中考總復(fù)習(xí)圓綜合復(fù)習(xí)-知識講解(基礎(chǔ))

中考總復(fù)習(xí)圓綜合復(fù)習(xí)知識講解（礎(chǔ)）【綱求1.圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考查的重點(diǎn)，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明定會有降趨勢，不會有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.今后的中考試題中將更側(cè)重于體問題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對應(yīng)用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據(jù)當(dāng)前的政治形勢、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活．【識絡(luò)【點(diǎn)理考一圓有概圓定如圖所示，有兩種定義方式：①在一個平面內(nèi)，線段OA繞固定的一個端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A隨旋轉(zhuǎn)所形成的圖叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心以O(shè)圓心的圓記作O，線段OA叫半徑；②圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合．

??????ACC???要詮：心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．與圓有的念①弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；如上圖所示線段AB，BC，AC都是弦．②直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如AC是⊙O的直，直徑是圓中最長的弦．③?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，如曲線C、BAC都是⊙O中弧，分別記作．

BC

，④半圓：圓中任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如

AC

是半圓．⑤劣?。合?/p>

BC

這樣小于半圓周的圓弧叫做劣?。迌?yōu)弧：像BAC這大于半圓周的圓叫做優(yōu)?。咄膱A：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓．⑧弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．⑨等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．⑩等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．圓角：頂點(diǎn)在心的角叫做圓心角，如上圖中AOB，∠BOC是心角．圓角：頂點(diǎn)在上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中BAC、都是圓周角．考二圓有性圓的對性圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的直線都是它的對稱軸，有無數(shù)條．圓是中心對稱圖形，圓心是對中心，又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，即旋轉(zhuǎn)任意角度和自身重合．垂徑定①垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對的兩條?。谄椒窒也皇侵睆?的直徑垂直弦，并且平分弦所對的兩條?。鐖D所示：要詮：圖(1)直徑CD，(2)CD，(3)AM＝MB，(4)

，(5)．若上述5個條件有2個立，則另外3個成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理知二推三．注意：(1)(3)作件時，應(yīng)限制AB不能為直徑．弧、弦圓角間關(guān)①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；②在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量相

等．圓周角理推①圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角一半．②圓周角定理的推論：半(或徑所對的圓周角是直角90°的圓周角所對的弦是直徑．要詮：周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．考三與有的置系點(diǎn)與圓位關(guān)如圖所示．表點(diǎn)到圓心的距離圓的半徑．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外

d與r的小關(guān)系ddd要詮：(1)圓的確定：①過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點(diǎn)A的有無數(shù)個，圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．如圖所示．

三形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以畫一個圓，并且只能畫一個．經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心．這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．三角的外心就是三角形三條邊的垂直平分線交點(diǎn)．它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，都等于三角形外接圓的徑．如圖所示．直線與的置系①設(shè)r為的半徑，d為心直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表．②圓的切線．切線的定義：和圓有唯一公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線．這個公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端．且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．友情提示：直線l是O的線必須符合兩個條件：①直線l經(jīng)過O的一點(diǎn)A；⊥．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．切線長定義：我們把圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長．切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．③三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．要詮：找三角形內(nèi)心時，只需要畫出兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識比較

圓與圓位關(guān)在同一平面內(nèi)兩圓作相對運(yùn)動，可以得到下面種位關(guān)系，其中R為圓半徑(R≥r)．d為心距．要詮：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)舍．其中相切和相交是重點(diǎn)．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個圓的相對運(yùn)動來理解．④－r”，要特別注意，．考四正邊和正多邊的關(guān)念正多邊形的外接(或內(nèi)切圓的心叫正多邊形的中心．外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距多形各邊所對的外接圓的圓心角都相等個叫正多邊形的中角，正多邊形的每一個中心角都等于要詮：

360．n通過中心角的度數(shù)將圓等分，進(jìn)而畫出內(nèi)接正多邊形，正六邊形邊長等于半徑．

nn2nnnnn扇扇nn2nnnnn扇扇正多邊的質(zhì)任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩圓是同心圓．正多邊形都是軸對稱圖形偶數(shù)條邊的正多邊形也是中心對稱圖形，同邊數(shù)的兩個正多邊形相似，其周長之比等于它們的邊半徑或邊心)之比．正多邊的關(guān)算定理：正n邊的半徑和邊心距正形分成2n全等的直角三角形．正n邊形邊長a、邊心距、長P面積S計(jì)算歸結(jié)為直角三角形的計(jì)算．a(chǎn)n

360°180，Rgsin，rRcos，nnR

2

1，Png，SgrgnPr22

．考五圓的算題弧長公：

l

nR180

，其中l(wèi)為n°圓心角所對弧的長R圓的半徑．扇形面公：

S扇

n360

，其中

11SlR．心角所對的扇形的面積，另外SlR22

．圓錐的面和面：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長．圓錐的全面積是它的側(cè)面積與它的底面積的和．要詮：在計(jì)算圓錐的側(cè)面積時要注意各元素之間的對應(yīng)關(guān)系，千萬不要錯把圓錐底面圓半徑當(dāng)成扇形徑．考六求影積幾常方公法(2)割補(bǔ)法；(3)拼法(4)積變形法；(5)造方程法．【型題類一圓有概及質(zhì)

