東華理工大學(xué)自動(dòng)控制理論原理課件

第四章控制系統(tǒng)的根軌跡分析

反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在s平面上的位置。而且只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律也就知道了。但是對(duì)于3階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可變參數(shù)時(shí)，求根就更困難了。

1948年，伊文思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法——根軌跡法。在已知開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)，利用該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點(diǎn)。

定義：當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。一般取開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)K（或者根軌跡增益Kg）作為可變參數(shù)。第一節(jié)根軌跡的基本概念

以圖示系統(tǒng)為例：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：式中，K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益（開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)）。Kg=2K

稱為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益。兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=?2，無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

s2+2s+Kg

=0求得閉環(huán)特征根為：2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg(1)Kg=0：s1=0，s2=2，是根跡的起點(diǎn)(開(kāi)環(huán)極點(diǎn))，用“”表示。(2)0<Kg<1：s1，s2均是負(fù)實(shí)數(shù)。Kgs1，s2。

s1從坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始沿負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)；s2從（2，j0）點(diǎn)開(kāi)始沿負(fù)實(shí)軸向右移動(dòng)。(3)Kg=1：s1=s2=1，重根。(4)Kg>1：根軌跡與系統(tǒng)性能(1)穩(wěn)定性：根軌跡不會(huì)進(jìn)入S平面的右半平面該系統(tǒng)對(duì)于所有的Kg都是穩(wěn)定的(2)穩(wěn)態(tài)性能：1型系統(tǒng)原點(diǎn)處有一個(gè)極點(diǎn)根軌跡上的K值就是速度誤差系數(shù)(3)動(dòng)態(tài)性能：第二節(jié)繪制根軌跡的條件和基本規(guī)則一、繪制根軌跡的基本條件研究如圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為:D(s)=1±Gk(s)=0或Gk(s)=±1若將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)寫成零極點(diǎn)表達(dá)式的形式式中Kg為系統(tǒng)的根軌跡增益，zi

為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，pj為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程又可寫為：

“-”號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋，“+”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋。

由于滿足上式的任何s都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，由上式確定的s在s平面上描畫的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱為系統(tǒng)的根軌跡方程。在下面的討論中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開(kāi)環(huán)根軌跡增益Kg，這種根軌跡習(xí)慣上稱之為常規(guī)根軌跡。根軌跡方程：根軌跡方程是個(gè)向量方程，顯然等式兩邊的幅值和相角應(yīng)分別相等，即應(yīng)同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：幅值條件相角條件180根軌跡0根軌跡根據(jù)幅值條件和相角條件，可完全確定s平面上根軌跡及根軌跡上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg值。相角條件是確定s平面上根軌跡的充要條件，因此，繪制根軌跡時(shí)，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的Kg值時(shí)，才使用幅值條件。

對(duì)于任何一個(gè)復(fù)雜的多回路系統(tǒng)，可利用信號(hào)流圖的概念，用梅遜公式寫出其特征多項(xiàng)式Δ=1–ΣLa+ΣLbLc+ΣLdLeLf+…=1+F(s)

可以將F(s)看成Gk(s)，從而采用前述同樣的分析方法得到其根軌跡方程。

稱F(s)為等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。二、繪制常規(guī)根軌跡的基本規(guī)則已知負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布如圖示。p2p3

j

0p1z1s11123

在s平面找一點(diǎn)s1

，畫出各開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量。檢驗(yàn)s1是否滿足相角條件：(s1z1)[(s1p1)+(s1p2)+(s1p3)]=1

123=(2k+1)？？

如果s1點(diǎn)滿足相角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。

尋找在s平面內(nèi)滿足幅角相角條件的所有si

點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。解：

不符合相角條件，s1不在根軌跡上。滿足相角條件，s2在根軌跡上。

例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷s1(-1,j1)，s2(-0.5,j1)是否在根軌跡上，并求出根軌跡上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg。根據(jù)幅值條件不能將s平面上所有的點(diǎn)根據(jù)相角條件來(lái)確定是否根軌跡上的點(diǎn)來(lái)繪制控制系統(tǒng)的根軌跡圖，在滿足根軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡的圖是有一些規(guī)律的，在1948年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了繪制根跡的一些基本法則。依據(jù)繪制軌跡圖的一些基本法則，就可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。是Kg或其它參數(shù)的連續(xù)函數(shù)?！呔€性系統(tǒng)特征方程系數(shù)均為實(shí)數(shù)∴閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)（包括一對(duì)純虛根），根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則一連續(xù)性與對(duì)稱性當(dāng)Kg從0→+∞連續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)連續(xù)變化，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線。結(jié)論：根軌跡是連續(xù)的，且對(duì)稱于實(shí)軸。規(guī)則二根軌跡的分支數(shù)

