高中數(shù)學 指數(shù)函數(shù)及性質題課 新人教A必修1

.學點一學點二學點三學點四學點五學點六學點七.1.一般地，函數(shù)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是

，函數(shù)的定義域是

值域是

.2.函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)，當

時，在(-∞,+∞)上是增函數(shù)；當

時，在(-∞,+∞)上是減函數(shù).3.y=ax(a>0,且a≠1)的圖象一定過點

.當a>1時，若x>0,則y

，若x<0，則y

;當0<a<1時，若x>0,則y

,若x<0，則y

.4.函數(shù)y=2x-2的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向

平移

個單位得到的；函數(shù)y=ax-m(a>0,且a≠1,m>0)的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象向

平移個

單位得到的；函數(shù)y=ax+m(a>0,且a≠1,m>0)的圖象可以看成指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象向

平移個

單位得到的.y=ax(a＞0,且a≠1)自變量R（0,+∞）a>10<a<1(0,1)>1∈(0,1)∈(0,1)>1右2右m左m名師伴你行SANPINBOOK.5.函數(shù)y=ax和y=a-x的圖象關于

對稱；函數(shù)y=ax和y=-ax的圖象關于

對稱；函數(shù)y=ax和y=-a-x的圖象關于

對稱.6.當a>1時，af(x)>ag(x)

；當0<a<1時，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).7.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，則函數(shù)y=af(x),當a>1時，在區(qū)間D上是

函數(shù)；當0<a<1時，在區(qū)間D上是

函數(shù).y軸y軸原點f(x)>g(x)增（減）減（增）名師伴你行SANPINBOOK.學點一基本概念指出下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a>,且a≠1.）【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進行判斷.【解析】由定義，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù).由此可以確定（1）（5）（8）是指數(shù)函數(shù).（2）不是指數(shù)函數(shù).（3）是-1與指數(shù)函數(shù)4x的積.名師伴你行SANPINBOOK.(4)中底數(shù)-4<0,所以不是指數(shù)函數(shù).(6)是二次函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).(7)底數(shù)x不是常數(shù),不是指數(shù)函數(shù).【評析】基本初等函數(shù):一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及后面將要學到的對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，都有一定的形式,要注意定義的要求.名師伴你行SANPINBOOK.已知指數(shù)函數(shù)y=(m2+m+1)·（）x,則m=

