pattern recognition c2-3,4,5模式識別課件

1第二章

貝葉斯決策理論

§2.1基于最小錯誤率的貝葉斯判別法§2.2基于貝葉斯公式的幾種判別規(guī)則§2.3正態(tài)分布模式的統(tǒng)計決策§2.4概率密度函數(shù)的估計§2.5貝葉斯分類器的錯誤概率2§2.3正態(tài)分布模式的統(tǒng)計決策

一、正態(tài)分布判別函數(shù)

1、為什么采用正態(tài)分布：

a、正態(tài)分布在物理上是合理的、廣泛的。

b、正態(tài)分布數(shù)學(xué)上簡單，N(μ,σ2)只有均值和方差兩個參數(shù)。

2、單變量正態(tài)分布：

33、（多變量）多維正態(tài)分布（1）函數(shù)形式：456(2)、性質(zhì)：

①、μ與∑對分布起決定作用P(χ)=N(μ,∑),μ由n個分量組成，∑由n(n+1)/2元素組成(對稱獨立元素)?！喽嗑S正態(tài)分布由n+n(n+1)/2個參數(shù)組成。

②、等密度點的軌跡是一個超橢球面。區(qū)域中心由μ決定，區(qū)域形狀由∑決定。③、不相關(guān)性等價于獨立性。若xi與xj互不相關(guān),則xi與xj一定獨立。④、線性變換的正態(tài)性Y=AX，A為線性變換矩陣。若X為正態(tài)分布，則Y也是正態(tài)分布。⑤、線性組合的正態(tài)性。74、判別函數(shù)：類條件概率密度用正態(tài)來表示：5、決策面方程：8二、最小錯誤率(Bayes)分類器：從最小錯誤率這個角度來分析Bayes分類器1.第一種情況：各個特征統(tǒng)計獨立，且同方差情況。(最簡單情況)判別函數(shù)：9

最小距離分類器：未知x與μi相減，找最近的μi把x歸類如果M類先驗概率相等：1011討論：二類情況下i=1,212未知x，把x與各類均值相減，把x歸于最近一類。最小距離分類器。2、第二種情況：Σi＝

Σ相等，即各類協(xié)方差相等。1314討論：針對ω1，ω2二類情況，如圖：153、第三種情況(一般情況)：Σ?為任意，各類協(xié)方差矩陣不等，二次項xT

Σ?x與i有關(guān)。所以判別函數(shù)為二次型函數(shù)。1617第四節(jié)概率密度函數(shù)的估計

意義:

貝葉斯決策分類器大都涉及類概率密度函數(shù)，對于正態(tài)分布模式，其概率密度函數(shù)可通過均值向量和協(xié)方差矩陣的估算而確定。在無法用參數(shù)表征概率密度函數(shù)時，則可以通過某些函數(shù)來近似地表示。

概率密度函數(shù)估計是為貝葉斯決策分類器確定條件.18貝葉斯分類器中只要知道先驗概率，條件概率或后驗概概率P(ωi),P(x/ωi),P(ωi/x)就可以設(shè)計分類器了?，F(xiàn)在來研究如何用已知訓(xùn)練樣本的信息去估計P(ωi),P(x/ωi),P(ωi/x)

參數(shù)估計與非參數(shù)估計參數(shù)估計：先假定研究的問題具有某種數(shù)學(xué)模型，如正態(tài)分布，二項分布，再用已知類別的學(xué)習(xí)樣本估計里面的參數(shù)。非參數(shù)估計：不假定數(shù)學(xué)模型，直接用已知類別的學(xué)習(xí)樣本的先驗知識直接估計數(shù)學(xué)模型。方法:19

監(jiān)督學(xué)習(xí)與非監(jiān)督學(xué)習(xí)監(jiān)督學(xué)習(xí)：在已知類別樣本指導(dǎo)下的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，參數(shù)估計和非參數(shù)估計都屬于監(jiān)督學(xué)習(xí)。非監(jiān)督學(xué)習(xí)：不知道樣本類別，只知道樣本的某些信息去估計，如：聚類分析。20一、均值向量和協(xié)方差矩陣的參數(shù)估計

將參數(shù)作為隨機參數(shù)看待時的估計量算法一般以模式樣本的平均作為均值向量的近似值。設(shè)某類的模式樣本數(shù)為N，其均值向量估計量為協(xié)方差矩陣C寫成向量形式為

