2021-2022學(xué)年湖北省隨州市私立女子職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年湖北省隨州市私立女子職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的圖象大致是（

）A. B.C. D.參考答案：A本題可以充分利用選項(xiàng)的漸近線以及函數(shù)在一定的區(qū)域上的符號(hào)即可以判斷，如：當(dāng)當(dāng)時(shí)，恒有,故排除選項(xiàng)D等等.解答：因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除C；當(dāng)時(shí)，恒有，故排除D；時(shí)，，故可排除B；故選A.說(shuō)明：本題考查函數(shù)的圖像.2.已知函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí),的取值范圍是A． B． C． D．

參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性；簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃因?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，所以由得，，即，即，其表示圓及其內(nèi)部，表示滿足的點(diǎn)P與定點(diǎn)A(-1,0)連線的斜率，結(jié)合圖形分析可得，直線AC的斜率最小，切線AB的斜率最大?！舅悸伏c(diǎn)撥】先由，且判斷出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，再結(jié)合表示的幾何意義求出范圍即可。

3.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知是定義域?yàn)?－∞,+∞)的奇函數(shù),滿足.若，則（

）A.1 B.0 C.2 D.50參考答案：C分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．5.的值為（

）． A． B． C． D．參考答案：A∵．故選．6.設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的值等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C解：令c=π，則對(duì)任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，則對(duì)任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，選C7.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)(

)A. B.

C.

D.參考答案：A8.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則=（）A. B. C.1 D.﹣1參考答案：A【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性確定函數(shù)周期性，再根據(jù)周期將自變量化到[-1,0]，代入解析式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又是R上的奇函數(shù)，所以，即，，從而=，選A.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用函數(shù)奇偶性求周期性并利用周期性求解函數(shù)值，考查轉(zhuǎn)化求解能力.9.數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=，并且an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），則該數(shù)列的第2015項(xiàng)為(

) A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用遞推關(guān)系式推出{}為等差數(shù)列，然后求出結(jié)果即可．解答： 解：∵an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），∴anan﹣1+anan+1=2an+1an﹣1（n≥2），兩邊同除以an﹣1anan+1得：=+，即﹣=﹣，即數(shù)列{}為等差數(shù)列，∵a1=1，a2=，∴數(shù)列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴an=，即a2015=，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，判斷數(shù)列是等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．10.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，若，則的值

(

）A．恒為負(fù)值

B．恒等于零

C．恒為正值

D．無(wú)法確定正負(fù)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列命題：①半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為的扇形面積為；②若、為銳角，則；③函數(shù)的一條對(duì)稱軸是；④是函數(shù)為偶函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件.其中真命題的序號(hào)是

.參考答案：②③④12.已知函數(shù)，等于拋擲一顆均勻的正六面體骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則在上有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)的概率是．參考答案：13.若，則cos2θ=

．參考答案：【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案為：﹣．14.已知平面上的向量、滿足,，設(shè)向量，則的最小值是

。參考答案：答案：215.如圖,在三棱錐中,、、兩兩垂直,且．設(shè)是底面內(nèi)一點(diǎn),定義,其中、、分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積．若,且恒成立,則正實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____________.參考答案：1略16.執(zhí)行右圖所示的程序框圖后，輸出的值為，則的取值范圍為

．參考答案：略17.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.2019年4月，甲乙兩校的學(xué)生參加了某考試機(jī)構(gòu)舉行的大聯(lián)考，現(xiàn)對(duì)這兩校參加考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，考生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布，從甲乙兩校100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷，并將這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖：（1）試通過(guò)莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；（2）若把數(shù)學(xué)成績(jī)不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)？（3）從所有參加此次聯(lián)考的學(xué)生中（人數(shù)很多）任意抽取3人，記數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?34分以上的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．參考公式與臨界值表：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828

參考答案：（1）甲，乙；（2）沒(méi)有90％的把握；（3）.【分析】（1）由莖葉圖的中位數(shù)計(jì)算即可；（2）得2×2列聯(lián)表，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2，結(jié)合臨界值表可得；（3）因，所以，,由題意可知，計(jì)算即可.【詳解】（1）由莖葉圖可知：甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為，乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為，所以這40份試卷的成績(jī)，甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)高．（2）由題意，作出列聯(lián)表如下：

甲校乙校合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀10717數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀101323合計(jì)202040

計(jì)算得的觀測(cè)值，所以沒(méi)有90的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)．（3）因?yàn)椋?，，所以，所以，由題意可知，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖的中位數(shù)，獨(dú)立性檢驗(yàn)和正態(tài)分布與二項(xiàng)分布的綜合，屬于中檔題.19.已知點(diǎn)M（3，1），直線ax﹣y+4=0及圓（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（1）求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程；（2）若直線ax﹣y+4=0與圓相切，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】（1）根據(jù)圓的切線到圓心的距離等于半徑，可得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)方程為x=3，符合題意．而直線的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)斜式列式并結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，得到切線方程為3x﹣4y﹣5=0，即可得到答案．（2）根據(jù)圓的切線到圓心的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于a的方程，解之即可得到a的值．【解答】解：（1）∵圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，∴圓心C（1，2），半徑r=2，①當(dāng)過(guò)M點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=3，由圓心C（1，2）到直線x=3的距離d=3﹣1=2=r知，此時(shí)直線與圓相切．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0．根據(jù)題意，可得=2，解得k=，此時(shí)切線方程為y﹣1=（x﹣3），即3x﹣4y﹣5=0綜上所述，過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x=3或3x﹣4y﹣5=0．（2）由題意，直線ax﹣y+4=0到圓心的距離等于半徑，可得，解之得a=0或．【點(diǎn)評(píng)】本題給出直線與圓相切，求切線的方程與參數(shù)a的值．著重考查了圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．20.（本小題共14分）已知實(shí)數(shù)組成的數(shù)組滿足條件：①；

②.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求，的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè),且，

求證：.參考答案：(Ⅰ)解：

由（1）得，再由（2）知，且.當(dāng)時(shí)，.得，所以……………2分當(dāng)時(shí)，同理得………………4分（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，由已知,.所以.………………9分（Ⅲ）證明：因?yàn)?，?所以,即

.……………11分).……………14分21.選修4-5：不等式證明選講已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值為1．（1）求證：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）法一：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出f（x）的最小值，得到x=時(shí)取等號(hào)，證明結(jié)論即可；法二：根據(jù)f（x）的分段函數(shù)的形式，求出f（x）的最小值，證明即可；（2）法一，二：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為≥t恒成立，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出的最小值，從而求出t的范圍即可；法三：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)，即f（x）的最小值為a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，顯然f（x）在（﹣∞，]上單調(diào)遞減，f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）的最小值為f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b）?=（1+4++），當(dāng)a=b=時(shí)，取得最小值，∴≥t，即實(shí)數(shù)t的最大值為；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即實(shí)數(shù)t的最大值為；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，實(shí)數(shù)t的最大值為．22.（本小題滿分12分）已知為等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；（Ⅱ）若數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.參考答案：解（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為，①-②得