(易錯(cuò)題)高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章《定積分》測(cè)試

一、選題1．

x

dx

（）A．

B．

3

C．

8

．

42．定積分A．

B

=C．

．3．若正四棱錐（底面為正方形，且頂在底面的射影為正方形的中心）的側(cè)棱長(zhǎng)為3，側(cè)面與底面所成的角是45該正四棱錐的體積是（）A．

23

B．

C．

223

．

4234．如圖，矩形

ABCD

的四個(gè)頂點(diǎn)

A(0,BC(Dfsinx

和余弦曲線

g

x

在矩形

ABCD

內(nèi)交于點(diǎn)F，矩形

ABCD

區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A．

B．

C．

．5．曲線

y

在點(diǎn)（，）的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）A．

．C．．6．已知

1

1)(x)dx0

，

,R

，則

的取值范圍為（）0A．

,

B．

,

1,C．

,

[1,)

．

7．由曲線xy，直線yy

所圍成的平面圖形的面積為（）

yt12yt12A．

2

B．

4ln3

C．

4

．

3298．

1）A．

B．

4

C．

．

9．計(jì)算

的結(jié)果為（）A．

B．C．

23

．

5310．知

e

1x

，數(shù)f(

的導(dǎo)數(shù)

f

，若

f(x)在x

處取得極大值，則a的取值范圍是（）A．

a

B．

C．a(chǎn)或

．

或11．維空間中圓的一維測(cè)（周長(zhǎng)）

l

r

，二維測(cè)度（面積）S

r

2

，觀察發(fā)現(xiàn)S

：三維空間中球的二維測(cè)度（表面積）r，維測(cè)度（體積）V

r

，觀察發(fā)現(xiàn)

V

.則由四維空間中超球的維測(cè)度V

r

3

，猜想其四維測(cè)度）A．24r2

B．

r

C．

r

．2r412．知t＞，A．二、填題

（﹣），則t=（）B．2C．2或4．13．曲線

y

與直線

x0,xy0

所圍成圖形的面積等________．14．個(gè)函數(shù)與

y

，它們的圖象及y軸成的封閉圖形的面積______15．積分

21

2

__________.16．直線x，x，0，

圍成的區(qū)域內(nèi)撒一粒豆子，則落入，

，

y

圍成的區(qū)域內(nèi)的概率__________．．已知函數(shù)

f

tx32

在區(qū)間

上既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)的值范圍是_________．18．dx．

212119．線y

與直線

x2,

所圍成的區(qū)域的面積_．20．線y

2

與直線

y2

所圍成的封閉圖形的面積______________.三、解題21．知函數(shù)fx)x

3

mx

2

（

）（）

f(x)

在

x

處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）f

，過點(diǎn)P有只有兩條直線與曲線

yf(x)

相切，求實(shí)數(shù)的.22．知函數(shù)f2aR.2(1)求數(shù)

f

的單調(diào)區(qū)間；(2)若于的等式

f

恒成立，求整數(shù)的最小值23．圖計(jì)算由直線y6x曲線y以及x軸所圍圖形的面積．24．知曲線C

yx

3

x

2

x

1，點(diǎn)(,0)，過的線l與圍成的圖形的2面積.25．由拋物線

y2xy0)

與直線

xy0及所成圖形的面.26．圖，陰影部分區(qū)域是函數(shù)

圖象，直線

y

圍成，求這陰影部分區(qū)域面積?！緟⒖即鸢浮?**試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要除

yxyyxy一選題1．解析：【分析】令y12，

x22

的軌跡表示半圓，則該積分表示該半圓與軸

x

12

，軸圍成的曲邊梯形的面積，求出面積即.【詳解】解：令y

，則

2

2

的軌跡表示半圓，

120

2

dx

表示以原點(diǎn)為圓心，為徑的圓的上半圓與軸，

x

12

，軸圍成的曲邊梯形的面積，如圖：故

dx

OAB

扇形BOC

33.212故選：【點(diǎn)睛】本題考查定積分的幾何意義，屬基礎(chǔ).2．B解析：【解析】由意得3．B解析：【解析】

，故選設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，依據(jù)題設(shè)可得棱錐的高

h

a2

，底面中心到頂點(diǎn)的距離

22

a，勾股定理可得

2a2a22

2

2

，解之得

，所以正四棱錐的體積2223

，故應(yīng)選答案．

224．B解析：【解析】試題分析：陰影部分的面積

0

xxsinx)

