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數(shù)學歸納法(2016.4.21)一、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是:證明當n取第一個值n(如n=1或2等)時結(jié)論正確;00假設(shè)當n€k(k,N*,k>n)時結(jié)論正確,證明n=k?1時結(jié)論也正確.0綜合(1)、(2),……注意:數(shù)學歸納法使用要點:兩步驟,一結(jié)論。二、題型歸納:題型1?證明代數(shù)恒等式例1.用數(shù)學歸納法證明:?—1、—1x33x55x7 ……2n-1)<2n+1)—2n+1證明:①n=1時,左邊€占€3,右邊€二€1,左邊=右邊,等式成立.1x3 3 2+1 3②假設(shè)n=k時,等式成立,即:1 + 1 + 1 + +J_k1X3 3x5 5X7 ……2k-1)(2k+1)€2k+1當n=k+1時.1?1?1?11X3 3^5 5^7 … …2k-1)(2k+1)(2k+1)6k+3)€ k 丄/ 1 、€2k+1 (2k+1)(2k+3)2k2+3k+1、€(2k+1)(k+1)、(2k+1)<2k+3)€(2k+1)(2k+3)€k+1€k+1€2k+3€2(k+1)+1這就說明,當n=k+1時,等式亦成立,由①、②可知,對一切自然數(shù)n等式成立.
題型2.證明不等式111一例2.證明不等式1+色+右+…+而€2"(淀N).證明:①當n=1時,左邊=1,右邊=2.左邊<左邊<右邊,不等式成立.②假設(shè)n=k時,111―不等式成立,即1②假設(shè)n=k時,111―不等式成立,即1+右+右+…+真€“k-那么當n=k+1時,11++忑\/!+12.k^k+l+1
x/i+r€k+(k+J+1,2(k+1?,
v'lrr ■這就是說,當n=k+1時,不等式成立.由①、②可知,原不等式對任意自然數(shù)n都成立.由①、②可知,原不等式對任意自然數(shù)n都成立.說明:這里要注意,當n=k+1時,要證的目標是111.+…+真+羔訂€Uk+1,當代入歸納假設(shè)后,就是要證明:一1 2次+ €2、;k+1.'Jk+1認識了這個目標,于是就可朝這個目標證下去,并進行有關(guān)的變形,達到這個目標.題型3.證明數(shù)列問題例3 (x+1)n=a0+a1(x—1)+a2(x—1)2+a3(x—1)3 a”(x_1)n(n三2,n^N*).當n=5時,求°0+。1+。2+。3+。4+。5的值.a設(shè)b=嚴,T=b2+b3+b4+-+b.試用數(shù)學歸納法證明:當n±2時,T=n2n—3 n2 3 4 n nn(n+1)(n—1)3 -解:⑴當n=5時,
原等式變?yōu)?x+1)5-a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5令x二2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35-243.(2)因為(x+1)n二[2+(x-1)]n,所以a2二C/?2n-2b=-a^二2C2二n(n-1)(n22)n2n-3 n①當n_2時.左邊_T2_b2_2,右邊二2(2+1)(2-1)_2,左邊二右邊,等式成立.②假設(shè)當n_k(k±2,k^N*)時,等式成立,即T_k(k+1)(k-1)成立k那么,當n二k+1時,左邊二t+b_k(k+13(k-1)+(k+1)[(k+1)-1]_k(k+13(k-1)+k(k+1)kk+1二k(k+1)€』+1?€3丿_k(k+
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