2021-2022學年浙江省衢州市第五高級中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學年浙江省衢州市第五高級中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)在函數(shù)f(x)=的圖象上，則數(shù)列{an}的通項公式為（）A．B．C．D．參考答案：D【知識點】數(shù)列的遞推關(guān)系積分因為，，時，，時，

所以，

故答案為：D2.已知A、B、C是球O的球面上三點,三棱錐O-ABC的高為,且,,,則球O的表面積為(

)A.24π

B.32π

C.48π

D.192π參考答案：C3.設(shè)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由f（x）的圖象可得在y軸的左側(cè)，圖象下降，f（x）遞減，y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，即有y軸左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)先小于0，再大于0，最后小于0，對照選項，即可判斷．【解答】解：由f（x）的圖象可得，在y軸的左側(cè)，圖象下降，f（x）遞減，即有導(dǎo)數(shù)小于0，可排除C，D；再由y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，函數(shù)f（x）遞減，再遞增，后遞減，即有導(dǎo)數(shù)先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；則B正確．故選：B．4.在△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，則角B的值為（）A． B．或 C． D．或參考答案：B【考點】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，求出sinB的值，即可確定出B的度數(shù)．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac?cosBtanB=ac，即sinB=，則B=或．故選：B．【點評】此題考查了余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．5.已知共有項的數(shù)列，，定義向量、，若，則滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為

（

）

A.2

B.

C.

D.

參考答案：C6.四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角參考答案：D7.已知P={y|y=cosθ，θ∈R}，Q={x|x2+（1﹣）x﹣=0}，則P∩Q=（）A．? B．{0} C．{﹣1} D．參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論．【解答】解：P={y|y=cosθ，θ∈R}=[﹣1，1]，，∴P∩Q={﹣1}，故選C．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．8.為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為（

）A.

B.

C.

D.3參考答案：B略9.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)f(x)滿足：①f(x)在上是單調(diào)函數(shù)；②f(x)在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)f(x)的“和諧區(qū)間”．下列結(jié)論錯誤的是………（

）A．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”B．函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”C．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”D．函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”參考答案：D10.（5分）已知a=（）0.5，b=2﹣0.3，c=log23，則a，b，c大小關(guān)系為（）A．b＞a＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞aD．a(chǎn)＞b＞c參考答案：C【考點】：對數(shù)值大小的比較．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解：∵a=（）0.5=2﹣0.5＜b=2﹣0.3＜1，c=log23＞1，∴c＞b＞a．【點評】：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若等差數(shù)列{an}的前5項和=25，且，則

.參考答案：712.在四面體ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD與BC成角60°，且AD=，則BC等于

．參考答案：2考點：異面直線及其所成的角．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：如圖所示，長方體中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD與BC成角60°，則∠BCE=60°，即可求出BC．解答： 解：如圖所示，長方體中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD與BC成角60°，則∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案為：2．點評：本題考查異面直線所成的角，考查學生的計算能力，正確構(gòu)造圖形是關(guān)鍵．13.體積為18的正三棱錐A﹣BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R：BC=2：3，點E為線段BD上一點，且DE=2EB，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是

．參考答案：[8π，16π]【分析】利用體積公式，求出DB，R，進而求出OE，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)BC=3a，R=2a，則O到平面DCB的距離為OO′=a，三棱錐的高為3a，∴=18，∴a=2，∴DB=6，R=4．由余弦定理可得O′E==2，∴OE=2，與OE垂直的截面圓的半徑為=2，面積為π?8=8π，以O(shè)E所在直徑為圓的直徑的圓面積為π?16=16π，故答案為：[8π，16π]．【點評】本題考查三棱錐體積的計算，考查圓的面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．14.實數(shù)，滿足，目標函數(shù)的最大值為

．參考答案：-1如圖區(qū)域為開放的陰影部分，可求，函數(shù)過點時，.