24

4由幾何概型可知：向矩形ABCD區(qū)內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是

形BCD

，故選B考點(diǎn)：幾何概型．5．A解析：【解析】試題分析：

y

x

x

y

，直線方程為yx

，與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為

12考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程6．C解析：【分析】本題可以先根據(jù)定積分的運(yùn)算法則建立a與的量關(guān)系，然后設(shè)

，則ab

t2

，再然后根據(jù)構(gòu)造法得出、

為程x

2

t12

xt

0

的根，最后根據(jù)判別式即可得出結(jié)果．【詳解】10

(31)(xb

10

2bax

323aba2222

，即

32a

10

，設(shè)

，則

ab

tt1，a、為程2

xt

0

的根，有

312

t

0，得

t

19

或

t

，所以

b

,

[1,

)

，故選．【點(diǎn)睛】

11(1,0)11(1,0)本題考查定積分的運(yùn)算法則以及構(gòu)造法，能否根據(jù)被積函數(shù)的解析式得出原函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，考查韋達(dá)定理的使用，是中檔題．7．C解析：【詳解】由，解得，解得yx

13

，

yyx

解得，圍成的平面圖形x的面積為S

，則

2

11

3x3

，

S3

，故選C.8．B解析：【分析】令12

3,(，表示以為心，以1為半徑的圓的上半圓，再利用定積分的幾何意義求解即.【詳解】令12

,y，所以

2y2

，

(0)

，它表示以為心，以1為徑的圓的上半圓，如圖所示，

1

x0,y

和半圓圍成的曲邊梯形的面積，即個(gè)的面積由題得

個(gè)圓的面積為

.由定積分的幾何意義得

1

.故選：

【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水.9．C解析：【分析】求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后分別代入積分上限和積分下限后作差得答.【詳解】

dxx

12x)12333

，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)定積分的運(yùn)算求解問題，屬于簡(jiǎn)單題.10．解析：【分析】利用積分求解出；據(jù)a的符號(hào)和與

之間的大小關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到

f

的單調(diào)性，符合在

f

左增右減時(shí)的a的值范圍是滿足題意的，從而得到所求范圍【詳解】1edxxe1則f

，即

m當(dāng)

或時(shí)，

f

不存在極值，不合題意當(dāng)a時(shí)x

或

時(shí)，

f

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增則

f

處取得極大值，滿足題意當(dāng)

0

時(shí)

或

x

時(shí)，

f

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減則

f

在

處取得極小值，不滿足題意當(dāng)時(shí)

或

時(shí)，

f

單調(diào)遞增x

單調(diào)遞減

則

f

處取得極大值，滿足題意綜上所述：a或a【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和極值求解參數(shù)的取值范圍問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)二次函數(shù)根的分布情況確定二次函數(shù)的圖象，從而得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定原函數(shù)的單調(diào).11．解析：【解析】因?yàn)閃，所以4，選答案．點(diǎn)睛：觀察和類比題設(shè)中的函數(shù)關(guān)系，本題也可以這樣解答：W

14

，應(yīng)選答案．12．解析：【解析】（2﹣）﹣，t若

x

)

t0

=t﹣，又t＞，得t=4．選D.二、填題13．【分析】根據(jù)定積分的幾何意義得到S＝(ex＋x)dx由牛頓萊布尼茨公式可得到答案【詳解】根據(jù)定積分的幾何意義得到面積＝(ex＋＝故答案為【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了定積分的幾何意義以及常見函數(shù)解析e【分析】

