2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市常寧曲潭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題

2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市常寧曲潭中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.，，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略2.已知，執(zhí)行下列程序框圖，則輸出結(jié)果共有（

）A．3種

B．4種

C．5種

D．6種參考答案：B考點：流程圖【名師點睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.3.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知是偶函數(shù)且，若且，則與的關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.不確定參考答案：C略4.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0，π]上恰好取得一次最大值，則ω的取值范圍是（

）A.[） B.[] C.[） D.[]參考答案：D【分析】化簡可得，由是函數(shù)含原點的遞增區(qū)間，又因為函數(shù)在上遞增，，可列出不等式組，求解得到，又函數(shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值，可得到不等式，由此求出，綜上即可得到結(jié)果.【詳解】，即，是函數(shù)含原點的遞增區(qū)間，又因為函數(shù)在上遞增，，得不等式組：，又，又函數(shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，即函數(shù)在處取得最大值，可得，，綜上，可得.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及三角恒等變換化簡，根據(jù)題中條件列出不等式組是解本題的關(guān)鍵，屬難題.5.若曲線在點處的切線與兩個坐標軸為成的三角形面積為18，則（）

A．64

B．32

C．16

D．8參考答案：A6.已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣lnx，對定義域內(nèi)任意x都有f（x）≥kx﹣2，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，1﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[﹣，+∞） D．[1﹣，+∞）參考答案：A【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】問題轉(zhuǎn)化為k≤1+﹣對x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+﹣，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出k的范圍即可．【解答】解：f（x）=x﹣1﹣lnx，若對定義域內(nèi)任意x都有f（x）≥kx﹣2，則k≤1+﹣對x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+﹣，則g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e2，故g（x）在（0，e2）遞減，在（e2，+∞）遞增，故g（x）的最小值是g（e2）=1﹣，故k≤1﹣，故選：A．7.已知集合，，則（

）A.0

B.3

C.4

D.3或4參考答案：D3或48.若過點P（a，a）與曲線f（x）=xlnx相切的直線有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，e） B．（e，+∞） C．（0，） D．（1，+∞）參考答案：B【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】設(shè)切點為（m，mlnm），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩點的斜率公式可得=，設(shè)g（m）=，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，由題意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：設(shè)切點為（m，mlnm），f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，可得切線的斜率為1+lnm，由切線經(jīng)過點P（a，a），可得1+lnm=，化簡可得=，（*），由題意可得方程（*）有兩解，設(shè)g（m）=，可得g′（m）=，當m＞e時，g′（m）＜0，g（m）遞增；當0＜m＜e時，g′（m）＞0，g（m）遞減．可得g（m）在m=e處取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故選：B．9.函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：A、當時，，所以不正確；B、當時，，所以不正確；D、當時，，所以不正確；綜上所述，故選C.1考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì).【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.本題主要是利用特殊點排除法解答的.10.如圖，在平面四邊形ABCD中，若AB=2，CD=3，則=(

)A．﹣5 B．0 C．3 D．5參考答案：A【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的三角形法則和數(shù)量積運算即可得出．【解答】解：∵=+，=+，∴+=+++=﹣，∴（+）?（+）=（﹣）?（+）=2﹣2=22﹣32=﹣5．故選：A．【點評】熟練掌握向量的三角形法則和數(shù)量積運算是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為雙曲線的左準線與x軸的交點，點，若滿足的點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為

.參考答案：12.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有下列四個命題:

①若；②，則；③若則且；④若其中正確的命題是

．（寫出所有真命題的序號）．參考答案：②④13.設(shè)函數(shù)f(x)=x-,對任意x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______

__.參考答案：14.等差數(shù)列前n項和為，已知，

，則=_______.參考答案：4028略15.已知點A1（a1，1），A2（a2，2），…，An（an，n）（n∈N*）在函數(shù)y=logx的圖象上，則數(shù)列{an}的通項公式為；設(shè)O為坐標原點，點Mn（an，0）（n∈N*），則△OA1M1，△OA2M2，…，△OAnMn中，面積的最大值是．參考答案：an=（）n,

