中考總復(fù)習(xí)圓綜合復(fù)習(xí)-知識(shí)講解(基礎(chǔ))

中考總復(fù)習(xí)圓綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解（礎(chǔ)）【綱求1.圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考查的重點(diǎn)，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明定會(huì)有降趨勢(shì)，不會(huì)有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.今后的中考試題中將更側(cè)重于體問(wèn)題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)用、創(chuàng)新、開(kāi)放探究型題目，會(huì)根據(jù)當(dāng)前的政治形勢(shì)、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活．【識(shí)絡(luò)【點(diǎn)理考一圓有概圓定如圖所示，有兩種定義方式：①在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨旋轉(zhuǎn)所形成的圖叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心以O(shè)圓心的圓記作O，線段OA叫半徑；②圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．

??????ACC???要詮：心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。c圓有的念①弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；如上圖所示線段AB，BC，AC都是弦．②直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如AC是⊙O的直，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦．③?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，如曲線C、BAC都是⊙O中弧，分別記作．

BC

，④半圓：圓中任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如

AC

是半圓．⑤劣?。合?/p>

BC

這樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧．⑥優(yōu)?。合馚AC這大于半圓周的圓叫做優(yōu)?。咄膱A：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓．⑧弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．⑨等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓．⑩等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。畧A角：頂點(diǎn)在心的角叫做圓心角，如上圖中AOB，∠BOC是心角．圓角：頂點(diǎn)在上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中BAC、都是圓周角．考二圓有性圓的對(duì)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，有無(wú)數(shù)條．圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是對(duì)中心，又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，即旋轉(zhuǎn)任意角度和自身重合．垂徑定①垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧．②平分弦不是直徑)的直徑垂直弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．如圖所示：要詮：圖(1)直徑CD，(2)CD，(3)AM＝MB，(4)

，(5)．若上述5個(gè)條件有2個(gè)立，則另外3個(gè)成立．因此，垂徑定理也稱(chēng)“五二三定理知二推三．注意：(1)(3)作件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑．弧、弦圓角間關(guān)①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；②在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量相

等．圓周角理推①圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角一半．②圓周角定理的推論：半(或徑所對(duì)的圓周角是直角90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．要詮：周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．考三與有的置系點(diǎn)與圓位關(guān)如圖所示．表點(diǎn)到圓心的距離圓的半徑．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外

d與r的小關(guān)系ddd要詮：(1)圓的確定：①過(guò)一點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．②過(guò)兩點(diǎn)A的有無(wú)數(shù)個(gè)，圖所示．③經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．如圖所示．

三形的外接圓經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)圓，并且只能畫(huà)一個(gè)．經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的接圓．三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心．這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．三角的外心就是三角形三條邊的垂直平分線交點(diǎn)．它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，都等于三角形外接圓的徑．如圖所示．直線與的置系①設(shè)r為的半徑，d為心直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表．②圓的切線．切線的定義：和圓有唯一公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線．這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端．且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．友情提示：直線l是O的線必須符合兩個(gè)條件：①直線l經(jīng)過(guò)O的一點(diǎn)A；⊥．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．切線長(zhǎng)定義：我們把圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．③三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．要詮：找三角形內(nèi)心時(shí)，只需要畫(huà)出兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識(shí)比較

圓與圓位關(guān)在同一平面內(nèi)兩圓作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可以得到下面種位關(guān)系，其中R為圓半徑(R≥r)．d為心距．要詮：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)舍．其中相切和相交是重點(diǎn)．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)理解．④－r”，要特別注意，．考四正邊和正多邊的關(guān)念正多邊形的外接(或內(nèi)切圓的心叫正多邊形的中心．外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距多形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等個(gè)叫正多邊形的中角，正多邊形的每一個(gè)中心角都等于要詮：

360．n通過(guò)中心角的度數(shù)將圓等分，進(jìn)而畫(huà)出內(nèi)接正多邊形，正六邊形邊長(zhǎng)等于半徑．

nn2nnnnn扇扇nn2nnnnn扇扇正多邊的質(zhì)任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩圓是同心圓．正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形偶數(shù)條邊的正多邊形也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，同邊數(shù)的兩個(gè)正多邊形相似，其周長(zhǎng)之比等于它們的邊半徑或邊心)之比．正多邊的關(guān)算定理：正n邊的半徑和邊心距正形分成2n全等的直角三角形．正n邊形邊長(zhǎng)a、邊心距、長(zhǎng)P面積S計(jì)算歸結(jié)為直角三角形的計(jì)算．a(chǎn)n

360°180，Rgsin，rRcos，nnR

2

1，Png，SgrgnPr22

．考五圓的算題弧長(zhǎng)公：

l

nR180

，其中l(wèi)為n°圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)R圓的半徑．扇形面公：

S扇

n360

，其中

11SlR．心角所對(duì)的扇形的面積，另外SlR22

．圓錐的面和面：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)．圓錐的全面積是它的側(cè)面積與它的底面積的和．要詮：在計(jì)算圓錐的側(cè)面積時(shí)要注意各元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，千萬(wàn)不要錯(cuò)把圓錐底面圓半徑當(dāng)成扇形徑．考六求影積幾常方公法(2)割補(bǔ)法；(3)拼法(4)積變形法；(5)造方程法．【型題類(lèi)一圓有概及質(zhì)