21其無偏估計量為

而有偏估計量為22二、概率密度函數(shù)的函數(shù)近似

當(dāng)無法用參數(shù)表征概率密度函數(shù)時，則需要選取某種基函數(shù)作近似估計。以P（X）表示以作為的估計，采取最小二乘估計方法，使估計函數(shù)與的均方誤差函數(shù)R最小。將寫成m項展開式則:23選擇使誤差函數(shù)R最小，即取偏微分式中右邊為的數(shù)學(xué)期望，可用N個樣本的均值來近似故:一般選擇正交函數(shù)集作為基函數(shù)，故有:24∴系數(shù):當(dāng)基函數(shù)正交歸一時，則對所有k，有。由于與k無關(guān)，且可以認(rèn)為對所有，，則:求得所有系數(shù)后，根據(jù)得到概率密度函數(shù)，作為對的估計。25例:如圖所示為兩個類別的模式分布，現(xiàn)通過這些訓(xùn)練樣本估計兩類概率密度函數(shù)，借以得到貝葉斯分類器。

解：類概率密度函數(shù)以m項基函數(shù)的多項式來近似：

由于基函數(shù)必須在模式定義域內(nèi)正交，故選擇埃爾米特函數(shù)，因為其正交域在內(nèi)，該函數(shù)一維形式的前幾項為：26對于類：

27

為類的模式樣本數(shù)目，m=4,K=1時系數(shù)為:用同樣的方法計算類概率密度函數(shù)近似展開式系數(shù)，有:

28所以:

貝葉斯分類器設(shè)計:判別界面為:

29三、后驗概率的函數(shù)估計

利用后驗概率的貝葉斯判別函數(shù):關(guān)鍵是估計后驗概率密度函數(shù):

按照選取基函數(shù)的方法來逼近，則可以建立如下形式的判別函數(shù)：目的:用來近似。30采取線性逼近方法，將式簡化為:定義一個隨機變量使其取值作為的帶噪聲的觀察值，即為噪聲因子，其數(shù)學(xué)期望值為零。有用來近似未知的。把它代入準(zhǔn)則函數(shù)，即可采取梯度法求解權(quán)向量。31取準(zhǔn)則函數(shù)為:32此方法迭代的每一步都必須校正權(quán)向量，每一步的校正值正比于增量因子故稱為增量校正算法。當(dāng)全部訓(xùn)練模式通過迭代都能被正確分類時，就可以認(rèn)為權(quán)向量收斂于正確的解。M個類別有M個權(quán)向量,須分別迭代求解。解算出權(quán)向量之后，就可以將x作為的近似函數(shù)，即有:33例：取下圖中的模式樣本，用增量校正算法來迭代求解近似判別函數(shù)中的權(quán)向量,以確定基于后驗概率的判別函數(shù)。

解：首先寫出訓(xùn)練樣本的增廣向量：令：于是：3435如此迭代下去，當(dāng)K=15時，利用已能對全部樣本正確地進(jìn)行分類，說明權(quán)向量的解為：按理，還須對類判別函數(shù)的權(quán)向量迭代求解，由于是兩類問題，當(dāng)已經(jīng)有了近似函數(shù)式，即的近似函數(shù)式已經(jīng)求得時，即可根據(jù)以下判別規(guī)則對兩類模式進(jìn)行分類36四、均值向量和協(xié)方差矩陣的貝葉斯估計將概率密度函數(shù)的參數(shù)估計量看成是隨機量，根據(jù)這些估計量統(tǒng)計特性的先驗知識，先粗略地給出這些估計量的密度函數(shù)，再通過訓(xùn)練模式樣本集，利用貝葉斯公式通過迭代運算過程求出參數(shù)的后驗概率密度。37設(shè)為N個用于估計未知參數(shù)的密度函數(shù)的樣本，利用貝葉斯定理，可以得到在逐一給定了之后的條件密度函數(shù)的迭代公式:對于，是它的先驗概率密度。加入新的樣本后，得到新的概率密度。

