（Bg(π（C）當(dāng)時(shí)()在[,]上個(gè)零點(diǎn)（）若()在[

π,]上調(diào)遞減，則的大值為910.已函(x)

x,x

若存在非零實(shí)數(shù)，使得f()f(x)成，則實(shí)數(shù)k的值范圍是0（A）

(

（）

(

（C）(

（）

[

)第部

（非選擇題共110分二填題小，小分，共25分．11.設(shè)列

n項(xiàng)為，a，則n5

．12.若x，則函數(shù)f)x

1

的最小值為，時(shí)x

．13.已知平面

和三條不同的直線m，n，l

.給出下列六個(gè)論斷：①；‖；‖l

；④n

；⑤

；⑥l

.以其中兩個(gè)論斷作為條件，使得m

成立.這兩個(gè)論斷可以是上你認(rèn)為正的一組序號(hào)）．如對(duì)某對(duì)象連續(xù)實(shí)施兩次變換后的結(jié)果就是變換的對(duì)象，那么我們稱這種變換為“回歸”變?nèi)纾簩?duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，變換：取其相反數(shù).因?yàn)橄喾磾?shù)的相反數(shù)是它本身，所以變換“取實(shí)數(shù)的相反數(shù)”是一種“回歸”變換.有列3種換：①對(duì)AR

，變換：求集合A

的補(bǔ)集；②對(duì)意，變換：求z的軛復(fù)數(shù)；③對(duì)意變換：

（k

均為非零實(shí)數(shù)）.豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

2頁(yè)共頁(yè)

其中是“回歸”變換的是

《創(chuàng)新設(shè)》圖書注本給出的結(jié)論中有個(gè)合題目要.全部選對(duì)得5分不選或有錯(cuò)選得0分其他得.15．已知雙曲線Mx

2

y漸近線是邊長(zhǎng)為1菱形的

OA

所在直線．若橢圓x2y：2b

經(jīng)過(guò)

,

兩點(diǎn)，且點(diǎn)是圓N的個(gè)焦點(diǎn)，則.三解題小，分解應(yīng)出字明演步或明程16.（小共14分）在△中角A

，

，

所對(duì)的邊分別為

，

，

已知

，

π3

.（Ⅰ）當(dāng)

時(shí)，求a

；（Ⅱ）求cos的值范圍17.（小共14分）如圖，在四棱錐M中AB‖CD

，

C

，MBMC

，

12

，平面BCM

平面ABCD

.（Ⅰ）求證：CD‖平ABM；平面；（Ⅱ）求證：（Ⅲ）在棱AM上是否存在一點(diǎn)E，得二面角BC若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．AM

的大小為

π4

？18.（小共14分）在抗擊新冠肺炎疫情期間，很多人積極參與了疫情防控的志愿者活動(dòng).各社區(qū)志愿者服務(wù)類型有現(xiàn)場(chǎng)值班值守，社區(qū)消毒，遠(yuǎn)程教育宣傳，心理咨詢（每個(gè)志愿者僅參與一類服務(wù)參A，B，C個(gè)社區(qū)的志愿者服務(wù)情況如下表：社區(qū)

社區(qū)服務(wù)總?cè)藬?shù)

現(xiàn)場(chǎng)值班值守

服務(wù)類型社區(qū)消毒遠(yuǎn)程教育宣傳

心理咨詢AB

豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

3頁(yè)共頁(yè)

*k0*k0《創(chuàng)新設(shè)》圖書C5040（Ⅰ）從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中任取人求此人來(lái)自于A社區(qū)，并且參與社區(qū)消毒工作的概率；（Ⅱ）從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中各任取1人查況以表負(fù)責(zé)現(xiàn)場(chǎng)值班值守的人數(shù)的分布列；（Ⅲ）已知A社心理咨詢滿意率為0.85B社心理咨詢滿意率為，C社區(qū)心理咨詢滿意率為0.9，“,

,

別表示AB社的人們對(duì)心理咨詢滿意CA

,B

”C分別表示A，BC社的人們對(duì)心理咨詢不滿意，寫出方差D

)，(

)，(

C

)

的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)論）19.（小共15分）已知函數(shù)f(x)x)lnx.（Ⅰ）若曲線yf(x)在f處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)的；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)求證：f()；（Ⅲ）若函數(shù)f(在間存極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20.（小共14分）2x已知橢圓：a2b

22

a

2的離心率為，點(diǎn)P(10)在圓C上，直線y與圓C交2不同的兩點(diǎn)AB（Ⅰ）求橢圓C的程；（Ⅱ線PAPB分交軸M點(diǎn)x軸是否存在點(diǎn)Q得OQNOQM若存在，求出點(diǎn)的標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理.

？21.（小共14分）b

已知有窮數(shù)列A：a,a,a(n,,，其中

N且n定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列

B

：

a，(2規(guī)定aaa.1k豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

4頁(yè)共頁(yè)

22222222《新計(jì)圖（Ⅰ）寫出下列數(shù)列的“伴生數(shù)列①1，，3，，5；②1，1，，，（Ⅱ）已知數(shù)列的“伴生數(shù)列”

：c

,

,，滿足b

k,)（i）數(shù)列中存在相鄰兩項(xiàng)為1求證：數(shù)列中的每一項(xiàng)均為；（ⅱ）求數(shù)列C所有項(xiàng)的.豐區(qū)2019~2020年第學(xué)綜練（）高三數(shù)學(xué)

參答及分考．一選題10小題每題4分，分．題號(hào)答案

C

D

B

B

C

A

C

D

D

A二填題小，小分，共25分．11．123；13①④（或③⑥）14.①

15.