12根據(jù)定積分的幾何意義得到積＝

10

(e

＋)d由頓萊布尼茨公式可得到答.【詳解】根據(jù)定積分的幾何意義得到，面積S＝

10

(ex＋)d＝

x

.故答案為

12【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了定積分的幾何意義，以及常見函數(shù)的積分值的求.14．【解析】【分析】首先聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)然后結(jié)合題意和定積分的幾何意義計(jì)算定積分的數(shù)值即可求得封閉圖形的面積【詳解】聯(lián)立直線

yy與曲線的方程：解得對(duì)于令則結(jié)合定積分與幾何圖形面積的關(guān)系可得陰影部解析：

163【解析】【分析】首先聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合題意和定積分的幾何意義計(jì)算定積分的數(shù)值即可求得封閉圖形的面積【詳解】1聯(lián)立直線與曲線的方程：解得，對(duì)于

y

，令，

y

，結(jié)合定積分與幾何圖形面積的關(guān)系可得陰影部分的面積為：

y

y3

3

，故答案為

163

.【點(diǎn)睛】1．由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形積的計(jì)算及應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算及應(yīng)用，但定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，且當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要討論解決．(1)畫圖形，確定圖形范圍；(2)解程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上下限；(3)確被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、位置；(4)計(jì)定積分，求出平面圖形的面積；2．由函數(shù)求其定積分，能用公式的利公式計(jì)算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．有些由函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定積分．15．【解析】分析：先化簡(jiǎn)再求定積分得解詳解：由題=所以故填點(diǎn)睛：本題必須要先化簡(jiǎn)再求定積分因?yàn)椴换?jiǎn)無法找到原函數(shù)

2211282211283解析：ln22【解析】分析：先化簡(jiǎn)

1

1

2

，再求定積分得.詳解：由題得

1

1

2

=

1

111(dxx2)2(ln2)22

)

.所以

1

1

2

.故填

32

.點(diǎn)睛：本題必須要先化簡(jiǎn)再求定積分，因?yàn)椴换?jiǎn)，無法找到原函.16．【解析】由題意直線所圍成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)長(zhǎng)為高為的矩形所以其的面積為又由解得所以由所圍成的區(qū)域的面積為所以概率為解析：

1e【解析】由題意，直線

x0,y0,

所圍成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)長(zhǎng)為1

，高為的形，所以其的面積為

S

，又由，得，yxy所以由xyx

所圍成的區(qū)域的面積為

(

x

dx

(

x

)dx

x

)1

，0所以概率為

SS

.17．【解析】由題意可得在有兩個(gè)不等根即在有兩個(gè)不等根所以解得填解析：

9【解析】f

tx

2

x

，由題意可得

f

在

在

有兩個(gè)不等根，所以

32t

9，解得0，818．【解析】由定積分的幾何意義由微積分基本定理：有定積分的運(yùn)算法則可得：

111111解析：

2

【解析】由定積分的幾何意義，

1

2

122

，由微積分基本定理：

x

，有定積分的運(yùn)算法則可得：

1dx

2

.19．【解析】試題分析：故應(yīng)填考點(diǎn)：定積分的計(jì)算公式及運(yùn)用解析：【解析】試題分析：

,故應(yīng)填

.考點(diǎn)：定積分的計(jì)算公式及運(yùn)用．20．【解析】由解得或曲線及直線的交點(diǎn)為和因此曲線及直線所圍成的封閉圖形的面積是故答案為點(diǎn)睛：本題考查了曲線圍成的圖形的面積著重考查了定積分的幾何意義和定積分計(jì)算公式等知識(shí)屬于基礎(chǔ)題；用定積分求平面圖形解析：

【解析】2由，得或，曲yx

2

及直線

y2

的交點(diǎn)為

O

和A

因此，曲線y

2

及直線

y2

所圍成的封閉圖形的面積是

1x3

43

，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查了曲線圍成的圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和定積分計(jì)算公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題；用定積分求平面圖形的面積的步驟：1）據(jù)已知條件，作出平面圖形的草圖；根據(jù)圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)選取計(jì)算公式；2）方程組求出每?jī)蓷l曲線的交點(diǎn)，以確定積分的上、下限；）具體計(jì)算積分，求出圖形的面積．三、解題21．1）