【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由對數(shù)函數(shù)可得通項公式，又可得△OAnMn的面積Sn的表達式，由函數(shù)的單調(diào)性可得．【解答】解：由題意可得n=logan，∴an=（）n，又可得△OAnMn的面積Sn=×an×n=n（）n，構(gòu)造函數(shù)y=x（）x，可判函數(shù)單調(diào)遞減，∴當n=1時，Sn取最大值故答案為：an=（）n；【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．16.若，，，則從小到大的順序為

.參考答案：試題分析：，，，故.17.如圖，等腰三角形OAB的頂點A，B的坐標分別為（6，0），（3，3），AB與直線y=x交于點C，在△OAB中任取一點P，則點P落在陰影部分的概率為

．參考答案：考點：幾何概型．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：求出直線AB的方程與直線y=x交于點C（4，2），再求出面積，即可求出點P落在陰影部分的概率．解答： 解：A，B的坐標分別為（6，0），（3，3），方程為y=﹣x+6，與直線y=x交于點C（4，2），∴陰影部分的面積為=3，∵等腰三角形OAB的面積為=9，∴點P落在陰影部分的概率為P==．故答案為：．點評：本題考查點P落在陰影部分的概率，考查學(xué)生的計算能力，確定面積是關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某購物網(wǎng)站為了解顧客對某商品的滿意度，隨機調(diào)查50名顧客對該商品的評價，具體數(shù)據(jù)如下評分12345人數(shù)x20105y已知這50位顧客中評分小于4分的顧客占80%．（Ⅰ）求x與y的值；（Ⅱ）若將頻率視為概率，現(xiàn)從對該商品作出了評價的顧客中，隨機抽取一位，記該顧客的評分為X，求隨機變量X的分布列一與數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【專題】應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）列出題意：x+20+10=50×80%，5+y=50×20%，即可求解．（Ⅱ）確定隨機變量，分別求解概率，列出分布列，運用公式求解X的數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）依題意得，x+20+10=50×80%，5+y=50×20%，解得x=10，y=5．…（Ⅱ），，，，…所以X的分布列為X12345P0.20.40.20.10.1X的數(shù)學(xué)期望為EX=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1+5×0.1=2.5．…【點評】本題考查了離散型的概率分布，數(shù)學(xué)期望，仔細閱讀理解題意，利用排列組合知識求解，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，，前項和為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求滿足不等式的值．參考答案：解：（1）由，得當時

∴

，即

，∴（）------3分又，得，

∴，

∴適合上式∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列∴

------------6分（2）∵數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴

-----------…9分又∵，∴不等式＜

即得：＞，

∴n=1或n=2

…………12分

20.(本小題滿分13分)已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時,.(Ⅰ)求當時，的表達式；(Ⅱ)求滿足不等式的的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)當時，，，…………………2分又為奇函數(shù),，…………………4分即．…………5分又，即，……………6分故當時，．……………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上是增函數(shù)，…………9分，………………10分即………………11分解得.………13分21.如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A，B外的一個動點，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；（2）當三棱錐C﹣ADE體積最大時，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面ACD；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，確定體積最大時的條件，建立空間坐標系，利用向量法即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：因為AB是直徑，所以BC⊥AC，…1分，因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC

…2分，因為CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD

…3分因為CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四邊形，BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，…4分，因為DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD

…5分（2）因為DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知===，，當且僅當AC=BC=2時等號成立

…8分如圖所示，建立空間直角坐標系C﹣xyz，則D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），則=（﹣2，2，0），=（0，0，1），=（0，2，0），=（2，0，﹣1）…9分，設(shè)面DAE的法向量為=（x，y，z），則，取=（1，0，2），設(shè)面ABE的法向量為=（x，y，z），則，取=（1，1，0），…12分，則cos＜＞==，結(jié)合圖象可以判斷二面角D﹣AE﹣B的余弦值為﹣，…13分【點評】本題主要考查空間面面垂直的判定依據(jù)空間二面角的求解，利用向量法是解決空間二面角的常用方法．22.已知函數(shù)f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）（Ⅰ）當a=﹣1時，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）證明：f（x）≥2．參考答案：【考點】絕對