應(yīng)是最早的先驗概率密度。當(dāng)給出第一個樣本，按貝葉斯定理計算，就得到后驗率密度。將作為下一步計算的先驗概率密度，讀入樣本，又得到后驗概率密度，……依此可以算出最后的值。38單變量正態(tài)密度函數(shù)的均值估計法若一模式樣本集的類概率密度函數(shù)為單變量正態(tài)分布，其中已知，均值待求，即:給定N個訓(xùn)練樣本，最初的先驗概率密度為，是根據(jù)先驗知識對的推測，其不確定性由表示。由于均值的估計量是樣本的線性函數(shù)，而樣本是正態(tài)分布，所以應(yīng)為正態(tài)。39由初始條件:根據(jù)貝葉斯法則:40每一次迭代運算從樣本子集中逐一給出一個樣本，N次運算獨立地給出N個樣本，因此:式中與無關(guān)的因子和均并入常數(shù)項。

41

是平方函數(shù)的指數(shù)函數(shù)，仍為正態(tài)密度函數(shù)，可將它寫成，即:

42由訓(xùn)練樣本集，求得均值的后驗概率密度為。

:根據(jù)N個樣本對均值的估計，是先驗信息（）與訓(xùn)練樣本的信息（上式中的）相結(jié)合的結(jié)果，是利用N個訓(xùn)練樣本信息對均值先驗估計的補充。是對這個估計的不確定性的度量。時→0。是和的線性組合，兩者的系數(shù)非負(fù)，其和為1，故值在和之間。只要，當(dāng)時，趨于樣本均值的估計量。圖2-4-3是一正態(tài)密度的均值學(xué)習(xí)過程，每增加一次樣本，都減小對的估計的不確定性，隨著樣本的增加其曲線愈顯“尖銳”，均值與估計量之間的偏差的絕對值亦愈來愈小。43上述方法的目的，是為了通過N個訓(xùn)練樣本來估計模式樣本的類概率密度函數(shù)。由于上述兩個正態(tài)密度函數(shù)之積對的積分結(jié)果也是正態(tài)密度函數(shù)，即:在采用訓(xùn)練樣本之前，均值未知，經(jīng)過采用N個樣本進(jìn)行估計之后，概率密度函數(shù)為，獲得了均值值的估計，同時原來的方差也作了修正；成為

44§2.5

貝葉斯分類器的錯誤概率

一般來說，任何判別規(guī)則都不能得到完全正確的分類，為了評價一種判別規(guī)則，需要計算將屬于某一類的模式錯分到另一類去的概率。

451、一般錯誤率分析：46472、正態(tài)分布最小錯誤率(在正態(tài)分布情況下求最小錯誤率)4849在實際工作中如果使用數(shù)量有限的訓(xùn)練樣本集，既作為設(shè)計分類器的訓(xùn)練樣本，又用它來檢驗分類器的錯誤概率，通常采用兩種方式：一種方式稱為樣本劃分法。將訓(xùn)練樣本分成兩組，用其中一組來設(shè)計分類器，用另一組檢驗分類器，求其錯誤概率。再采用不同的樣本分法，可得不同的錯誤概率，取其平均值作為錯誤概率的估計。另一種方式是留一個出來法。每次留下N個樣本中的一個，用其余N-1個樣本來設(shè)計分類器，用留下的那個樣本進(jìn)行檢驗，這樣重復(fù)進(jìn)行N次。每次留下的應(yīng)是不同的一個樣本。根據(jù)N次檢驗中判別錯誤的樣本數(shù)目，就能得出錯誤概率的估計值。50附：Bayes分類的算法（假定各類樣本服從正態(tài)分布）1.輸入類數(shù)M；特征數(shù)n，待分樣本數(shù)m.2.輸入訓(xùn)練樣本數(shù)N和訓(xùn)練集資料矩陣X(N×n)。并計算有關(guān)參數(shù)。3.計算矩陣y中各類的后驗概率。4.若按最小錯誤率原則分類，則可根據(jù)3的結(jié)果判定y中各類樣本的類別。5.若按最小風(fēng)險原則分類，則輸入各值，并計算y中各樣本屬于各類時的風(fēng)險并判定各樣本類別。51例1、有訓(xùn)練集資料矩陣如下表所示，現(xiàn)已知，N=9、N1=5、N2=4、n=2、M=2，試問，X=(0,0)T應(yīng)屬于哪一類？訓(xùn)練樣本號k123451234特征x1特征x2110-1-1

010-1

01110-1-2-2-2類別ω1

ω

252解1、假定二類協(xié)方差矩陣不等（∑1≠∑2）則均值:535455解2、假定兩類協(xié)方差矩陣相等∑=∑1+∑256訓(xùn)練樣本號k123123123特征x1012-2-1-201-1特征x210-110-1-1-2-2類別ω1ω2ω3解1、假定三類協(xié)