(北師大版)廣州市必修一第三單元《指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)》測試題(答案解析)

256．函數(shù)xff256．函數(shù)xff一、選題1．已知函數(shù)

f

，則滿足函數(shù)

f

的定義域和值域都是實數(shù)集R

的實數(shù)m構(gòu)的合為）A．

m

B．

C．

．

2．已知函數(shù)

f()log

，在[

，]上值域為，4]，

f

的取值范圍是（）A．[1,2]B．

C．

．3．已知

xx

是

上的減函數(shù)，那么a的值范圍是（）A．4．集合

x

1B．C．,R的子集的數(shù)為（）

．

,1A．

B．

C．

．5．已知：

log

，

log

，c

，則，，c的小關(guān)系是（）A．1

2

B．bC．的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

．

c3A．

(

B．

－

C．

．

，＋7．已知函數(shù)

(x)

，則

（）A．

12

B．

C．D．

128．設(shè)函數(shù)

f

，

，且

f

，則c與的小關(guān)系是（）A．

B．

C．2

．

9．已知

logyz23

，則

x

35、、的小排序為yA．

35z

B．

z

C．

23xy

．

2yx10．?dāng)?shù)學(xué)史上，一般認為數(shù)的發(fā)明者是蘇格蘭數(shù)學(xué)—納爾，1550-1617年）．在納皮爾所處的年代，哥白尼“太陽中心”剛開始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)

xx時的熱門學(xué)科．可是由于當(dāng)時常量數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜“天文數(shù)字，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間．納皮爾也是當(dāng)時的位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數(shù)字的計算技術(shù)，終于獨立發(fā)明了對數(shù)．在那個時代，計算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復(fù)雜的運算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計算特殊多位數(shù)之間乘積的方法．讓我們來看看下面這個例子：1234568…1415…27

28

29248163264128256…32768…

134217728

268435356

536870912這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的數(shù)，第二行表示2的應(yīng)冪．如果我們要計算第二行中兩個數(shù)的乘積，可以通過第一行對應(yīng)數(shù)字的和來實現(xiàn)．比，算64×256的，就可先查第一行的對應(yīng)數(shù)64對應(yīng)，對應(yīng)8，后再把第一行中的對應(yīng)數(shù)字加和起來：＋＝；第一行中的14，對應(yīng)第二行中的16384，以有：＝按這樣的方法計算：16384×32768=（）A．B．268435356C．536870912．51376580211．知偶函數(shù)

f()

1在[0,單遞增，f(()4

13

)

，

f(log

3

)

，c(log13

，則，，c大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)

B．

C．c

．

12．知函數(shù)

f()

與

y

互為反函數(shù)，函數(shù)

y(x

的圖象與

f()

的圖象關(guān)于x軸對稱，若

(a，則實數(shù)a的為A．

B．

1e

C．

e

．

1e二、填題13．知

f(x)

是定義在[0,函數(shù)，滿足

f(x)，[0,1)，f()

x

，則

f(log30)3

________.14．知函數(shù)

f(xlog(ax2)2

的值域為R，則實數(shù)的值范圍是________15．函數(shù)

ya

x

a

恒過點

(mn)

，則函數(shù)在

上的最小值_____.16．知

1000，則

11xy

＝．有以下結(jié)論：①將數(shù)

的圖象向右平移1個單位得到y(tǒng)

的圖象；②函

f

與

g

的圖象關(guān)于直線yx對

③對函數(shù)

f

(

且

a

)，一定有

f

12

f12④函

fx2

的圖象恒在軸方其中正確結(jié)論的序號_18．函數(shù)

,xx)1x

，則滿足

f)