.解：∵y=(m2+m+1)·（）x為指數(shù)函數(shù),∴m2+m+1=1,即m2+m=0,∴m=0或-1.0或-1名師伴你行SANPINBOOK.學點二函數(shù)的定義域值域求下列函數(shù)的定義域、值域:（1）y=2;（2）y=（）;（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.【分析】由于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)的定義域是R，所以函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)與函數(shù)f(x)的定義域相同，利用指數(shù)函數(shù)的單調性求值域.名師伴你行SANPINBOOK.【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4.∴定義域為{x|x∈R,且x≠4}.∴≠0,∴2≠1,∴y=2的值域為{y|y>0，且y≠1}.（2）定義域為x∈R.∵|x|≥0,∴y==≥=1,故y=的值域為{y|y≥1}.（3）定義域為R.∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1.故y=4x+2x+1+1的值域為{y|y>1}.名師伴你行SANPINBOOK.【評析】求與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的值域時，要充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調性.如第（1）小題切記不能漏掉y>0.（4）令≥0,得≥0,解得x<-1或x≥1.故定義域為{x|x<-1或x≥1}.值域為{y|y≥0,且y≠10}.名師伴你行SANPINBOOK.求下列函數(shù)的定義域:（1）y=2;（2）y=；（3）y=1-6.（1）要使函數(shù)有意義，必須1-x≠0，即x≠1,∴函數(shù)的定義域是{x|x∈R,且x≠1}.（2）要使函數(shù)有意義，必須-≥0,則≥2-1,∴-x2≥-1,即-1≤x≤1,∴函數(shù)的定義域是{x|-1≤x≤1}.名師伴你行SANPINBOOK.（3）根據(jù)題意得1-6≥0,即6≤1=60.∵6>1,∴x2+x-2≤0.解得-2≤x≤1.∴函數(shù)的定義域是［-2,1］.名師伴你行SANPINBOOK.學點三比較大小比較下列各題中兩個數(shù)的大?。海?）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.【分析】將所給指數(shù)值化歸到同一指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)單調性比較大??；若不能化歸為同一底數(shù)時，或求范圍或找一個中間值再比較大小.名師伴你行SANPINBOOK.【解析】（1）指數(shù)函數(shù)y=1.7x，由于底數(shù)1.7>1，∴指數(shù)函數(shù)y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函數(shù).∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.（2）函數(shù)y=0.8x，由于0<0.8<1,∴指數(shù)函數(shù)y=0.8x在(-∞,+∞)上為減函數(shù).∵-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2.（3）由指數(shù)函數(shù)的性質得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.【評析】比較大小一般用函數(shù)單調性，而比較1.70.3與0.93.1的大小，可在兩數(shù)間插入1，它們都與1比較大小可得結論，注意此類題在求解時，常插入0或±1.名師伴你行SANPINBOOK.比較下列各題中數(shù)的大?。?1)-0.8,-0.9;(2)-0.23,-0.25;(3)(3+2),(-1).(1)∵y=x在R上是減函數(shù),又∵-0.8>-0.9,∴(2)∵-0.25=0.25,∴由y=x在R上是增函數(shù)得即.(3)∵,而y=為R上的減函數(shù),∴.即.名師伴你行SANPINBOOK.學點四最值問題求函數(shù)y=，x∈［-3,2］的最大值和最小值.【分析】令=t，化函數(shù)為關于t的二次函數(shù)，再求解.【解析】令=t,∵x∈［-3,2］,∴t∈,∴y==t2-t+1=,當t=時，y=;當t=8時，y=57.∴函數(shù)的最大值為57,最小值為.【評析】化為二次函數(shù),用配方法求解是一種常用的方法.名師伴你行SANPINBOOK.已知函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>1)在區(qū)間［-1,1］上的最大值是14,求a的值.令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a>1,∴t∈.原函數(shù)化為y=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴單調增區(qū)間是［-1,+∞),∴當t∈時,函數(shù)單調遞增,∴當t=a時,=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又∵a>1,∴a=3.名師伴你行SANPINBOOK.【解析】設u=-x2+3x+2=,則當x≥時,u是減函數(shù),當x≤時,u是增函數(shù),又當a>1時,y=au是增函數(shù),當0<a<1時,y=au是減函數(shù),所以當a>1時,原函數(shù)f(x)=a-x+3x+2在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)；當0<a<1時,原函數(shù)f(x)=在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).2a-x+3x+22學點五單調性的判定已知a>0，且a≠1,討論f(x)=a-x+3x+2的單調性2【分析】這是一道與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)討論單調性題.指數(shù)-x2+3x+2=當x≥時，是減函數(shù),x≤時，是增函數(shù),而f(x)的單調性又與0<a<1和a>1兩種范圍有關,應分類討論.名師伴你行SANPINBOOK.【評析】一般情況下,兩個函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù),則其復合函數(shù)是增函數(shù);如果兩個函數(shù)中一增一減,則其復合函數(shù)是減函數(shù).但一定要注意考慮復合函數(shù)的定義域.名師伴你行SANPINBOOK.討論函數(shù)f(x)=的單調性,并求其值域.∵f(x)的定義域為R,令u=-x2+2x,則f(u)=.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1］上是增函數(shù),即當時，有.又∵f(u)=在其定義域內為減函數(shù),∴.∴函數(shù)f(x)在(-∞,1］上為減函數(shù),同理可得f(x)在［1,+∞)上為增函數(shù).又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,f(u)=在(-∞,1］上是減函數(shù),∴f(u)≥.即f(x)的值域為名師伴你行SANPINBOOK.學點六函數(shù)的圖象及應用【解析】其圖象是由兩部分合成的，一是把y=2x的圖象向右平移1個單位，在x≥1的部分，二是把的圖象向右平移1個單位，在x<1的部分，對接處的公共點為(1,1)，如上圖.【分析】指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)常常由指數(shù)函數(shù)經(jīng)過平移變換、對稱變換、翻折變換等得到，經(jīng)過這些變換其性質與圖象將發(fā)生變化.畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象指出這個函數(shù)的一些重要性質.名師伴你行SANPINBOOK.由圖象可知函數(shù)有三個重要性質：（1）對稱性：對稱軸為x=1;（2）單調性：(-∞,1］上單調遞減，［1,+∞)上單調遞增；（3）函數(shù)的值域：［1,+∞).【評析】作較復雜函數(shù)的圖象（本題稱分段函數(shù)），要把各部分變換而得到一個整體，為了表示某部分是某個函數(shù)圖象的一部分，常畫出一些虛線進行襯托，虛線部分不是函數(shù)圖象上的點，應注意區(qū)別.名師伴你行SANPINBOOK.畫出函數(shù)y=2x-1+1的圖象，然后指出其單調區(qū)間及值域.先畫出指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象，然后將其向右平移一個單位，再向上平移一個單位即可，由圖象可看出函數(shù)的單調增區(qū)間為(-∞,+∞),函數(shù)的值域為(1,+∞).名師伴你行SANPINBOOK.設a>0，f(x)=在R上滿足f(-x)=f(x).（1）求a的值；（2）證明：f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).【分析】f(-x)=f(x)說明f(x)是偶函數(shù)，由此求a；單調性只能用定義證明.【解析】（1）因為對一切x∈R有f(x)=f(-x)，即，所以對一切x∈R成立.由此可得即a2=1.又因為a>0，所以a=1.學點七指數(shù)函數(shù)的綜合應用名師伴你行SANPINBOOK.【評析】指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的性質是學習的重點，研究這些性質，使用的方法仍是前面學習的基本方法.（2）證明：∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).名師伴你行SANPINBOOK.設a是實數(shù)，f(x)=a-(x∈R).（1）證明：不論a為何實數(shù)，f(x)均為增函數(shù)；（2）試確定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.(1)證明：設x1,x2∈R，且x1<x2，x1-x2<0,則f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)==.由于指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且x1<x2,所以