1．（2015?石景山區(qū)一模）如，B為⊙上的點(diǎn)，⊙O的徑OC于D，∠CEB=30°，OD=1則AB的長(zhǎng)為（）A．B．4

C

D．6【思路點(diǎn)撥】連接OB，由垂徑定理可知AB=2BD由圓周角定理可得，∠COB=60°在eq\o\ac(△,Rt)DOB中，OD=1，則BD=1×tan60°=，AB=2．【答案C；【解析】連接OB，∵AB是⊙O的條弦，OC⊥AB，∴AD=BD，即AB=2BD，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1，∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故選C．【總結(jié)升華】弦、弦心距，則應(yīng)接半徑，構(gòu)造基本的直角三角形是垂徑定理應(yīng)用的主要方法．

舉反：【變?nèi)鐖D⊙O的直徑AB是⊙的⊥CD足MAB的長(zhǎng)）AB、3cmCD、221cm【答案】解：連接OA，∵CD是的徑AB是⊙O的AB⊥CD，∴AB=2AM，∵CD=5cm，∴OD=OA=

1CD=×5=cm，222∵OM：5，∴OM=

35

OD=×=，∴在Rt△AOM中，=

OA2

OM

=

()

2

)

2

=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故選C．類(lèi)二與有的置系

2如所示已知AB為⊙O的徑直BC與⊙相切于點(diǎn)B，過(guò)A作AD∥OC交⊙點(diǎn)D，連接CD求：是⊙的切線；若AD＝2，直徑，線BC的．【思路點(diǎn)撥】要證明DC是⊙的線，因?yàn)辄c(diǎn)D⊙上，所以連接交點(diǎn)與圓心證垂直即可．【答案與解析】(1)證明：如圖(2)，連接OD．∵AD∥OC，∴＝∠3，＝∠A∴OA＝OD，∴∠3＝∠A，∴∠1∠2．∵OD＝OB，OC．∴eq\o\ac(△,≌)CODeq\o\ac(△,，)∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD是⊙的線．

(2)解：連接BD，∵AB是O的徑，∴∠ADB＝90°．在△和△BOC中，∵∠ADB，∠A＝∠2，∴eq\o\ac(△,，)DAB∽△BOC∴

BDOBBC

，∴

OBBD

．在Rt△DAB中由勾股定理得BD

．∴

322

．【總結(jié)升華】如果已知直線經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，那么連半徑，證垂直；如果已知直線與圓是否有公共點(diǎn)在條件中沒(méi)有給出，那么作垂直，證半徑．舉反：【變】如所示，已知△ABC中AB邊上的高，以為直的O分別CA、CB于點(diǎn)E、F點(diǎn)G是AD的點(diǎn)．求證：GE是⊙切線．【答案與解析】證法1：連接、DE(如圖(1))．∵CD是⊙的徑，∴∠AED＝∠CED＝90°．∵G是AD的點(diǎn)，∴EG＝∴∠1＝∠2．∵OE＝OD，∴∠3＝∠4．∴∠1+∠3＝∠2+∠4

12

AD＝DG．

即∠OEG＝∠ODG＝90°．∴GE是⊙的線．證法2：連接、ED(如圖(2))．在△ADC中∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°．又∵CD是的徑，∴∠AED＝∠CED＝90°．在△AED中∠AED＝90°，G是AD中點(diǎn)∴AG＝GE＝DG，∴∠A＝∠AEG又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠ACD又∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠AEG+∠OEC＝90°．∴∠OEG＝90°，∴OE⊥EG∴GE是⊙的線．類(lèi)三與有的算3．一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，師拿出三個(gè)邊長(zhǎng)都為的方形硬紙板，他向同們提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：若將三個(gè)正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個(gè)圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)有多大？問(wèn)題提出后，同學(xué)們經(jīng)討論，大家覺(jué)得本題實(shí)際上就是求將三個(gè)正方形硬紙板無(wú)重疊地適當(dāng)放置，圓形硬紙板能蓋住時(shí)的最直徑．老師將同學(xué)們討論過(guò)程中探索出的三種不同擺放類(lèi)型的圖形畫(huà)在黑板上，如下圖所示：（1通過(guò)計(jì)算（結(jié)果保留根號(hào)π（Ⅰ）圖①能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應(yīng)為；

（Ⅱ）圖②能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為cm；（Ⅲ）圖③能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為cm；（2）其實(shí)上面三種放置方法所的圓形硬紙板的直徑都不是最小的，請(qǐng)你畫(huà)出用圓形硬紙板蓋住三個(gè)正方形時(shí)直徑最小的放置方法畫(huà)出示意圖，不要求說(shuō)明理由求此時(shí)圓形硬紙板的直徑．【思路點(diǎn)撥】（1）連接正方形的對(duì)角線BD利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形對(duì)角線的長(zhǎng)即可；（Ⅲ）找出過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓圓心及半徑，利用勾股定理求解即可；（2）連接OB，ON，延長(zhǎng)OH交AB于P，則OP⊥AB，P為AB中點(diǎn)，設(shè)OG=x，則OP=10-x，根勾股定理解答．【答案與解析】解）圖連接，∵，AB=5cm，∴BD=（Ⅱ）如圖所示，