1．（2015?石景山區(qū)一模）如，B為⊙上的點(diǎn)，⊙O的徑OC于D，∠CEB=30°，OD=1則AB的長為（）A．B．4

C

D．6【思路點(diǎn)撥】連接OB，由垂徑定理可知AB=2BD由圓周角定理可得，∠COB=60°在eq\o\ac(△,Rt)DOB中，OD=1，則BD=1×tan60°=，AB=2．【答案C；【解析】連接OB，∵AB是⊙O的條弦，OC⊥AB，∴AD=BD，即AB=2BD，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1，∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故選C．【總結(jié)升華】弦、弦心距，則應(yīng)接半徑，構(gòu)造基本的直角三角形是垂徑定理應(yīng)用的主要方法．

舉反：【變?nèi)鐖D⊙O的直徑AB是⊙的⊥CD足MAB的長）AB、3cmCD、221cm【答案】解：連接OA，∵CD是的徑AB是⊙O的AB⊥CD，∴AB=2AM，∵CD=5cm，∴OD=OA=

1CD=×5=cm，222∵OM：5，∴OM=

35

OD=×=，∴在Rt△AOM中，=

OA2

OM

=

()

2

)

2

=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故選C．類二與有的置系

2如所示已知AB為⊙O的徑直BC與⊙相切于點(diǎn)B，過A作AD∥OC交⊙點(diǎn)D，連接CD求：是⊙的切線；若AD＝2，直徑，線BC的．【思路點(diǎn)撥】要證明DC是⊙的線，因?yàn)辄c(diǎn)D⊙上，所以連接交點(diǎn)與圓心證垂直即可．【答案與解析】(1)證明：如圖(2)，連接OD．∵AD∥OC，∴＝∠3，＝∠A∴OA＝OD，∴∠3＝∠A，∴∠1∠2．∵OD＝OB，OC．∴eq\o\ac(△,≌)CODeq\o\ac(△,，)∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD是⊙的線．

(2)解：連接BD，∵AB是O的徑，∴∠ADB＝90°．在△和△BOC中，∵∠ADB，∠A＝∠2，∴eq\o\ac(△,，)DAB∽△BOC∴

BDOBBC

，∴

OBBD

．在Rt△DAB中由勾股定理得BD

．∴

322

．【總結(jié)升華】如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)，那么連半徑，證垂直；如果已知直線與圓是否有公共點(diǎn)在條件中沒有給出，那么作垂直，證半徑．舉反：【變】如所示，已知△ABC中AB邊上的高，以為直的O分別CA、CB于點(diǎn)E、F點(diǎn)G是AD的點(diǎn)．求證：GE是⊙切線．【答案與解析】證法1：連接、DE(如圖(1))．∵CD是⊙的徑，∴∠AED＝∠CED＝90°．∵G是AD的點(diǎn)，∴EG＝∴∠1＝∠2．∵OE＝OD，∴∠3＝∠4．∴∠1+∠3＝∠2+∠4

12

AD＝DG．

即∠OEG＝∠ODG＝90°．∴GE是⊙的線．證法2：連接、ED(如圖(2))．在△ADC中∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°．又∵CD是的徑，∴∠AED＝∠CED＝90°．在△AED中∠AED＝90°，G是AD中點(diǎn)∴AG＝GE＝DG，∴∠A＝∠AEG又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠ACD又∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠AEG+∠OEC＝90°．∴∠OEG＝90°，∴OE⊥EG∴GE是⊙的線．類三與有的算3．一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課上，師拿出三個邊長都為的方形硬紙板，他向同們提出了這樣一個問題：若將三個正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)有多大？問題提出后，同學(xué)們經(jīng)討論，大家覺得本題實(shí)際上就是求將三個正方形硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，圓形硬紙板能蓋住時的最直徑．老師將同學(xué)們討論過程中探索出的三種不同擺放類型的圖形畫在黑板上，如下圖所示：（1通過計(jì)算（結(jié)果保留根號π（Ⅰ）圖①能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應(yīng)為；

（Ⅱ）圖②能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為cm；（Ⅲ）圖③能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為cm；（2）其實(shí)上面三種放置方法所的圓形硬紙板的直徑都不是最小的，請你畫出用圓形硬紙板蓋住三個正方形時直徑最小的放置方法畫出示意圖，不要求說明理由求此時圓形硬紙板的直徑．【思路點(diǎn)撥】（1）連接正方形的對角線BD利用勾股定理求出的長即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形對角線的長即可；（Ⅲ）找出過A、B、C三點(diǎn)的圓圓心及半徑，利用勾股定理求解即可；（2）連接OB，ON，延長OH交AB于P，則OP⊥AB，P為AB中點(diǎn)，設(shè)OG=x，則OP=10-x，根勾股定理解答．【答案與解析】解）圖連接，∵，AB=5cm，∴BD=（Ⅱ）如圖所示，