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為n階，故開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)和閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)都為n個(gè)，當(dāng)Kg從0→+∞變化時(shí)，n個(gè)根在s平面上形成n條根軌跡。一條根軌跡對(duì)應(yīng)一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)隨Kg的變化軌跡。

結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)規(guī)則三根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件有：1.起點(diǎn)：Kg=0∴n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。此時(shí)，等式右邊=∞則僅當(dāng)s=pj（j=1,2,…,n）時(shí)成立?！嗔硗鈔－m條根軌跡終止于∞處。結(jié)論：根軌跡以n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為起點(diǎn)；以m個(gè)開(kāi)2.終點(diǎn)：kg=∞①當(dāng)s=zi（i=1,2,…,n）時(shí)成立。②∵n>m∴

m條根軌跡終止于m

個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處；此時(shí)，方程右邊=0∴

在s→∞處環(huán)零點(diǎn)為終點(diǎn)，另外n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。可以認(rèn)為有nm

個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。設(shè)零、極點(diǎn)分布如圖示：p2p3

j

0p1z1s11=π1=023

在實(shí)軸上取一測(cè)試點(diǎn)s1

。由圖可見(jiàn)，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸s1點(diǎn)的向量幅角和為2，復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)亦如此。因此在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。規(guī)則四實(shí)軸上根軌跡的分布

s1點(diǎn)左邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角均為零，也不影響實(shí)軸上根軌跡的幅角條件。

結(jié)論：當(dāng)實(shí)軸某處的右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)時(shí)，該實(shí)軸段是根軌跡的一部分。重復(fù)零、極點(diǎn)要重復(fù)計(jì)算數(shù)目。p2p3

j

0p1z1s11=0231=π而s1點(diǎn)右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角為。如果s1是根軌跡，則只有當(dāng)其右邊零極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足幅角條件：

例設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，試求實(shí)軸上的根軌跡。例如下圖所示是三個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布圖，試分別繪制相應(yīng)的根軌跡草圖。當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中

n>m

時(shí)，將有nm條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為a，交點(diǎn)為a的一組漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有：(k=0,1,…,nm1)規(guī)則五根軌跡的漸近線例

設(shè)某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線及根軌跡在實(shí)軸上的分布。注意：重復(fù)零、極點(diǎn)要重復(fù)計(jì)算

解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=1、p3=5。

系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個(gè)有限的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，由于不存在有限的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，當(dāng)Kg

時(shí)，沿著三條漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。0

j60-2-5-1三條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)：

實(shí)軸上的根軌跡分布在(0,1)和(5,)的實(shí)軸段上。漸近線與實(shí)軸的夾角：兩條或兩條以上的根軌跡在s平面上相遇后立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))。

分離點(diǎn)上，根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離開(kāi)分離點(diǎn)的切線方向的夾角稱為根軌跡的分離角。0

jz1j1Ap1p2KgKgKg=0Kg=0規(guī)則六根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)分離角分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的性質(zhì)：1、分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）是系統(tǒng)閉環(huán)重根；2、由于根軌跡是對(duì)稱的，所以分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上；

4、在一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間若有根軌跡，該段無(wú)分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）。

j

03、實(shí)軸上相鄰兩個(gè)開(kāi)環(huán)零（極）點(diǎn)之間（其中之一可為無(wú)窮零（極）點(diǎn)）若為根軌跡，則必有一個(gè)分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）；確定分離點(diǎn)的位置：

注意：重復(fù)零、極點(diǎn)要重復(fù)計(jì)算。

若無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，等式右邊為0。

需驗(yàn)證求出的di是否根軌跡上的點(diǎn)。設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則d

滿足如下公式：式中，zi、pj

是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。確定分離角：l為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)。顯然，當(dāng)l＝2時(shí)，分離角為直角。解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=1、p2=2，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)z1=3。一條漸近線：實(shí)軸上的根軌跡分布在(-2,-1)和(-,-3)的實(shí)軸段上。

j0123分離點(diǎn)：d1d2因此，可以繪制出該系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。Kg=0Kg=0Kg→Kg→分離角：90o例

系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的大致根軌跡曲線。若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的坐標(biāo)（包括閉環(huán)極點(diǎn)和臨界增益）可按下述兩種方法求出：方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程P(s)=0中，令s=jω，P(jω)=0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。規(guī)則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)解：系統(tǒng)有三條漸近線：例

某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)的根軌跡與s平面虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。其中兩條與虛軸相交，所以根軌跡與虛軸有兩個(gè)交點(diǎn)。ω3+20ω=012ω2+Kg=0對(duì)應(yīng)

