集合經(jīng)典習(xí)題

集合(二)高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)講座--第一講山東滕州一中王洪濤集合與集合;集合與其子集

1.集合與集合：AB,AB,AB,A∩B,A∪B,UA,……

2差集：A－B＝{x|x∈A且xB}(部分資料上用“A\B”表示)3.集合運(yùn)算律：(略)4.n個(gè)元素的集合所有子集個(gè)數(shù)為：2n已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1，3，x}，則這樣的x的不同的值有()個(gè)

A.1 B.2 C.3 D.42.已知集合M中的元素都是自然數(shù)，且如果x∈M，則8－x∈M，則滿(mǎn)足這樣條件的集合M的個(gè)數(shù)為()

A.64 B.32 C.16 D.83.求集合{x∈Z|≤2x＜32}的真子集個(gè)數(shù).4.已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值.一.集合與集合的運(yùn)算例5．已知集合M＝{直線}，N＝{拋物線}，則M∩N中元素的個(gè)數(shù)為()

(A)0；(B)0,1，2其中之一；(C)無(wú)窮；(D)無(wú)法確定[分析]M中的元素為直線，是無(wú)限集；N中的元素為拋物線，它也是無(wú)限集。由于兩集合中的元素完全不同，即既是直線又是拋物線(曲線)的圖形根本不存在，故M∩N＝φ，選(A)[說(shuō)明]若想當(dāng)然地誤認(rèn)為M中的元素是直線上的點(diǎn)，N中的元素是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)誤認(rèn)為是判斷直線與拋物線的位置關(guān)系即相交，相切、相離時(shí)，會(huì)選(B)；

例6．已知A＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈R}，B＝{y∣y＝－x2－2x＋2，x∈R}，求A∩B先看下面的解法：

解：聯(lián)立方程組

y＝x2－4x＋3①

y＝－x2－2x＋2②①－②消去y，得

2x2－2x＋1＝0③因?yàn)棣ぃ?－2)2－4×2×1＝－4<0，方程③無(wú)實(shí)根，故A∩B＝φ上述解法對(duì)嗎？

[說(shuō)明]上述解法對(duì)嗎？畫(huà)出兩拋物線的圖象：y＝x2－4x+3=(x-1)(x-3),開(kāi)口向上，與x軸交于(1,0)、(3,0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，縱截距為3；y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3，開(kāi)口向下，與x軸交于(－1－√3,0)、(－1＋√3,0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，觀察可知，它們確實(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，但這解答對(duì)嗎？

42-2-4-5542-2-4-55回頭審視兩集合A、B，它們并不是由拋物線上的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集。兩集合中的元素都是實(shí)數(shù)y，即當(dāng)x∈R時(shí)相應(yīng)的二次函數(shù)的函數(shù)值所組成的集合，即二次函數(shù)的值域集合。故由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3≤3，可知A＝{y∣y≥－1}，B＝{y∣y≤3}，它們的元素都是“實(shí)數(shù)”，從而有M∩N＝{y∣－1≤y≤3}你看，認(rèn)清集合中元素的構(gòu)成是多么重要！二.集合與集合的包容關(guān)系在兩個(gè)集合之間的關(guān)系中，我們感興趣的是“子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關(guān)系。這些關(guān)系是通過(guò)元素與集合的關(guān)系來(lái)揭示的，因而判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系通?？蓮呐袛嘣嘏c這兩個(gè)集合的關(guān)系入手。例7.已知集合A中有10個(gè)元素，且每個(gè)元素都是兩位整數(shù)，證明：一定存在這樣兩個(gè)A的子集，它們中沒(méi)有相同的元素，而它們的元素之和相等.證明：這10個(gè)元素的總和S＜100×10＝1000

而A的子集總共有210＝1024＞1000＞S

根據(jù)抽屜原理，至少存在兩個(gè)子集，他們的元素之和相等，記為M、N，

如果M、N沒(méi)有公共元素，則M、N就是滿(mǎn)足題意的子集，命題得證.

如果M、N中有公共元素，記M∩N＝Q,

考查集合M'＝M－Q,N'＝N－Q

則M'、N'中沒(méi)有公共元素，且M'、N'的元素之和相等，同時(shí)它們都是A的子集.

即M'、N'為所求集合.

