12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定.講義學(xué)生版

''''''相三形性及定2）中考要板相似三角形

A級(jí)要求了解相似三角形

考要B級(jí)要求掌握相似三角形的概念，判定及性質(zhì)，以及掌握相關(guān)的模型

C要求會(huì)運(yùn)用相似三角形相關(guān)的知識(shí)解決有關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)一、相似的有關(guān)概念．相似形具有相同形狀的圖形叫做相似形．相似形僅是形狀相同，大小不一定相同．相似圖形之間的互變換稱為相似變換．．相似圖形的特性兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．．相似比兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．二、相似三角形的概念．相似三角形的定對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形．如圖，△ABC與△A

相似，記作△A

，符號(hào)∽讀“似于．CB

C．相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1全等三角形一是相似形，相形不一定“全等形．三、相似三角形的性質(zhì)．相似三角形的對(duì)角相等如圖，△ABC與△A

相似，則有

．12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page1of16

''''''''''''''''''''''''CB

C．相似三角形的對(duì)邊成比例如圖，△ABC與△A

相似，則有

BCAC（為似比BAABCB．相似三角形的對(duì)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．

C如圖，△△

相似，是△ABC中BC邊的中線，

是△

中

邊上的中線，則有

BCAMBA

（為相似比MB

M

'

C圖1如圖，△與

相似，是△中BC上的高線，

是△

中

邊上的高線，則有

BCAHAAA

（k為似比CB

C圖2如圖3eq\o\ac(△,)ABC與△

相似，是△中的平分線，A

是A

中

的角平分線，則有

BCABAA

（k為相似比12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page2of16

''''''''''''''''''''''CB

C圖3．相似三角形周長比等于相似比．如圖，△

相似，則有

BCAC（k為似比用比例的等比質(zhì)有ABBCBCACAB

．CB

C圖4．相似三角形面積比等于相似比的平方．如圖，△△是ABC中邊上的高線，高線，則有

BCAHAAA

（k為似比而可得eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

BCAHB

．CB

C圖5四、相似三角形的判定．平行于三角形一的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形原三角形相似．．如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)單成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形似．．如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形似．．如果一個(gè)三角形的三條邊與另一三角形的你對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)單地成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角相似．．如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例那么這兩個(gè)直角三角形相似．12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page3of16

．直角三角形被斜上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似（常用但要證明）．如果一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等三角形的頂角相等或一對(duì)底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形似；如果它們的腰和底對(duì)應(yīng)成比，那么這兩個(gè)等腰三角形也相似．五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式證明比例式或等積式的主要方法“三點(diǎn)定形”．橫向定型法欲證

ABBE

橫觀察比例式中的分子的條線段是ABBC三字母恰△ABC的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是和BF，三個(gè)字母F恰△BEF的三個(gè)頂點(diǎn)．因此只需證△∽△EBF．．縱向定型法欲證

ABDEBCEF

，縱向觀察，比例式左邊的比AB和BC中的三個(gè)字母AB恰△的點(diǎn)；右邊的比兩條線段是DE和EF中的三個(gè)字母DF恰△的個(gè)頂點(diǎn)．因此只需證△∽△．中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線，比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形．這種方法就是等量代換法．在證明例式時(shí)，常用到中間比．比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到公共邊有關(guān)的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透理解．倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行形，將等式的一邊化為，另一邊化為幾個(gè)比值和形式，然后對(duì)比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之復(fù)合式的證明比較復(fù)雜．通常需進(jìn)行等線代換（對(duì)線段進(jìn)行等量代換比代換，等積代換，復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等式，然后進(jìn)行證明．六、相似證明中常見輔助線的作法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似三角形，同時(shí)再結(jié)合量代換得到要證明的結(jié)論．常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等．如圖：AD平D，求證：

AB．DC1DC證法一：過C∥AD，BA的長線于E∴．∵，．．BABA∵ADCE，．DCBEAC點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用A型的基本模型．12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page4of16

12D證法二；過作AC的平行線，交AD的長線于．∴，AB．∵BE，∴

BEAB．DCAC點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用X型的基本模型．七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化來解決問題．常用的面積法基本模型如下：ABCHD如圖：