；（）

?！窘馕觥吭囶}分析：1）據(jù)題設(shè)條件極值點(diǎn)即為到函數(shù)的零點(diǎn)建立方程，再借助有極值點(diǎn)建立不

2mx，得xx12mx，得xx13mm32等式；2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)

Py00

，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，進(jìn)而求出曲線的切線方程，再將其轉(zhuǎn)化為

關(guān)x的程x

mx2

兩不的根

，最后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)問題求解。解：（）

f

2

2mx由f

4m2

12n0.

m，到m

f

2

f

由題

1

3

解得由②得

（）

由f所以

f因?yàn)檫^點(diǎn)

相切的直線有且僅有兩條，令切點(diǎn)是

P00

，則切線方程為

0

0

0

由切線過點(diǎn)f0

0

0

00整理得

x

所以，關(guān)于的方程3mx2有兩個(gè)不同實(shí)根.0

3

mx

2

h所以

m，且

或

m3由題，h或3m又因?yàn)樗?mm以2解

,即所求

aaa22．當(dāng)時(shí)

f

的單調(diào)遞增區(qū)間為

，無減區(qū)間，當(dāng)

a0

時(shí)，

f

的單調(diào)遞增區(qū)間為

，單調(diào)遞減區(qū)間為

1a

,

【解析】試題分析：(1)首對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后對(duì)參數(shù)分類討論可當(dāng)a時(shí)

f

的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)

a

時(shí)，

f

1的單調(diào)遞增區(qū)間為調(diào)遞減區(qū)為aa(2)將問題轉(zhuǎn)化為

2x

在

試題

x2x

的性質(zhì)可得整數(shù)的最小值是2.(1)

f'

axx

2

，函數(shù)

f

的定義域?yàn)?/p>

當(dāng)a時(shí)，

f'當(dāng)a時(shí)，

f'

，則

或舍)，當(dāng)0x

時(shí)，

f'

x

x

為增函數(shù)，當(dāng)x

1a

時(shí)，

f'

為減函數(shù)，當(dāng)

a

時(shí)，

f

的單調(diào)遞增區(qū)間為

當(dāng)a時(shí)，

f

1的單調(diào)遞增區(qū)間為

，單調(diào)遞減區(qū)間為,(2)解一：由

lnx

12

，x，原題等價(jià)于

a

2x

在

令

xx

，

2020則

g

，令

則由

h

12

，存唯一x0

,1x，2lnx0

.當(dāng)00

時(shí)，

'

，

為增函數(shù)，當(dāng)

x時(shí)，g'0x時(shí)，g0max1a，x0

202x0

10xx0

，又

x,1

，則

1x0

，由

Z

，所以

.故整數(shù)的最小值為2.解法二：

lnx

12

得，ax

2

，令

，g'

2x

，①a

時(shí)，

g'

，g

x

，

g

，該情況不成立.②

時(shí)，g'

2ax2x

x當(dāng)

x0,

1a

時(shí)，

'

單調(diào)遞減；當(dāng)

x,

時(shí)，

g'

，

g

單調(diào)遞增，gx

min

，g

恒成立

11aa

，

aaaa即

2ln

11aa

.令

h

1，顯然ha

為單調(diào)遞減函數(shù)由aZ，

，∴當(dāng)a時(shí)，恒有

h

成立，故整數(shù)的最小值為2.綜合可得，整數(shù)的最小值為2.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極最值)最效的工具，而函數(shù)是中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對(duì)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最(極值，決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．

403【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，找到所圍成區(qū)域，分割為兩個(gè)區(qū)域，分別用定積分求其面積即.【詳解】作出直線＝－，曲線＝

的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．解方程組與曲線y＝

得直線y＝－x交點(diǎn)的坐標(biāo)(，直線y＝－與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為6,0)．若選為分變量，所求圖形的面積

1212S＝＋＝

68xdx＋2

＝

283

162

＝＋＝＋＝

.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，定積分求函數(shù)所圍成區(qū)域的面積，定積分的計(jì)算，屬于中檔題24．

2732

.【解析】試題分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線在點(diǎn)處切線，然后畫出草圖，結(jié)合圖形得到被積函數(shù)和積分區(qū)間，