命題成立！解：（1）

。

。例8．S1、S2、S3為非空集合，對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列i、j、k，若x∈

Si

y∈Sj，則x-y∈Sk(1)證明：三個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等。

(2)三個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集無(wú)公共元素？證明：（1）若x∈

Si

y∈Sj，則x-y∈Sk

所以每個(gè)集合中均有非負(fù)元素。當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立。否則，設(shè)S1、S2、S3中的最小正元素為a，不妨設(shè)a∈S1，設(shè)b為S2、S3中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)b∈S2則b-a∈S3。若b>0,則0≤b-a＜b，與b

的取法矛盾。所以b=0。任取x∈S1因0∈S2,

故x－0＝x∈S3。所以，同理所以S1=S2。(2)可能。例如S1=S2={奇數(shù)}，S3={偶數(shù)}顯然滿(mǎn)足條件，S1和S2與S3都無(wú)公共元素。例９．設(shè)S為滿(mǎn)足下列條件的有理數(shù)的集合：①若a∈S，b∈S，則a+b∈S，ab∈S；②對(duì)任一個(gè)有理數(shù)r，三個(gè)關(guān)系r∈S，－r∈S，r＝0有且僅有一個(gè)成立。證明：S是由全體正有理數(shù)組成的集合。證明：設(shè)任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或－r∈S之一成立。再由①，若r∈S，則；若－r∈S，則。總之，取r=1，則1∈S。再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全體正整數(shù)都屬于S。設(shè)p、q∈S，由①pq∈S，又由前證知，所以

∈Ｓ。因此，Ｓ含有全體正有理數(shù)。

再由①知，0及全體負(fù)有理數(shù)不屬于Ｓ。即Ｓ是由全體正有理數(shù)組成的集合。例10.已知集合：?jiǎn)?1)當(dāng)a取何值時(shí)，(A∪B)∩C為含有兩個(gè)元素的集合？(2)當(dāng)a取何值時(shí)，(A∪B)∩C為含有三個(gè)元素的集合？解：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。A∩C與B∩C分別為方程組(Ⅰ)(Ⅱ)的解集。由（Ⅰ）解得（x,y）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得（x,y）=（1，0），

(1)使(A∪B)∩C恰有兩個(gè)元素的情況只有兩種可能

①②由①解得a=0；由②解得a=1。故a=0或1時(shí)，(A∪B)∩C恰有兩個(gè)元素

(2)使(A∪B)∩C恰有三個(gè)元素的情況是：

解得，故當(dāng)時(shí)，(A∪B)∩C恰有三個(gè)元素。例10.設(shè)n∈N且n≥15，A、B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=φ，且A∪B={1，2，3，…，n}。求證：A或者B中必有兩個(gè)不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。證明：由題設(shè)，{1，2，3，…，n}的任何元素必屬于且只屬于它的真子集A、B之一。

假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的{1，2，3，…，n}的真子集A、B，使得無(wú)論是A還是B中的任兩個(gè)不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)。

不妨設(shè)1∈A，則3A，否則1+3=22，與假設(shè)矛盾，所以3∈B。同樣6B，所以6∈A，這時(shí)10A，，即10∈B。因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但當(dāng)15∈A時(shí)，因1∈A，1+15=42，矛盾；當(dāng)15∈B時(shí)，因10∈B，于是有10+15=52，仍然矛盾。因此假設(shè)不真。即結(jié)論成立。已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________________．

易得：A＝(1，3)，設(shè)要使只需f(x)、g(x)在(1，3)上的圖象均在x軸下方，其充要條件是f(1)≤0，f(3)≤0，g(1)≤0，g(3)≤0，由此推出－4≤a≤－1．三.有限集合子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題：

(1)集合{a}一共有幾個(gè)子集？

(2)集合{a，b}一共有幾個(gè)子集？

(3)集合{a,b,c}一共有幾個(gè)子集？

(4)集合{a,b,c,d}一共有幾個(gè)子集？

(5)猜想集合{a1,a2…，an}一共有幾個(gè)子集？

(6)利用上述猜想確定符合下列條件的集合M的個(gè)數(shù)：{1,2}M{1,2，3,4，5,6，7,8，9,10}。以上諸問(wèn)題都牽涉到有限集合子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題。以上諸問(wèn)題都牽涉到有限集合子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題。有限集合{a}的子集有:φ,{a};共兩個(gè)

