Zoeppritz方程推導(dǎo)過(guò)程

Zoeppritz方程的推導(dǎo)一．波函數(shù)設(shè)有一平面諧縱波入射到兩種半無(wú)限彈性介質(zhì)的分界面上。在這種情況下，波不僅會(huì)折回到入射介質(zhì)中傳播，而且會(huì)透射到另一種介質(zhì)中傳播；即同時(shí)存在反射波和透射射波。反射波和透射波中都包含縱波和橫波兩種成份。P波在介質(zhì)分界面上的反射和透射情況如圖所示：關(guān)于位函數(shù)我們首先看：沿任意方向傳播的平面波。設(shè)是一個(gè)任意取定的單位方向矢量。（1）下面來(lái)看沿方向的平面波，或稱三維平面波的波函數(shù)形式。三維平面波的波函數(shù)滿足三維波動(dòng)方程，即：（2）這里我們通過(guò)和一維平面波函數(shù)類比，可以得出三維平面波函數(shù)的形式。我們知道，在一維平面波的情況下，空間任意一點(diǎn)上的波函數(shù)值只取決于。于是沿正方向傳播的平面波的波函數(shù)為。其中的實(shí)際上是從原點(diǎn)至點(diǎn)所在波面的垂直距離，即（一維平面波的傳播方向的單位矢量為。在三維平面波情況下，這一距離應(yīng)為。因此，將一維平面波函數(shù)中的以代替應(yīng)該可以得到三維平面波的波函數(shù)）即：（3）同一維平面波一樣，式中的為波沿方向的傳播時(shí)間。代表一個(gè)沿的正方向傳播的平面波。同理，代表一個(gè)沿的負(fù)方向傳播的平面波，在一般情況下，沿任意方向傳播的平面波的波函數(shù)可寫成：（4）二．平面簡(jiǎn)諧波：平面簡(jiǎn)諧波是是波函數(shù)為簡(jiǎn)諧形式的平面波，也是數(shù)學(xué)上最容易處理的一種波。因此，在研究波的傳播問(wèn)題時(shí)經(jīng)常使用簡(jiǎn)諧波假定。沿正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)可寫成：

（5）或（6）上面兩式分別代表的是余弦形式和正弦形式的平面簡(jiǎn)諧波。我們最常使用的是指數(shù)形式的平面簡(jiǎn)諧波（7）通過(guò)取上式的實(shí)部或虛部即可得到余弦形式或正弦形式的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。上面各波函數(shù)中的稱為波的振幅，因?yàn)椴ê瘮?shù)值總是在和之間變化。下面討論波函數(shù)中其他各量的意義及它們之間的關(guān)系。為此，首先“固定”時(shí)間變量以考查波剖面的情況。不難驗(yàn)證，（8）這表明，波剖面的值每隔距離重復(fù)一次。因此我們將這個(gè)量稱為波長(zhǎng)，記為，同時(shí)，把稱為波數(shù)?？梢?jiàn)波數(shù)就是距離內(nèi)所含的波長(zhǎng)個(gè)數(shù)。再“固定”空間變量以考查振動(dòng)圖的情況。容易看出，（9）這說(shuō)明，振動(dòng)圖的值每隔時(shí)間重復(fù)一次。因此將這個(gè)量稱作周期，記為，由此可見(jiàn)，周期即為波傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所用的時(shí)間。另外，其中和分別為頻率和圓頻率。利用上面得到的各量之間的關(guān)系，可將平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)寫成如下等價(jià)形式：

（10）沿任意方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)可寫為（11）因此二維平面波的波函數(shù)可以寫成：=（12）我們可以寫出入射P波、反射波P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位函數(shù)：（13）（14）(15)(16)(17)上式中，，，（18）且有（19）由此可得反射和透射定律（斯奈爾定律）如下：（20）另外，由圖可見(jiàn)：，，，，在介質(zhì)I中，總的位函數(shù)為（21）（22）在介質(zhì)中，總的位函數(shù)為（23）（24）三．邊界條件我們知道，介質(zhì)分界面處的邊界條件為位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)。因此，可寫出本問(wèn)題的邊界條件如下：在Z=0處（25）四．位移連續(xù)：地震波在傳播過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位移可以分解為其標(biāo)量位的梯度與與其矢量位的旋度之和的形式，有：（26）同時(shí)（27）設(shè)（28）將式（26）按梯度和旋度公式展開(kāi)，得到的3個(gè)分量為：（29）研究空間傳播的平面波時(shí)，一般情況下選擇直角坐標(biāo)系，可使得波前面與一個(gè)坐標(biāo)軸（如軸）平行，此時(shí)方向余弦。這樣，波前面在軸方向上無(wú)限延伸，波函數(shù)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，于是有此時(shí)，式（29）中對(duì)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)變?yōu)?，則式（29）變?yōu)椋海?0）這說(shuō)明位移分量可以分為兩部分其中一部分時(shí)位于平面內(nèi)的位移分量和，它們只與和有關(guān)，含有波和波成份；另一部分是垂直于平面的位移分量，它只與和有關(guān)。且只含有波成份。這一結(jié)果表明，可將波和波作為一組與波分開(kāi)來(lái)處理。我們?cè)谟懻摬ê筒〞r(shí)使用位函數(shù)和然后由（30）式過(guò)渡到位移。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，記。（31）和滿足下面的波動(dòng)方程：（32）五．應(yīng)力連續(xù)：首先由虎克定律有：（33）（34）虎克定律闡述了應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系。再看應(yīng)變的定義式：（35）（36）應(yīng)變的定義式闡述了應(yīng)變和位移的關(guān)系。再由位移和位移位的關(guān)系式：（37）體應(yīng)變的關(guān)系式：（38）（39）（40）由以上各式可得到：將（37）式代入上式得到：式中：，故而故所以而（波函數(shù)滿足波動(dòng)方程）故（41）=（42）六．反射系數(shù)和透射系數(shù)以下的工作是使波函數(shù)滿足上面的邊界條件，為此將（21）~（24）式代入（25）式，并整理。首先代（25）式的第一式有：由于故上式變?yōu)椋簩?，，，，并且代入上式：?3）代入（25）式的二式有：由于故上式變?yōu)椋?，，，，，，，且故?44)應(yīng)力連續(xù)故代入(25)式第三式有：=+因?yàn)?，，，，，，，，且，故上式變?yōu)椋?(45)代入(25)式的四式：=由于，，，，，，，，，，且，故上式變?yōu)椋海?6）聯(lián)立（43）（44）（45）（46）有（47）由斯奈爾定律可得：代入（47）式中的第三式，并將其方程組的各項(xiàng)同除，得（48）此方程組稱為（Knott）方程，它反映了各波的位函數(shù)振幅之間的關(guān)系。其中的、、和分別為P波的反射系數(shù)，SV波的反射系數(shù)，P波的透射系數(shù)，SV波的透射系數(shù)。上述的反射