三角函數(shù)圖像及性質

4.3、誘導公式設0°≤α≤90°，那么90°—180°間的角，可以寫成180°-α

或90°+α180°—270°間的角，可以寫成180°+α

或270°-α270°—360°間的角，可以寫成360°-α

或-α或270°+α為使討論具有一般性，這里假定α為任意角。對于90°—360°的角，可用下面的形式來表示：公式一、二、三、四、五都叫做誘導公式：sin(k.360°+α)=sinαcos(k.360°+α)=cosαtan(k.360°+α)=tanα(k∈α)公式一公式三sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanα公式五sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式二公式四sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαsin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanα概括為：k360°+α（k∈Z），180°-α。180°+α，360°-α，-α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號除公式一、二、三、四、五外，還有誘導公式六、七、八、九：sin(90°-α)=cosαcos(90°-α)=sinαtan(90°-α)=cotα公式六公式七sin(270°-α)=-cosαcos(270°-α)=-sinαtan(270°-α)=cotα公式八sin(270°+α)=-cosαcos(270°+α)=sinαtan(270°+α)=-cotα概括為：90°-α，90°+α，270°+α,270°-α的三角函數(shù)值等于α的異名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號sin(90°+α)=cosαcos(90°+α)=-sinαtan(90°+α)=-cotα公式九誘導公式：sin(k.360°+α)=sinαcos(k.360°+α)=cosαtan(k.360°+α)=tanαcot(k.360°+α)=cotα(k∈α)公式一公式三sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanαcot(180°+α)=cotα公式五sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式二公式四sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαcot(180°-α)=-cotα

sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanαcot(360°-α)=-cotα

sin(4k.90°+α)=sinαcos(4k.90°+α)=cosαtan(4k.90°+α)=tanα(k∈α)sin(2×90°+α)=-sinαcos(2×90°+α)=-cosαtan(2×90°+α)=

tanα

sin(0×90°-α)=-sinαcos(0×90°-α)=cosαtan(0×90°-α)=-tanαsin(2×90°-α)=sinαcos(2×90°-α)=-cosαtan(2×90°-α)=-tanαsin(4×90°-α)=-sinαcos(4×90°-α)=cosαtan(4×90°-α)=-tanα誘導公式一、二、三、四、五可記為：

函數(shù)名不變符號看象限誘導公式六、七、八可記為：函數(shù)名稱變符號看象限sin(90°+α)=cosαcos(90°+α)=-sinαtan(90°+α)=-cotα公式七公式八sin(270°-α)=-cosαcos(270°-α)=-sinαtan(270°-α)=cotα公式九sin(270°+α)=-cosαcos(270°+α)=sinαtan(270°+α)=-cotαcot(270°+α)=-tanα

誘導公式總結概括為：奇變偶不變符號看象限sin(1×90°+α)=cosαcos(1×90°+α)=-sinαtan(1×90°+α)=-cotαsin(3×90°-α)=-cosαcos(3×90°

-α)=-sinαtan(3×90°

-α)=cotαsin(3×90°+α)=-cosαcos(3×90°+α)=sinαtan(3×90°+α)=-cotα公式六sin(90°-α)=cosαcos(90°-α)=sinαtan(90°-α)=cotαsin(1×90°-α)=cosαcos(1×90°-α)=sinαtan(1×90°-α)=cotα90°的奇數(shù)倍還是偶數(shù)倍總結：利用誘導公式求任意角的三角函數(shù)值一般步驟任意負角的三角函數(shù)用公式五、任意正角的三角函數(shù)用公式一0°—360°間角的三角函數(shù)用公式二、三、四、及六、七、八、九0°—90°間角的三角函數(shù)查表求值1-123/2/2oyx.....關鍵點：(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0).的圖象注意:五點是指使函數(shù)值為0及達到最大值和最小值的點.§

5、6正弦函數(shù)、余弦函數(shù)y=sinx(xR)

y=cosx(xR)