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

BC．

圖：“山字型

HOD

如圖：

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

AHAO．DGOD

圖2：“田”型

DSABAD如圖：eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)．AEAC

C圖3“”型12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版

Page5of16

八、相似證明中的基本模型

DE

D

D

F

E

I

FCBC

G

BDHB

E

O

O

F

DCDFDCD

D

EH

DO

CBCD

DCCDCD

DCADA

A

A

AD

D

D

GDEBF

B

G

EEECFBFGC

F

G

H

DF

D

F

G

D

F

M

D

F

NEECBBH例題精一、與角平分線有關(guān)的相似問題

C12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page6of16

【例】如，AD是的角平分線，求證：

ABACDC【例】已ABC中BAC的角平分線交對(duì)邊BC的長線于，證：

ABBDCDCD【鞏固】已知ABC中BAC外角平分線交對(duì)邊的長于，證：AD

BDABCD12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page7of16

【例】已：分別為的、外角平分線，M為的點(diǎn)，求證：

BMACCMABDME【鞏固】已知：分別為ABC的、外角平分線，求證：

112.BCDE【例】已四邊形，、F分為一組對(duì)邊BC、的點(diǎn)，若求證：AB、DC與EF成角

BEAFABECFDDC

F

D12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page8of16

二、與公共邊有關(guān)的相似問題【例】如ABC中ACBCAB

BDAC

CDAD

D【例】如，在矩形中，對(duì)角線AC、BD相于G，E為的點(diǎn)，連接BE交AC于，連接FD，90下列四對(duì)三角形：①△與△ACD；②△FED與DEB；△CFD與；ADF與其中相似的為（）A

EDFBCA①④

B．②

C．③④

D．②【鞏固】如圖，矩形ABCD中BEAC于F，是CD中點(diǎn)，下列式子成立的是（）DEF

AABF

AF

B．BF

AF

C．BF

AF

D．

AF

12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page9of16

【例】如，中AD于D，BEAC于E，DF于F，交于G，F(xiàn)DAC的延長線交于點(diǎn)H，證：DF

FG.AF

G

EB

D

CH【鞏固】如圖，中D在AC上AD，M是中點(diǎn)，MEAC于點(diǎn)是ME的中點(diǎn)，連接DP。證：BEDPC

C

【例】如，在直角梯形ABCD中∥CD，角線ACBD，垂足為，AD，過的直線EF∥ABADF．⑴，⑵

D

CF

EA12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page10of16

【鞏固】如圖，中ACBCDAB于DE為BC的點(diǎn)，AC的長線交于F．求證：

FA．FDF3AD

21

EB【例】如，在中，AD平BAC，的直平分線交于E交BC的長線于，求證：FD

FB．AEBDCF【鞏固】如上圖，在中FD求證：AD平BAC

FB，AD的直平分線交于交延長線于F，DCF12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page11of16

【例1】已知，如圖，為邊三角形，DAE120DAE兩邊交直線于D兩，求證：BC

．ADB

C2

13DC【鞏固】已知，如圖，為腰三角形，，不添加輔助線的條件下：⑴當(dāng)與滿什么關(guān)系時(shí)，(_____)⑵證你的結(jié)論．

括號(hào)里填圖中已有線．ADBCE三、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的相似問題【例1】如角形ABCD中BCD90CDE梯形內(nèi)一點(diǎn)90將繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與重，到DCF，連EF交CD于．已知BCCF，DM:MC的為（）A5:3

B．3:5

C．4:3D4A

DE

M12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

FB講義·學(xué)生版Page12of16

【例1】如，四邊形ABCD和均正方形，求::CE

ADG

G

B

B

E

E【鞏固圖等邊△ABC中，為上的動(dòng)點(diǎn)CD為一邊上作等邊△連，求證：BC．（2如圖2將1）中的等邊△為以為邊的等腰三角形，所作EDC改相似于△ABC請(qǐng)問：是否有AE？明你的結(jié)論．

A

ED

D

B

C12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page13of16

【例1】把塊全等的直角三角板和DEF放在一起，是三角板的角頂點(diǎn)與角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重，其中DEF45，三角板固定不動(dòng)三板DEF繞O轉(zhuǎn)射線DE與線AB交于點(diǎn)線DF與段相交于點(diǎn)Q（1）如圖1，射線DF過點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重時(shí)，易證△APD∽CDQ此時(shí)，．（2）將三角板DEF由1的示的位置繞點(diǎn)O沿時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角，中0值是否改變？說明你的理由．（3在（）的條件下，設(shè)，塊三角板重疊的部分面積為，求于的數(shù)關(guān)系式．A

AE

AP

D)

E

D(O)PBQC

BM

Q

D()CB(Q

C

EF

F

P

F圖

圖

圖3四、與相似有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【例1】如，中

3，，P從出，沿方以2/的度移動(dòng)，5點(diǎn)Q從出CA向也以1s的度移動(dòng)Q分從C出發(fā)過少時(shí)間CPQ與CBA相？ABC12.2.2相似三角形的性質(zhì)及判定（）

講義·學(xué)生版Page14of16

【鞏固如，在矩形中ABBC，點(diǎn)沿AB邊點(diǎn)A開向點(diǎn)以

秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)沿DA邊1/秒速度從點(diǎn)D開始移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，用（）表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6)．⑴當(dāng)為何值時(shí)，QAP為腰直角角