二項式定理的常考點

二項式定理的常考點二項展開式的通項公式Tk＋1＝an－kbk(k＝0,1,2，…，n)集中體現(xiàn)了二項展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化，它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)以及數(shù)、式的整除等方面有著廣泛的應用．使用時要注意：(1)通項公式表示的是第“k＋1”項，而不是第“k”項；(2)通項公式中a和b的位置不能顛倒；(3)展開式中第k＋1項的二項式系數(shù)與第k＋1項的系數(shù)，

數(shù)在一般情況下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，

一般先處理符號，對根式和指數(shù)的運算要細心，以防

出錯．已知在()n的展開式中，第6項為常數(shù)項．(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項．利用通項公式可求,注意運算.【解】

(1)通項公式為因為第6項為常數(shù)項，所以k＝5時，有＝0，即n＝10.(2)令得k＝(n－6)＝2，∴所求的系數(shù)為，(3)根據(jù)通項公式，由題意得令＝r(r∈Z)，則10－2k＝3r，即k＝5－∵k∈Z，∴r應為偶數(shù)，∴r可取2、0、－2，即k可取2、5、8.所以第3項，第6項與第9項均為有理數(shù)，它們分別為1．對形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.所求結果與各項系數(shù)有關，可以考慮用“特殊值”法，即“賦值法”整體解決.【解】

(1)令x＝0，則a0＝－1；令x＝1，則a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，則－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由得：a7＋a5＋a3＋a1＝[128－(－4)7]＝8256.(3)由得a6＋a4＋a2＋a0＝[128＋(－4)7]＝－8128.1．求二項式系數(shù)最大項：(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(第(＋1)項)的二項式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(第項與第(＋1)項)的二項式系數(shù)相等并最大．2．求展開式系數(shù)最大項：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開

式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設展開式各

項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應

用從而解出k來，即得．已知()n(n∈N*)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開式中各項系數(shù)的和；(2)求展開式中含

的項；(3)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項．

（1）可利用“賦值法”求各項系數(shù)的和；（2）可利用展開式中的通項公式確定k的值；（3）可利用通項公式求出k的范圍，再確定項.【解】由題意知，第五項系數(shù)為·(－2)4，第三項的系數(shù)為則有化簡得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各項系數(shù)的和為(1－2)8＝1.(2)通項公式令，則k＝1，故展開式中含的項為T2＝－16

.(3)設展開式中的第k項，第k＋1項，第k＋2項的系數(shù)絕對值分別為若第k＋1項的系數(shù)絕對值最大，則，解得5≤k≤6.又T6的系數(shù)為負，∴系數(shù)最大的項為T7＝1792x－11.由n＝8知第5項二項式系數(shù)最大，此時T5＝1120x－6.(1)(

)n展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項是(

)A．360

B．180C．90D．45(2)已知(1－x)n的展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為32，則(1－x)n的展開式中系數(shù)最小的項是________．課堂練習題解析：(1)依題意：只有第6項的二項式系數(shù)最大，可得到n＝10，所以展開式的通項為·2k·x－2k＝,令k＝2可得常數(shù)項T3＝＝180.(2)令x＝－1，得2n＝32，所以n＝5，故系數(shù)最小的項是＝－10x3.答案：(1)B

(2)－10x3二項式定理的考查是高考熱點內容之一，主要考查通項公式的應用.利用通項公式求特定的項或特定項的系數(shù)，或已知某項，求指數(shù)n等.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn).前年的高考數(shù)學卷考查了利用賦值法研究系數(shù)的問題，形式新穎.(高考真題)若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，則的值為(

)