定義域值域周期性xR.y[-1,1].T=2.正弦、余弦函數(shù)定義域、值域、周期:yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosx正弦、余弦函數(shù)的奇偶性yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πsin(－x)=－sinx

y=sinx是奇函數(shù)cos(－x)=cosx

y=cosx是偶函數(shù)定義域關于原點對稱y=cosx正弦函數(shù)的單調性

？？yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinx(xR)x…0……π…sinx－1010－1增區(qū)間為，

其值從－1增至1.減區(qū)間為，

其值從1增至－

1.余弦函數(shù)的單調性

y=cosx(xR)yxO1-1π2π4π-π-2π3πx-π……0……πcosx－1010－1

？？增區(qū)間為[－π，0]

，其值從－1增至1.減區(qū)間為[0，

－π]，其值從1增至－

1.[－π+2kπ，2kπ]，(k∈z)[2kπ，2kπ+π]，(k∈z)正弦、余弦函數(shù)的對稱軸、對稱中心:yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosx對稱軸對稱中心y=sinxy=cosx函數(shù)軸、中心函數(shù)y=sinxy=cosx圖形定義域值域最值單調性奇偶性周期對稱性1-1時，時，時，時，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)1-1對稱軸：對稱中心：對稱軸：對稱中心：奇函數(shù)偶函數(shù)§7正切函數(shù)的性質和圖象1.正切函數(shù)的性質：定義域：值域：周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是奇偶性：奇函數(shù)單調性：在內是增函數(shù)xyo對稱性：對稱中心是對稱軸呢？例1、試研究、與的圖象關系1-1oxy§8、y=Asin(ωx+φ)的圖像和性質一、函數(shù)y=sin(x+)

圖象

函數(shù)y=sin(x+)（≠0）的圖象可以看作是把y=sinx的圖象上所有的點向左（當＞0時）或向右（當＜0時）平行移動個單位而得到的。函數(shù)、與的圖象間的變化關系。1-1oxy2-3

函數(shù)y=sinx(>0且≠1)的圖象可以看作是把y=sinx的圖象上所有點的橫坐標縮短(當>1時)或伸長(當0<<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到的。二、函數(shù)y=sinx(>0)圖象函數(shù)、與的圖象間的變化關系。y=sinxy=2sinx

y=sinx

1-１2-2oxy3-3

函數(shù)y=Asinx（A＞0且A≠1）的圖象可以看作是把y=sinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（當A＞1時）或縮短（當0＜A＜1時）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到的。y=Asinx，x∈R的值域是［-A，A］，最大值是A，最小值是-A。三、函數(shù)y=Asinx(A>0)圖象用五點法畫y=Asin(ωx+φ)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點.如下表所示.

x

0

A

0

-A

00例1

作函數(shù)y=3sin(2+)的簡圖分析

因為T=，所以用“五點法”先作長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖設那么且當X取0，，，，時，可求得相對應的、y的值，得到“五點”，再描點作圖。然后將簡圖左右擴展。y=3sin(2x+

)

(2)描點，，，，（3）連線：（4）根據周期性將作出的簡圖左右擴展。0000332（1）列表xyo3-3例1

作函數(shù)y=3sin(2+)的簡圖函數(shù)y=sinxy=sin(x+)的圖象（3）橫坐標不變縱坐標伸長到原來的3倍y=3sin(2x+)的圖象y=sin(2x+)的圖象（1）向左平移縱坐標不變（2）橫坐標縮短到原來的倍方法1：1-１2-2oxy3-32y=sin(2x+

)

y=3sin(2x+

)

y=sin(x+

)

y=sinx

（3）橫坐標不變縱坐標伸長到原來的3倍y=3Sin(2x+)的圖象y=Sin(2x+)的圖象（1）橫坐標縮短到原來的倍縱坐標不變（2）向左平移

函數(shù)y=Sinxy=Sin2x的圖象方法2：1-１2-2oxy3-32y=sin(2x+

)

y=sinx

y=sin2x

y=3sin(2x+

)

函數(shù),A稱為振幅稱為周期稱為頻率稱為相位稱為初相中小結：1、作正弦型函數(shù)y=Asin(x+)的圖象的方法：（1）用“五點法”作圖；（2）利用變換關系作圖。2、函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=Asin