的的值范圍是______________.19．函數(shù)

f

ax

，且f

a

,

a

上的值域為

，則實數(shù)的值范圍為______.20．于下列命題：①若數(shù)

x

的定義域是

x

，則它的值域是

y②若數(shù)y

1x

的定義域是

|x，它的值域是y③若數(shù)

x

2

的值域是

0y定域可能是

④若數(shù)

ylog2

的值域是

定域是

x其中不正確的命題的序號（：把你認為不正的命題的序號都填上）三、解題21．知函數(shù)

f

.（）函數(shù)

f

的定義域；（）論函數(shù)

f

的奇偶性；（）明：函

f

在定義域上單調(diào)遞減22．知函數(shù)

f

．（）函數(shù)

f

的定義域；（）斷函數(shù)

f

的奇偶性，并說明理由．23．簡下列各式：（）

3

；（）

2lg2111224．1）函數(shù)

log

的定義域；

（）函數(shù)y

x

，

x（）函數(shù)

x

的單調(diào)遞增區(qū)間25．知函數(shù)

f()log

的圖象關(guān)于原點對稱，其中a.（）

x

時，

f(xlog(1

恒成立，求實數(shù)的值范圍（）關(guān)于的方程26．簡計算：

2fx)log(12

在k的值范圍（）

60.257

2

2

；（）

lg520lg2lg25

.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要除一選題1．解析：【分析】若定義域為實數(shù)集R則2對于恒立，可得m，若值域為實數(shù)集，t2

x

，

t

此時需滿足t

x

的域包括

，可得m

，再求交集即可【詳解】若

f

定義域為實數(shù)集R，則

x

對

R

恒成立，即m

x

對于

恒成立，因為x，以，以m，令xm，ylogt若fR，則

m的值域包括

，因為，所以所以故選：【點睛】

m

，

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是要找到定義域為的價條件即2x對x恒立，分離參數(shù)求范圍，值域為的價條件即t

x

可取遍所有大于0的，由

t

，所以

，再求交集2．D解析：【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得【詳解】

m的性質(zhì)即可得.由題意，函數(shù)

f()log在上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，且

f

f

，

f

，結(jié)合該函數(shù)在

,m

上的值域為可

m所以

,8

，

f

log0,32

.故選：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是由對數(shù)函數(shù)的圖象變換及單調(diào)性確定解3．C解析：【分析】

m由5a1【詳解】

解得結(jié)果即可得解.因為

xxx

是

上的減函數(shù)，所以5aalog1

，解得

1195

.故選：【點睛】易錯點點睛：容易忽視兩段交界點處函數(shù)值的大小關(guān).4．D解析：

x100xxx100x2xxRyy即與100x100bx100xxx100x2xxRyy即與100x100b22【分析】分析指數(shù)函數(shù)y與冪函數(shù)的圖像增長趨勢，當(dāng)x，有1個點；當(dāng)x，有2個點；即集合xR素所以真子集個數(shù)為

【詳解】分析指數(shù)函數(shù)y與函數(shù)x100

的圖像增長趨勢，當(dāng)

時，顯然有一個交點；當(dāng)

x

時，當(dāng)

x

時，2；當(dāng)

時，2；

x

時，有一個交點；分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x較小時，

y

比增長的快；當(dāng)x較時，比y增長的，即是爆炸式增長，所以還有一個交.的圖像有三個交點，即集合有個素，所以真子集個數(shù)為2故選：【點睛】結(jié)論點睛：本題考查集合的子集個數(shù)，集合A中有個素，則集合A的集有2真子集有5．A解析：【分析】

個，由換底公式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得

，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得

，即可得解【詳解】ln=0ln2ln

212lnln，233ln13lnlnln2

，4130,log2，922a

，故選：【點睛】方法點睛：本題考查了對數(shù)式、指數(shù)式的大小比較，比較大小的常用方法為同底的對數(shù)式和指數(shù)式利用其單調(diào)性進行比較，也可以借助于中間值0和1進行比較，考查了運算求解

f2flog222f2flog222能力與邏輯推理能力，屬于?？?6．C解析：【分析】由不等式

x0，得函數(shù)的定義域

2

，得到g

x

在區(qū)間

(

上單調(diào)遞增，在區(qū)間[上調(diào)遞減，結(jié)合復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解【詳解】由題意，函數(shù)

ylog(21

有意義，則滿足

x0，即

x

3xx3)(x

，解得

，即函數(shù)的定義域為

，令

數(shù)g

表示開口向下，對稱軸方程為的物線，所以函數(shù)

g

上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1,3)上調(diào)遞減，又由函數(shù)

ylogx13

在定義上是遞減函數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)