=cm；∵三正方形的邊長(zhǎng)均為5，∴A、B三在以O(shè)為圓，OA為徑的圓上，∴OA==5cm，∴能住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10（Ⅲ）如圖所示，連接OA，OB，

cm；

∵CE⊥AB，AC=BC，∴CE是A、B三的圓的徑，∵，∴O為圓，∴的半徑為OA，OA==5cm，∴能住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為（2）如圖④為蓋住三個(gè)正方形直徑最小的放置方法，

×2=10cm；連接OB，ON，延長(zhǎng)OH交AB于，則OP⊥AB，PAB中，設(shè)OG=x，OP=10-x，則有：

，解得：

，則ON=∴直徑為．【總結(jié)升華】

，此題比較復(fù)雜答此題的關(guān)鍵是找出以各邊頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓的圓心及半徑根據(jù)勾股定理解答舉反：【變】如圖，圖、圖2、圖、…、圖n分是⊙的接正三角形ABC，四邊形ABCD正五邊形ABCDE、、正n邊ABCD…點(diǎn)、N別從點(diǎn)、C始以相同的速度在O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．（1求圖1中的數(shù)是；，∠APN的數(shù)是，中∠的數(shù)是．（2試探索的數(shù)與正邊形邊數(shù)關(guān)系（直接寫(xiě)答案）．【答案】

解：（1）圖1：∵點(diǎn)M、N分別點(diǎn)B開(kāi)始以相同的速度在O上逆針運(yùn)動(dòng)，∴∠BAM=∠CBN，又∵∠APN=∠BPM，∴∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：圖2中，∠APN=90°圖3∠APN=108°（2由（）可知，∠APN=所多邊形的內(nèi)角度數(shù)，故在圖，．4如圖所示圓直徑AB＝10為AB上點(diǎn)，D為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影部的面積等________．【思路點(diǎn)撥】觀察圖形，可以適當(dāng)進(jìn)行“割”與“補(bǔ)影面積轉(zhuǎn)化為扇形面.

【答案】【解析】

6

；連接OC、OD、CD∵C、D為圓的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝

180°603又∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝60°，DC∥AB∴

△

△

，∴

S陰影

扇形OCD

60gg2253606

．答案：

6

．【總結(jié)升華】用等面積替換法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的規(guī)則圖形是解本類(lèi)題的技巧．類(lèi)四與有的合用5?黃陂區(qū)模擬）如圖，ABC中，以AC直徑的⊙O交BC于D，過(guò)C作O的線，交延長(zhǎng)線于P，∠∠BAC（1）求證AB=AC（2）若sin∠BAC=

35

，求tanPCB值．

【思路點(diǎn)撥連接，根據(jù)圓周角定理求得，根據(jù)弦切角定理求得∠，進(jìn)而求得∠CAD=，然后根據(jù)ASA證≌，可證得結(jié)論．（2）作BE⊥于E，得出∥，得∠，據(jù)已知件得出根據(jù)AB=AC得出CBE===，就可求得∠．【答案與解析】解）接AD∵AC是O直徑，∴∠ADC=90，∴ADBC，∵是⊙O的線，∴∠PCB=∠CAD∵∠∠，∴∠CAD=∠，在ADC中，∴△ADC≌△ADB（ASA∴AB=AC（2）作BE⊥AC于，∵是⊙O的線，∴AC，∴BE∥PC∴∠PCB=∠CBE∵sin∠BAC==，∴=，∵AB=AC∴CBE==，

=，從而求得

=，

,∴AF=AO+OF=,∴AF=AO+OF=∴PCB=．【總結(jié)升華本考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角函數(shù)等作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．舉反：【高清課堂：圓的綜合復(fù)習(xí)例】【變】已知：如，是eq\o\ac(△,Rt)ABC的外接圓AB為直，∠ABC=30°，CD是⊙O的線ED⊥ABF．(1)判斷△的狀并說(shuō)明理；(2)設(shè)⊙的半為1，且

OF

，求證△≌OCB【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°又∵OA=OC,∴△AOC是三角形又CD是切，∴，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°而ED⊥AB于F，∴∠BAC=30°．故為等腰三角形．(2)證明：在△ABC中∵AB=2，AC=AO=1∴BC=2

2

2

=3．OF=

32又∵∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=．而∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故CDE≌△COB.

6．如圖，已知⊙O的徑AB＝2直線與相切于點(diǎn)A為O上動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)、點(diǎn)重合延長(zhǎng)線與⊙O相于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的線與直線m相交于點(diǎn)D．（1）求證：eq\o\ac(△,．)APC∽△COD（2）設(shè)AP＝，ODy，試用含x的代式表示．（3）試探索x為何值時(shí)，△ACD是一個(gè)等邊三角形．【思路點(diǎn)撥】(1)可根據(jù)“有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似”來(lái)說(shuō)明eq\o