有限集合{a,b}的子集有:φ,{a},,{a,b};共4＝22個(gè)；有限集合{a,b,c}的子集有:φ;{a},,{c}；{a,b},{a,c},{b,c}；{a,b,c}；8＝23個(gè)；有限集{a,b,c,d}的子集有φ:{a},,{c},0wvchoc;{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}；｛a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d};{a,b,c,d}；共16＝24個(gè)。這里，{a,b,c,d}的子集可以分成兩部分，一部分不包括d，是{a,b,c}的子集；另一部分包括d，是{a,b,c}中每一個(gè)子集與x1idsay的并集。

循此思路，注意到2，4＝22，8＝23，16＝24的規(guī)律，可以猜想有限集合{a1,a2…，an}的子集共有2n個(gè)，其中非空子集有2n－1個(gè)；真子集也有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－1－1＝2n－2個(gè)。利用上述猜想，問(wèn)題(6)中集合M的個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)有28＝256個(gè)。例7．一個(gè)集合含有10個(gè)互不相同的兩位數(shù)。試證，這個(gè)集合必有2個(gè)無(wú)公共元素的子集合，此兩子集的各數(shù)之和相等。分析：兩位數(shù)共有10,11，……,99，計(jì)99－9＝90個(gè)，最大的10個(gè)兩位數(shù)依次是90,91，……,99，其和為945，因此，由10個(gè)兩位數(shù)組成的任意一個(gè)集合中，其任一個(gè)子集中各元素之和都不會(huì)超過(guò)945，而它的非空子集卻有210－1＝1023個(gè)，這是解決問(wèn)題的突破口。例7．一個(gè)集合含有10個(gè)互不相同的兩位數(shù)。試證，這個(gè)集合必有2個(gè)無(wú)公共元素的子集合，此兩子集的各數(shù)之和相等。解：已知集合含有10個(gè)不同的兩位數(shù)，因它含有10個(gè)元素，故必有210＝1024個(gè)子集，其中非空子集有1023個(gè)，每一個(gè)子集內(nèi)各數(shù)之和都不超過(guò)90＋91＋…98＋99＝945<1023，根據(jù)抽屜原理，一定存在2個(gè)不同的子集，其元素之和相等。如此2個(gè)子集無(wú)公共元素，即交集為空集，則已符合題目要求；如果這2個(gè)子集有公共元素，則劃去它們的公共元素即共有的數(shù)字，可得兩個(gè)無(wú)公共元素的非空子集，其所含參數(shù)之和相等。說(shuō)明：此題構(gòu)造了一個(gè)抽屜原理模型，分兩步完成，計(jì)算子集中數(shù)字之和最多有945個(gè)“抽屜”，計(jì)算非空子集得1023個(gè)“蘋(píng)果”，由此得出必有兩個(gè)子集數(shù)字之和相等。第二步考察它們有無(wú)公共元素，如無(wú)公共元素，則已符合要求；如有公共元素，則去掉相同的數(shù)字，得出無(wú)公共元素并且非空的兩個(gè)子集，滿(mǎn)足條件?？梢?jiàn)，有限元素子集個(gè)數(shù)公式起了關(guān)鍵作用。例8．設(shè)A＝{1,2，3，…，n}，對(duì)xA，設(shè)x中各元素之和為Nx，求Nx的總和解：A中共有n個(gè)元素，其子集共有2n個(gè)。A中每一個(gè)元素在其非空子集中都出現(xiàn)了2n-1次，(為什么？因?yàn)锳的所有子集對(duì)其中任一個(gè)元素i都可分為兩類(lèi)，一類(lèi)是不含i的，它們也都是{1,2，…，i-1,i+1,…n}的子集，共2n-1個(gè)；另一類(lèi)是含i的，只要把i加入到剛才的2n-1個(gè)子集中的每一個(gè)中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的總和時(shí)，A中每一個(gè)元素都加了2n-1次，即出現(xiàn)了2n-1次，故得＝1×2n-1＋2×2n-1＋…＋n……2n-1

＝(1＋2＋…＋n)·2n-1=n(n+1)/2×2n-1=n(n+1)×2n-2

說(shuō)明：這里運(yùn)用了整體處理的思想及公式1＋2＋…＋n＝(1/2)n(n+1)，其理論依據(jù)是加法的交換律、結(jié)合律、乘法的意義等。得出集合中每一個(gè)元素都在總和中出現(xiàn)了2n-1次，是打開(kāi)解題思路之門(mén)的鑰匙孔。一張紙上畫(huà)有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A，且OA＝a.拆疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)A/剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種拆法