Kg=0(起點(diǎn)，舍去)，Kg=240方法二：s3+12s2+20s+Kg=0勞斯表為s3120s212Kgs1(240

Kg)/12s0Kg

當(dāng)Kg=240時(shí)，s1行全零，勞斯表第一列不變號(hào)，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求出：

12s2+Kg=0方法一：s3+12s2+20s+Kg

=0令s=jω，則(jω)3+12(jω)2+20(jω)+Kg

=0系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：

0

jKg例

試?yán)L制上例系統(tǒng)的根軌跡草圖。

解：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

p1=0、p2=2、

p3=-10，無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。2

10

實(shí)軸上的根軌跡分布在(-2,0)和(-,-10)的實(shí)軸段上。Kg=0Kg=0Kg=0

系統(tǒng)有三條根軌跡分支，分別從p1、p2、p3出發(fā)，都終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處零點(diǎn)。有三條漸近線，與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸的夾角：4

0

j

d=0.945

Kg=240KgKgKg2

10Kg=0Kg=0Kg=0Kg=2404分離點(diǎn)：

解得：d1=7.055，d2=0.945d1不是根軌跡上的點(diǎn)，舍去?！喾蛛x點(diǎn)為d2=-0.945。與虛軸的交點(diǎn)：上例已求得與虛軸的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)

Kg=240因此，可以繪制出該系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。分離角：90o根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為出射角(起始角)，用θpx表示。根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為入射角(終止角)，用

zx表示。求出這些角度可按如下關(guān)系規(guī)則八根軌跡的出射角與入射角pxPx+1

j

0s1

即

設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)px和

px+1

，在待求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)px的根軌跡上取無(wú)限接近px的一點(diǎn)s1。因此，除px

外，所有其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角，都可以用它們到px的向量幅角來(lái)代替，而px到s1點(diǎn)的向量幅角即為出射角θpx。根據(jù)s1點(diǎn)必滿足幅角條件，應(yīng)有0

j-1-2j1-j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。例

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為解：①4個(gè)極點(diǎn)，3個(gè)零點(diǎn)，有四條根軌跡分支：三條終于零點(diǎn)，一條終于無(wú)窮遠(yuǎn)。②實(shí)軸上的根軌跡③一條漸近線與實(shí)軸的夾角：④與虛軸無(wú)交點(diǎn)與實(shí)軸交點(diǎn)：⑤無(wú)分離點(diǎn)0

j-1-2j1123132⑤出射角=180+1+2+31

23=180+56.5+19+59

108.5

37

90=79⑥入射角繪制概略根軌跡如圖0

j-1-2j1-j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

p1=0、p2,3=1±j0

j例

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為漸近線：3條-1-11p2出射角：-45°實(shí)軸上的根軌跡：整個(gè)負(fù)實(shí)軸KgKg=0無(wú)分離點(diǎn)0

j-1-11繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。KgKgKg-45°

閉環(huán)特征方程：s3+2s2+2s+Kg

=0令s=jω，則有(jω)3+2(jω)2+2(jω)+Kg

=0根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：ω3+2ω=02ω2+Kg=0Kg=0Kg=0Kg=0

0

j-1-4-2

j1，試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。

例

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為漸近線：a=2

a=45,135分離點(diǎn)：d=2

d=2j2.45分離角：90o與虛軸交點(diǎn)：Kg=260s=j3.16出射角：解：四個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：p1=0、p2=-4、

p3,4=1±j三、繪制補(bǔ)根軌跡（0根軌跡）的基本法則此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程為1Gk(s)=0此時(shí)的根軌跡稱為0根軌跡。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為因此根軌跡的相角方程：根軌跡的幅值方程：繪制0根軌跡的基本法則如下：規(guī)則1

根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性同180根軌跡。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)同180根軌跡。規(guī)則3根軌跡的起點(diǎn)(Kg=0)和終點(diǎn)(Kg)同180根軌跡。

顯然0根軌跡的幅值方程與180根軌跡的完全相同，只是幅角相差一個(gè)π，因此只要把180根軌跡法則中，與幅角相關(guān)的項(xiàng)進(jìn)行修正，即可獲得繪制0根軌跡的基本法則。當(dāng)開(kāi)環(huán)傳函中m<n時(shí)，有nm條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為a，交點(diǎn)為a

的一組漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有：(k=0,1,…,nm1)規(guī)則5實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上的某一段，若其右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該實(shí)軸段必是根軌跡。規(guī)則4

根軌跡的漸近線。規(guī)則6根軌跡分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)同180根軌跡。規(guī)則7根軌跡與虛軸交點(diǎn)的確定方法同180根軌跡。P(s)=1

G(s)H(s)=0

法則8

根軌跡的出射角與入射角例設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其根軌跡。解：按0根軌跡的法則繪制：