=cm；∵三正方形的邊長均為5，∴A、B三在以O(shè)為圓，OA為徑的圓上，∴OA==5cm，∴能住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10（Ⅲ）如圖所示，連接OA，OB，

cm；

∵CE⊥AB，AC=BC，∴CE是A、B三的圓的徑，∵，∴O為圓，∴的半徑為OA，OA==5cm，∴能住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為（2）如圖④為蓋住三個正方形直徑最小的放置方法，

×2=10cm；連接OB，ON，延長OH交AB于，則OP⊥AB，PAB中，設(shè)OG=x，OP=10-x，則有：

，解得：

，則ON=∴直徑為．【總結(jié)升華】

，此題比較復(fù)雜答此題的關(guān)鍵是找出以各邊頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓的圓心及半徑根據(jù)勾股定理解答舉反：【變】如圖，圖、圖2、圖、…、圖n分是⊙的接正三角形ABC，四邊形ABCD正五邊形ABCDE、、正n邊ABCD…點(diǎn)、N別從點(diǎn)、C始以相同的速度在O上逆時針運(yùn)動．（1求圖1中的數(shù)是；，∠APN的數(shù)是，中∠的數(shù)是．（2試探索的數(shù)與正邊形邊數(shù)關(guān)系（直接寫答案）．【答案】

解：（1）圖1：∵點(diǎn)M、N分別點(diǎn)B開始以相同的速度在O上逆針運(yùn)動，∴∠BAM=∠CBN，又∵∠APN=∠BPM，∴∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：圖2中，∠APN=90°圖3∠APN=108°（2由（）可知，∠APN=所多邊形的內(nèi)角度數(shù)，故在圖，．4如圖所示圓直徑AB＝10為AB上點(diǎn)，D為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影部的面積等________．【思路點(diǎn)撥】觀察圖形，可以適當(dāng)進(jìn)行“割”與“補(bǔ)影面積轉(zhuǎn)化為扇形面.

【答案】【解析】

6

；連接OC、OD、CD∵C、D為圓的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝

180°603又∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝60°，DC∥AB∴

△

△

，∴

S陰影

扇形OCD

60gg2253606

．答案：

6

．【總結(jié)升華】用等面積替換法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的規(guī)則圖形是解本類題的技巧．類四與有的合用5?黃陂區(qū)模擬）如圖，ABC中，以AC直徑的⊙O交BC于D，過C作O的線，交延長線于P，∠∠BAC（1）求證AB=AC（2）若sin∠BAC=

35

，求tanPCB值．

【思路點(diǎn)撥連接，根據(jù)圓周角定理求得，根據(jù)弦切角定理求得∠，進(jìn)而求得∠CAD=，然后根據(jù)ASA證≌，可證得結(jié)論．（2）作BE⊥于E，得出∥，得∠，據(jù)已知件得出根據(jù)AB=AC得出CBE===，就可求得∠．【答案與解析】解）接AD∵AC是O直徑，∴∠ADC=90，∴ADBC，∵是⊙O的線，∴∠PCB=∠CAD∵∠∠，∴∠CAD=∠，在ADC中，∴△ADC≌△ADB（ASA∴AB=AC（2）作BE⊥AC于，∵是⊙O的線，∴AC，∴BE∥PC∴∠PCB=∠CBE∵sin∠BAC==，∴=，∵AB=AC∴CBE==，

=，從而求得

=，

,∴AF=AO+OF=,∴AF=AO+OF=∴PCB=．【總結(jié)升華本考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角函數(shù)等作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．舉反：【高清課堂：圓的綜合復(fù)習(xí)例】【變】已知：如，是eq\o\ac(△,Rt)ABC的外接圓AB為直，∠ABC=30°，CD是⊙O的線ED⊥ABF．(1)判斷△的狀并說明理；(2)設(shè)⊙的半為1，且

OF

，求證△≌OCB【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°又∵OA=OC,∴△AOC是三角形又CD是切，∴，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°而ED⊥AB于F，∴∠BAC=30°．故為等腰三角形．(2)證明：在△ABC中∵AB=2，AC=AO=1∴BC=2

2

2

=3．OF=

32又∵∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=．而∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故CDE≌△COB.

6．如圖，已知⊙O的徑AB＝2直線與相切于點(diǎn)A為O上動點(diǎn)（點(diǎn)、點(diǎn)重合延長線與⊙O相于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的線與直線m相交于點(diǎn)D．（1）求證：eq\o\ac(△,．)APC∽△COD（2）設(shè)AP＝，ODy，試用含x的代式表示．（3）試探索x為何值時，△ACD是一個等邊三角形．【思路點(diǎn)撥】(1)可根據(jù)“有兩個角對應(yīng)相等兩個三角形相似”來說明eq\o