(2x13

的遞增區(qū)間為[1,3)故選：【點睛】函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略：定義法：一般步驟：設(shè)元作變判斷符號得出結(jié)論；圖象法：如果函數(shù)

f

是以圖象形式給出或函數(shù)

f

的圖象易作出，結(jié)合圖象可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；導(dǎo)數(shù)法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；復(fù)合函數(shù)法：先將函數(shù)

y())

分解為

yf(t)

和

tx)

，再討論這兩個函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)同異減的則進行判.7．A解析：【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，依次計算

，

3

，即可得選.【詳解】因為函數(shù)

(x)

，所以

f

3log2

，f

32

.

故選：【點睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)求解函數(shù)值，關(guān)鍵在于根據(jù)解析式分段求解，由內(nèi)到外，準確認清自變量的所在的范圍和適用的解析.8．D解析：【分析】運用分段函數(shù)的形式寫出

f

的解析式，作出

f

的圖象，由數(shù)形結(jié)合可得c且，

2c

且

a

，

f

，去掉絕對值，化簡即可得到結(jié)論．【詳解】

x

1x,x

，作出象如圖所示，由圖可知，要使

且

f

成立，則c

且

，故必有且2

a

，又

f

，即為1

，

2a．故選：．【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的范圍，本題借助函數(shù)圖象來輔助研究，由圖象輔助研究函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)圖象的重要作用，以形助數(shù)的解題技巧必須掌握，是中檔題．9．A解析：【解析】，，

為正實數(shù)，且

logylog23

xyk25

k可得：

23z

因為函數(shù)

1

單調(diào)遞增，

2

.

133133133133故選10．解析：【分析】先找到16384與32768在一行中的對應(yīng)數(shù)字，進行相加運算，再找和對應(yīng)第二行中的數(shù)字即可【詳解】由已知可知，要計算16384×32768，先查第一行的對應(yīng)數(shù)字16384對應(yīng)14，對應(yīng)15，后再把第一行中的對數(shù)字加起來＋＝，對應(yīng)第二行中的，所以有16384×32768＝故選C.【點睛】本題考查了指數(shù)運算的另外一種算法，關(guān)鍵是認真審題，理解題意，屬于簡單.11．解析：【分析】偶函數(shù)

fx)

在[0,單調(diào)遞,簡

f(log5)(log5)f(log5)1

，利用中間量3比較大小得.【詳解】偶數(shù)f(x)

在[單遞增f(log(f(log5)13

，

170)542

，17f(()3)(log)5)42

a

.故選：【分析】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及對數(shù)式大小比較，屬于基礎(chǔ).12．解析：【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)

yg(x

的圖象與

f(x

的圖象關(guān)于軸對稱，求得【詳解】

(x)，由g(a

，即可求解由題意，函數(shù)

f()

與y互反函數(shù)，所以

f()

，

33333310313333331031函數(shù)

yg)

的圖象與

f(x

的圖象關(guān)于軸稱，所以

g(x)

，又由

(a

，即

，解得

故選D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，其中熟記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)的對稱性求得函數(shù)

g

的解析式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填題13．【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)得出結(jié)合周期性即可得出的值【詳解】且則則函數(shù)的周期為2故答案為：【點睛】本題主要考查了由抽象函數(shù)的周期求函數(shù)值涉及了對數(shù)的運算屬于中檔題解析【分析】

利用對數(shù)的運算性質(zhì)得出

loglog3

3

，結(jié)合周期性，即可得出

f30)

的值.【詳解】loglog27log91log3

，且(xx，f(則(f(x

，則函數(shù)f()

的周期為210f(log30)logf9故答案為：

log

【點睛】本題主要考查了由抽象函數(shù)的周期求函數(shù)值，涉及了對數(shù)的運算，屬于中檔14．【分析】設(shè)值域為根據(jù)題意對分類討論結(jié)合根的判別式即可求解【詳解】設(shè)值域為函數(shù)的值域為當(dāng)時值域為滿足題意；當(dāng)時須解得綜上實數(shù)的取值范圍是故答案為:【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)解析：0,【分析】

