2022年山西省呂梁市時代中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析

2022年山西省呂梁市時代中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若向量，，滿足，則x=（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：A【分析】根據(jù)向量的坐標運算，求得，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，則向量，所以，解得，故選A.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，及向量的數(shù)量積的坐標運算的應用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的坐標運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.2.若不等式在t∈(0,2]上恒成立，則a的取值范圍是()A.

B.

C.

D.參考答案：B3.將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象的一條對稱軸方程可能是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關系進行求解即可．【解答】解：將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y=sin（），由=+kπ，即+2kπ，k∈Z，∴當k=0時，函數(shù)的對稱軸為，故選：D．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換關系以及三角函數(shù)對稱軸的計算，求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．4.函數(shù)的圖象大致是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A5.已知一個高為3且其底面是有一個內(nèi)角為60°的菱形的直四棱柱直立在水平桌面上，若該直四棱柱的正視圖的最小面積為，則直四棱柱的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】確定有一個內(nèi)角為60°的菱形的高為，可得菱形的一條邊長為，即可求出直四棱柱的體積．【解答】解：由直四棱柱的正視圖的最小面積為，可得有一個內(nèi)角為60°的菱形的高為，則菱形的一條邊長為，∴底面的面積為=，∴直四棱柱的體積為=，故選：C．【點評】本題考查直四棱柱的體積，考查學生的計算能力，確定菱形的一條邊長為是關鍵．6.設全集則上圖中陰影部分表示的集合（

）A．

B．C．

D．參考答案：A7.如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某四棱錐的三視圖，則此幾何體

的表面積為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C如圖所示，可將此幾何體放入一個邊長為2的正方體內(nèi)，則四棱錐即

為所求，且，，可求得表面積為.8.某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖1所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為（

）A.6萬元

B.8萬元

C.10萬元

D.12萬元

參考答案：C略9.設全集，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先化簡集合A,B，再結合集合補集交集的定義進行求解即可．【詳解】，，則或，則，故選：．10.某汽車租賃公司為了調(diào)查A，B兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機抽取這兩種車型各50輛，分別統(tǒng)計了每輛車在某個星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:

A型車

B型車出租天數(shù)34567車輛數(shù)330575出租天數(shù)34567車輛數(shù)101015105

根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，判斷這兩種車型在本星期內(nèi)出租天數(shù)的方差的大小關系為（

）

A．

B． C．

D．無法判斷參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（坐標系與參數(shù)方程選做題）以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線的極坐標方程為，它與曲線為參數(shù)）相交于A和B兩點，則AB=

．參考答案：略12.從如圖所示的由9個單位小方格組成的3×3方格表的16個頂點中任取三個頂點，則這三個點構成直角三角形的概率為 .參考答案：

13.直角坐標系中，圓C的參數(shù)議程是（

為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，則圓心C的極坐標是

。參考答案：14.在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，則∠C的大小為_________

參考答案：15.已知球O的表面積是36π，A，B是球面上的兩點，∠AOB=60°，C時球面上的動點，則四面體OABC體積V的最大值為．參考答案：【考點】球的體積和表面積．【分析】球O的表面積為36π，可得半徑為3，當CO垂直于面AOB時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，即可求出三棱錐O﹣ABC的體積的最大值．【解答】解：：球O的表面積為36π，半徑為3，當CO垂直于面AOB時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，此時VO﹣ABC=VC﹣AOB==故答案為：，16.已知復數(shù)滿足＝3，則復數(shù)的實部與虛部之和為__________．參考答案：略17.自治區(qū)教科院用分層抽樣的方法，從某校600份文理科試卷中抽取部分試卷進行樣本分析，其中抽取文科試卷若干份，每份文科試卷被抽到的概率為，則理科試卷共有

份．參考答案：450【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】利用分層抽樣性質(zhì)和概率性質(zhì)求解．【解答】解：∵用分層抽樣的方法，從某校600份文理科試卷中抽取部分試卷進行樣本分析，其中抽取文科試卷若干份，每份文科試卷被抽到的概率為，∴文科試卷共有600×=150，∴理科試卷共有600﹣150=450份．故答案為：450．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知圓和直線．(1)求證：對總有兩個不同的交點A、B；（2）求弦AB中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線？參考答案：1）圓心C(0,1)，半徑則圓心到直線l的距離（或此直線恒過一個定點，且這個定點在圓內(nèi)。）2)19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）．（1）若橢圓的兩個焦點與一個短軸頂點構成邊長為2的正三角形，求橢圓的標準方程；（2）過右焦點（c，0）的直線l與橢圓C交于A、B兩點，過點F作l的垂線，交直線x=于P點，若的最小值為，試求橢圓C率心率e的取值范圍．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程．【分析】（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a，b即可．（2）設直線l的方程，A，B，P坐標，|PF|=．聯(lián)立，化為：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．|AB|==．=≥．即可求得橢圓C率心率e的取值范圍【解答】解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴橢圓的標準方程為=1．（2）設直線l的方程為：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．P（）|PF|=．聯(lián)立，化為：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．∴y1+y2=﹣，y1?y2=，∴|AB|==．∴=≥．令，?b2t2﹣2cbt+c2≥0，上式在t≥1時恒成立，∴橢圓C率心率e的取值范圍為（0，1）20.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程以平面直角坐標系的原點O為極點，軸的正半軸為極軸，已知點P的直角坐標為(1,－5)，點M的極坐標為，若直線過點P，且傾斜角為，圓C以M為圓心，4為半徑.（1）求直線的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程；（2）試判定直線與圓C的位置關系.參考答案：解析：（1）直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），則（為參數(shù)），點的直角坐標為，圓方程，且，代入得圓極坐標方程；（2）直線的普通方程為，圓心到的距離為，∴直線與圓相離．

21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，PC=PD=，E為PA中點．（Ⅰ）求證：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在點M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）設AC與BD的交點為F，連結EF，推導出EF∥PC．由此能證明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中點O，連結PO．推導出PO⊥CD，取AB中點G，連結OG，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）設M是棱PC上一點，則存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在點M，使得BM⊥AC．此時，=【解答】（共14分）證明：（Ⅰ）設AC與BD的交點為F，連結EF．因為ABCD為矩形，所以F為AC的中點．在△PAC中，由已知E為PA中點，所以EF∥PC．又EF?平面BFD，PC?平面BFD，所以PC∥平面BED．…（Ⅱ）取CD中點O，連結PO．因為△PCD是等腰三角形，O為CD的中點，所以PO⊥CD．又因為平面PCD⊥平面ABCD，PO?平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中點G，連結OG，由題設知四邊形ABCD為矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，則A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．設平面PAC的法向量為=（x，y，z），則，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量為=（1，0，0）．設的夾角為α，所以cosα==．由圖可知二面角A﹣PC﹣D為銳角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值為．…（Ⅲ）設M是棱PC上一點，則存在λ∈[0，1]使得．因此點M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因為∈[0，1]，所以在棱PC上存在點M，使得BM⊥AC．此時，=．

…22.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=2sin2x+sin（2x﹣B）（x∈R）的最大值．參考答案：【考點】正弦定理；三角函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和和差角的三角函數(shù)公式可得cosB，可得角B；（Ⅱ）由（Ⅰ）和三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x﹣），易得函數(shù)最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（A+C），∴由正弦定理可得sinBc