2021-2022學(xué)年湖南省益陽(yáng)市廖家中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省益陽(yáng)市廖家中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，，AB=2,AC＝1，E,F為BC的三等分點(diǎn)，則＝A、B、C、D、參考答案：B由知，以所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，于是，據(jù)此，，故選B2.在中，，若點(diǎn)為的內(nèi)心，則的值為(

)

A．2

B．

C．3

D．參考答案：D3.已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】求出不等式q的等價(jià)條件，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要條件，∴k＞2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．4.定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)的“新駐點(diǎn)”分別為，則的大小關(guān)系為

A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.已知曲線C：與直線L：，則C與L的公共點(diǎn)A.有2個(gè)

B.

最多1個(gè)

C.

至少1個(gè)

D.

不存在參考答案：C6.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，則函數(shù)的最大值為A．2 B．4 C．5 D．6參考答案：D作出可行域如下圖，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，最大，由得，所以的最大值為6．7.在△ABC中，a，b，c分別為∠A、∠B、∠C、的對(duì)邊，若向量和平行，且，當(dāng)△ABC的面積為時(shí)，則b=(

)A． B．2 C．4 D．2+參考答案：B考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．分析：利用向量共線的充要條件得a，b，c的關(guān)系，利用三角形的面積公式得到a，b，c的第二個(gè)關(guān)系，利用三角形的余弦定理得到第三個(gè)關(guān)系，解方程組求出b．解答：解：由向量和共線知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B為銳角，③，聯(lián)立①②③得b=2．故選項(xiàng)為B點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線的充要條件，三角形的面積公式及三角形中的余弦定理8.已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣與垂直，則||=（） A． B． C．2 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角． 【專題】平面向量及應(yīng)用． 【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算先求出，然后根據(jù)向量垂直的條件列式求出x的值，最后運(yùn)用求模公式求||． 【解答】解∵，， ∴2=（3，x），由?3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=， ∴或，∴||=，或||=． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，若，，則?x1x2+y1y2=0． 9.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且在[0,+∞)上為增函數(shù)，從區(qū)間(-5，5)上任取一個(gè)數(shù)x，則使不等式成立的概率為(

)．A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可以解出不等式的解集，然后利用幾何概型公式，進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以，在上為增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，從區(qū)間(-5，5)上任取一個(gè)數(shù)，則使不等式成立的概率為，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型、奇函數(shù)的性質(zhì).值得注意的是:當(dāng)奇函數(shù)在時(shí)，沒(méi)有定義，如果在單調(diào)遞增，那么在整個(gè)定義域內(nèi)，就不一定是增函數(shù).10.以＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為(

)A．＝1

B．＝1

C．＝1

D．

＝1參考答案：答案：

A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α是第一象限角，且sin（π﹣α）=，則tanα=．參考答案：【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式，求得tanα的值．【解答】解：∵α是第一象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα==，則tanα==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，則x+y的最小值為

．參考答案：8考點(diǎn)：基本不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：變形利用基本不等式即可得出．解答： 解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，當(dāng)且僅當(dāng)y=3，（x=5）時(shí)取等號(hào)．∴x+y的最小值為8．故答案為：8．點(diǎn)評(píng)：本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=2PC=2，是邊長(zhǎng)為的正三角形，則三棱錐P-ABC的外接球半徑為_(kāi)________.參考答案：由題意可得PC⊥平面ABC，以PC為一條側(cè)棱，△ABC為底面把三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，則該直三棱柱的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，且該直三棱柱上、下底面的外接圓圓心連線的中點(diǎn)就是球心，因?yàn)榈酌嫱饨訄A的半r=1，所以三棱錐P-ABC的外接球半徑.14.若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=x2，則x＜0時(shí)，f（x）=

，若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

．參考答案：﹣x2；[，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣x2，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2∴當(dāng)x＜0，有﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2，∴﹣f（x）=x2，即f（x）=﹣x2，∴f（x）=，∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（x），f（x+t）≥2f（x）=f（x），又∵函數(shù)在定義域R上是增函數(shù)故問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)x屬于[t，t+2]時(shí)x+t≥x恒成立?（﹣1）x﹣t≤0恒成立，令g（x）=（﹣1）x﹣t，g（x）max=g（t+2）≤0解得t≥．∴t的取值范圍t≥，故答案為：﹣x2；[，+∞）．15.（5分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0），過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為45°，則弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．參考答案：（3，2）【考點(diǎn)】：直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：根據(jù)題意確定出拋物線C解析式，以及直線l解析式，聯(lián)立兩解析式消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理求出x1+x2=6，進(jìn)而確定出弦AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可確定出弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)．解：根據(jù)題意得：拋物線C解析式為y2=4x，∵過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為45°，∴直線l解析式為y=x﹣1，聯(lián)立得：，消去y得：（x﹣1）2=4x，即x2﹣6x+1=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=6，即弦AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，把x=3代入y=x﹣1得：y=2，則弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），故答案為：（3，2）．【點(diǎn)評(píng)】：此題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，韋達(dá)定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，確定出拋物線與直線解析式是解本題的關(guān)鍵．16.公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝9，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差為

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．D22

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知3a2＝9，所以a2＝3，又a＝(a2－d)(a2＋3d)，解得d＝2.故選B.【思路點(diǎn)撥】設(shè)出數(shù)列的公差，利用a1＋a2＋a3＝9，求得a1和d關(guān)系同時(shí)利用a1、a2、a3成等比數(shù)列求得a1和d的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得d．17.若x，y滿足約束條件則的最小值為

．參考答案：畫(huà)出x，y滿足約束條件的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)Q（﹣2，﹣1）的斜率，當(dāng)P位于A（﹣1，1）時(shí)，此時(shí)QA的斜率最大，此時(shí)zmax==2，當(dāng)P位于B（1，1）時(shí)，此時(shí)直線的斜率最小，目標(biāo)函數(shù)z=的最小值是．故答案為：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列前項(xiàng)和.數(shù)列滿足，數(shù)列滿足。（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（1）由已知和得，當(dāng)時(shí)，

又，符合上式。故數(shù)列的通項(xiàng)公式。又∵，∴，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

（2），

，，①-②得，∴。

（3）∵,∴,

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴。

若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，則即可，

解得或19.(本小題滿分12分)已知f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2.若當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，f(x)的最大值為m，最小值為n，求m－n的值．

參考答案：略20.（本題滿分12分）復(fù)數(shù)，（其中，為虛數(shù)單位）.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)、能否表示同一個(gè)點(diǎn)，若能，指出該點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)；若不能，說(shuō)明理由．參考答案：設(shè)復(fù)數(shù)，能表示同一個(gè)點(diǎn)，則

……3分解得或，

………………7分當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)；

……………9分當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)；

……………11分綜上，復(fù)平面上該點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)為或．

……………12分21.已知函數(shù)（1）若在是增函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知，對(duì)于函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn),，其中，直線的斜率為，記，若求證：.參考答案：解：（1）由得，又當(dāng)時(shí)，，所以（II），，，要證，只要證，即設(shè)，則，顯然令，考慮在上的單調(diào)性令

恒成立

則有

成立略22.（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1（﹣2，0），點(diǎn)B（2，）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得無(wú)論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【分析】（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1（a＞b＞0），結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2，b2的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫(xiě)出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（±2，0），即可判斷存在點(diǎn)P．【解答】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），則c=2，a2﹣b2=c2，+=1，解得：a2=8，b2=4．可得橢圓C的方程為+=1；（Ⅱ）如圖，設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0