0,xx0,xx2設(shè)

ux)2

值域為，根據(jù)題意

(0,A

，對a分討論，結(jié)合根的判別式，即可求解【詳解】設(shè)

ux)

2

值域為，函數(shù)

f()log()2

的值域為

，當(dāng)a

時，

f()x2

值域為R，滿足題意；當(dāng)

a

時，須，得2

12

，1綜上，實數(shù)a的取范圍是0,.故答案:

1

.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的取值和根的判別式的關(guān)系，屬于中檔題15．【分析】先利用指數(shù)型函數(shù)恒過定點問題求定點得到換元令利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】函數(shù)恒過點則區(qū)間變?yōu)橛珊瘮?shù)令則利用二次函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)時則函數(shù)在上的最小值是故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：把指數(shù)型解析：【分析】先利用指數(shù)型函數(shù)恒過定點問題求定點，得到

mn

，換元，令t，用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求.【詳解】函數(shù)

ya

，則

m

，區(qū)間

x由函數(shù)f，1令,4

，13則t2t，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，

xxx,y100010001000xxx,y100010001000當(dāng)

12

時，

fmin4

，則函數(shù)f在

上的最小值是.故答案為：

.【點睛】關(guān)鍵點睛：把指數(shù)型復(fù)合函數(shù)求最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題是解決本題的關(guān)16．【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系求出利用對數(shù)的換底公式即可求得答案【詳解】∵∴∴∴故答案為：【點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系掌握對數(shù)換底公式:是解本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題解析：

13【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān),求利用對數(shù)的換底公,即求得答案.【詳解】

xy1000，

xlog125

log1000

log1000

，11log12.5，1110.1故答案為：.3【點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān).握對數(shù)換底公:

a

是解本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題17．②③④分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)律直接判斷選項；②根據(jù)指對函數(shù)的對稱性直接判斷；③據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特點判斷選項；④求的范圍再和0比較大小【詳解】①根據(jù)平移規(guī)律可知的圖象向右平移1個單位得到的圖象解析：【分析】①根圖象的平移規(guī)律，直接判斷選項根據(jù)指對函數(shù)的對稱性，直接判斷③根指數(shù)函數(shù)的圖象特點，判斷選項④先x

的圍，再和比較大小.

f2xxf2xx【詳解】①根平移規(guī)律可知y

的圖象向右平移1個單位得到y(tǒng)

x

的圖象，所以不確；根兩個函數(shù)的對稱性可知函數(shù)

f

與

g

的圖象關(guān)于直線y=x對稱，正確；如圖，設(shè)，

x對應(yīng)的是曲線上橫坐標(biāo)為2的C的縱2坐標(biāo)，

f122

是線段AB

的中點D的坐標(biāo)，由圖象可知f2

f12

，同理，當(dāng)

0

時，結(jié)論一樣，③確；④x

7x44根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知

l

，所以函數(shù)

fx22)2的圖象恒在軸方，故正確.故答案為：③【點睛】思路點睛：圖平移規(guī)律是“左＋右”，對于自變量來，本不易判斷的就是③，先理解

ff212

的意義，再結(jié)合圖象判斷正誤18．【分析】根據(jù)分段函數(shù)分段解不等式最后求并集【詳解】當(dāng)時因為解得：∴當(dāng)時解得：所以綜上原不等式的解集為故答案為：【點睛】本題主要考查了解分段函數(shù)不等式涉及指數(shù)與對數(shù)運算屬于基礎(chǔ)題解析：

[0,【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分段解不等式，最后求并.【詳解】當(dāng)

時，

fx)1

，因為

1

，解得：

x

，

0

，當(dāng)