+1三解題小，分解應(yīng)出字明演步或明程16.（小共14分）解）由余弦定理a

，a得所以

3

………6分（Ⅱ）由

π3

可知，

3

，即

3

B3Csin(

23

3

3sin3C22豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

5頁(yè)共頁(yè)

《創(chuàng)新設(shè)》圖書13CC2C).因?yàn)?/p>

3

，所以

(0,

23

).故C

π3

π,)3

π3因此sin(C)().32于是cosC(

32

32

………分17.（小共14分）證明）為

AB‖

，面ABM，CD

平面

，所以

‖

平面

…………3分（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)N，接CN.在直角梯形ABCD，易知ANCD2，CNAB在

Rt

△

CNB中，由勾股定得

BC

在△ACB中，由勾股定理逆定理可知ACBC.又因?yàn)槠矫鍮CM面，且平面

平面

BC

，所以

AC

平面

………7分（Ⅲ）取

BC

的中點(diǎn)

O

，連接

OM

，

所以

ON‖AC

，因?yàn)锳C面BCM，所以

平面

因?yàn)?/p>

BMMC

，所以O(shè)MBC如圖建立空間直角坐標(biāo)系O

，豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一模考試題

6頁(yè)共頁(yè)

,,《創(chuàng)新設(shè)》圖書則

M0

，

B0)

，

(0

，

A(2

，AM=(BC，易知平面的個(gè)法向量為0

假設(shè)在棱AM上在一點(diǎn)，使得二角AE(0不妨設(shè)，BEBA(2所以，

EBC

的大小為

π4

設(shè)n(,)為面一個(gè)法向量，,則即(2,令

，z

，所以

2

從而cosm

22

解得

23

或

因?yàn)?，所?/p>

23

由題知二面角

EBC

為銳二面角.所以在棱AM

上存在一點(diǎn)

，使得二面角

EBC

的大小為

π4

，此時(shí)

AM

23

…………14分18本題共分）解（Ⅰ）記“從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中任取人，此人來(lái)自于A社，并且參與社區(qū)消毒工作”為事件D，(D)

.12015037所以從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中任取1人此來(lái)自于A社并且參與社區(qū)消毒工作的概率為

………4分（Ⅱ）從上表三個(gè)社區(qū)的志愿者中各任取1，由表可知A，BC三個(gè)社區(qū)負(fù)責(zé)現(xiàn)場(chǎng)值班值守豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

7頁(yè)共頁(yè)

《創(chuàng)新設(shè)》圖書31的概率分別為，.103X的有可能取值為，，，72142224,(,1039045103103902)

311711,1010903131.10330X的布列為：X13P

49

130（Ⅲ）()D)D()ACB

…………11分………分19.（小共15分）解Ⅰ）因?yàn)閒x))ln，所以f'(xlnx

a

.由題知f'(e)lne

ae

，解得0.（Ⅱ）當(dāng)a時(shí)，f(ln，所以'(x.當(dāng)(0時(shí)f'(x)，f(x)在間上單調(diào)遞減；當(dāng)(1時(shí)f'()0，f(x)在間(1上單調(diào)遞增；所以f0是f()在間上最小.所以f)0

………4分………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，f'(x)ln

a

ln+

.若a，當(dāng)x時(shí)'()0，f()在間(1上調(diào)增，此時(shí)無(wú)極值.若a，g(x)f'(x)，豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

8頁(yè)共頁(yè)

2222《創(chuàng)新設(shè)》圖書則'(x)=

.因?yàn)楫?dāng)(1時(shí)'(0，所以(x

在上調(diào)遞.因?yàn)?1)

，而(e)e(e0，所以存在x

)使得g(0.f'(和(x)的況如下因此，當(dāng)時(shí)f(x有小值fx).0綜上，的值范圍是(.

…………分（小共14分）解Ⅰ）由題意

2c2,222

2

解得

2

2b

2

.所以橢圓

C

的方程為

y2

x.

…………分（Ⅱ)假設(shè)在點(diǎn)Q使得,因?yàn)镺QN2

2

.設(shè)(

，所以O(shè)MQ.則tanOQN.即

ON

OM

，所以

OQOM

.因?yàn)橹本€y交圓

C

于

A，B

兩點(diǎn)，則

A，B兩關(guān)于軸稱豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

9頁(yè)共頁(yè)

MM《創(chuàng)新設(shè)》圖書設(shè)(x(y)(x000因?yàn)镻，則直線PA

的方程為：

(0

.令x，0

.直線

PB

的方程為：

0(x0

.令x，0

.因?yàn)?/p>

OQONOM

，所以

y0x

.又因?yàn)辄c(diǎn)A(y)0所以22)00

在橢圓C.

上，所以

2(112

)

.即m.所以存在點(diǎn)Q(0)

使得OQM

2

成立.

………14分本小共14分）解:（Ⅰ）①，11，，1②10，，0

………4分（Ⅱ）題意，存在bkk

.若，b時(shí).212于是bb.1所以，所以b即b.32豐臺(tái)區(qū)高三數(shù)學(xué)一?？荚囶}

第頁(yè)/共頁(yè)

《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》圖書依次類推可得bk

(3.所以.k若，bk

得

k

k