時，

f(x)x2，log解得：x2

，所以

，

22綜上，原不等式的解集為

.故答案為：

.【點睛】本題主要考查了解分段函數(shù)不等式，涉及指數(shù)與對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ).19．【分析】利用換元法可得然后采用等價轉(zhuǎn)換的方法可得在的值域為最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【詳解】由令所以則令由在上的值域為等價為在的值域為的對稱軸為且所以可得或所以故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)5解析：【分析】利用換元法，可得

g2

，然后采用等價轉(zhuǎn)換的方法，可得

g

在

aa

2

的值域為

，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié).【詳解】由

f

ax

令

t2x,xt2

，所以

ft2

2

則令

g

2

由

f

a

,

a

上的值域為

等價為

g

aa

的值域為

g

的對稱軸為，所以

2

a可得

352

或2

3253所以a,15故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，難點在于使用等價轉(zhuǎn)換思想，使問題化繁為簡，屬中檔.20．①②④【分析】根據(jù)各個函數(shù)的定義域求出各個函數(shù)的值域判斷正誤即可【詳解】①函數(shù)的定義域值域;①不正確;②函數(shù)的定義域

x2x2是值域;故②正確;③中函數(shù)的值域是則它的定義域可能是故③是確的;解析：【分析】根據(jù)、、、④各函數(shù)的定義域求各個函數(shù)的值域判正誤即可.【詳解】①中數(shù)

x

的定義域

,值

y

(0,1]

故不正確②中數(shù)y

的定義域是

{x2}值

;故不;③中數(shù)

x

2

的值域是

{yy4}

,則的定義域可能是

確的④中數(shù)

ylog2

的值域是

{y|y3},∵x0x2

故不確故答案①④.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域及其求,數(shù)的值指數(shù)函數(shù)的定義域和值對函數(shù)的值域與最值考計算能屬于基礎(chǔ)題三、解題21．

(

(2)函

f(x)

為奇函數(shù)(3)證明見解析.【分析】(1)由

f

的定義域滿足

可得答.(2)直判斷

f

的關(guān)系可得答案(3)設(shè)12

，先作差判斷出

x1x21x2

，再由對數(shù)函數(shù)

ylog2

在

上單調(diào)遞增有，

2

112112

，即可得出結(jié)論【詳解】解：（）

，得

，解得x函數(shù)

f()

的定義域為

(1,1)（）（）知函數(shù)

fx)

的定義域關(guān)于原點對稱由

f(log

1(x11

，可得函數(shù)

f()

為奇函數(shù)（）12設(shè)

1

211

2222

12x0,1212

x1x2x12利用對數(shù)函數(shù)

ylog在(0,單調(diào)遞增有，2

2

12112即

f2

1

故函數(shù)

fx)

在(上調(diào)遞減【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的定義域、奇偶性的判斷和用定義法證明單調(diào)性，解答本題的關(guān)鍵是先得出

與的小關(guān)系，再由函數(shù)1

ylog2

在

上單調(diào)遞增得到

2

112log112

，即

f

，屬于中檔題.22．1）

；（）

f

為奇函數(shù)，證明見解.【分析】（）用對數(shù)的真數(shù)大于零求解出不等式的解集即為定義域；（）判斷定域是否關(guān)于原點對稱，若定義域關(guān)于原點對稱，分析

f

之間的關(guān)系，由此判斷出【詳解】

f

的奇偶性（）為

，所以

，所以

f

的定義域為

；（）

f

為奇函數(shù)，證明：因為

f

的定義域為

關(guān)于原點對稱，且f

x，所以

f

為奇函數(shù)【點睛】思路點睛：判斷函數(shù)

f

的奇偶性的步驟如下：（）分析

f

的定義域，若

f

定義域不關(guān)于原點對稱，則

f

為非奇非偶函數(shù)，若

f

的定義域關(guān)于原點對稱，則轉(zhuǎn)至2；（）

f

為偶函數(shù)；若

f

為奇函數(shù)

100081021000810223．1）；（）1.【分析】（）據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，準確運算，即可求解；（）據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)，準確運算，即可求.【詳解】（）據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，可得原式

64

15

2

3

15

52

23

3

15

.（）對數(shù)的算性質(zhì)，可得原式

2lg22lg0.62lg24lg2103313lg3

.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)的化簡、求值，其中解答中熟記指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能.24．1）

；（）

；（）

，

3,

.【分析】（）不等式x

可得函數(shù)

log

x

的定義域；（）用二次數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)

y

2

2x

，

x（）函數(shù)

x

x

的解析式表示為分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū).【詳解】