15.（13分）已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，點Q在橢圓C上且滿足條件：=2，–2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點，且滿足OA⊥OB，若(∈R)且，試問：是否為定值．若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由。參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，∵e=，∴a=2c∴，．又–2

∴cos∠F1QF2=．由|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2–2|QF|·|QF2|cos∠F1QF2得a=2，c=1，b2=3∴橢圓C的方程為．

……5分（Ⅱ）依題意可知，點M為由點O向直線AB所作的垂線的垂足．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）當x1=x2時，直線OA、OB的斜率分別為±1，解方程組得x=±．∴．

……6分（2）當x1≠x2時，設(shè)AB的直線方程為：y=kx+m，代入得(3+4k2)x2+8mkx+4m2–12=0x1+x2=，x1·x2=

……8分∵，∴=∴7m2=12(k2+1)

∴

……11分又∵．綜上所述．

……13分16.數(shù)列{an}的通項公式為an＝，其前n項之和為10，則在平面直角坐標系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為________．參考答案：-120由已知，得an＝＝－，則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，∴－1＝10，解得n＝120，即直線方程化為121x＋y＋120＝0，故直線在y軸上的截距為－12017.已知O是坐標原點，點A（﹣1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域上的一個動點，則的最大值是

．參考答案：2【考點】簡單線性規(guī)劃；平面向量數(shù)量積的運算．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合向量數(shù)量積的公式，將結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則=﹣x+y，設(shè)z=﹣x+y，則y=x+z，平移直線y=x+z，當直線y=x+z經(jīng)過點A時，直線y=x+z的截距最大，此時z最大，由得，得A（0，2），此時z=﹣0+2=2，故的最大值是2，故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)，且的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，(Ⅰ)求的值(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值和最小值參考答案：19.已知函數(shù)f（x）=2ex﹣ax（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間（Ⅱ）若x≥0時，f（x）≥（x﹣a）2﹣ax﹣3恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令g（x）=2（ex﹣x+a），通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性從而確定a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2ex﹣a，a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，當a＞0時，由f′（x）＞0，得：x＞lna，由f′（x）＜0，得：x＜lna，f（x）在（lna，+∞）遞增，在（﹣∞，lna）遞減；（Ⅱ）由f（x）≥（x﹣a）2﹣ax﹣3，得2ex﹣（x﹣a）2+3≥0，令F（x）=2ex﹣（x﹣a）2+3，F(xiàn)′（x）=2（ex﹣x+a），令g（x）=2（ex﹣x+a），則g′（x）=2（ex﹣1）≥0，∴g（x）在[0，+∞）遞增，g（0）=2（1+a）；（i）當2（1+a）＜0即a＜﹣1時，F(xiàn)′（x）≥F′（0）≥0，F(xiàn)（x）在[0，+∞）遞增，要想F（x）≥0，只需F（0）=5﹣a2≥0，解得：﹣≤a≤，從而﹣1≤a≤；（ii）當2（1+a）＜0即a＜﹣1時，由g（x）在[0，+∞）遞增得：存在唯一x0使得g（x0）=2（﹣x0+a）=0，有=x0﹣a，令F′（x）＞0，解得：x＞x0，令F′（x）＜0，解得：0≤x＜x0，從而對于F（x）在x=x0處取最小值，F(xiàn)（x0）=2﹣+3，又x0=+a，F(xiàn)（x0）=﹣（+1）（﹣3），從而應(yīng)有F（x0）≥0，即﹣3≤0，解得：0＜x0≤ln3，而=x0﹣a可得a=x0﹣，∴l(xiāng)n3﹣3≤a＜﹣1，綜上，ln3﹣3≤a≤．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．20.某學校高一、高二、高三三個年級共有名教師，為調(diào)查他們的備課時間情況，通過分層抽樣獲得了名教師一周的備課時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：(1)試估計該校高三年級的教師人數(shù)；(2)從高一年級和高二年級抽出的教師中，各隨機選取一人，高一年級選出的人記為甲，高二年級選出的人記為乙，假設(shè)所有教師的備課時間相對獨立，求該周甲的備課時間不比乙的備課時間長的概率；(3)再從高一、高二、高三三個年級中各隨機抽取一名教師，他們該周的備課時間分別是(單位：小時)，這三個數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為，試判斷與的大小.(結(jié)論不要求證明)參考答案：(1)抽出的位教師中，來自高三年級的有名，根據(jù)分層抽樣方法，高三年級的教師共有

(人).(2)設(shè)事件為

“甲是現(xiàn)有樣本中高一年級中的第個教師”,

,事件

“乙是現(xiàn)有樣本中高二年級中的第個教師”，,由題意知：,.設(shè)事件為“該周甲的備課時間比乙的備課時間長”.由題意知，，所以，故.(3)，，三組總平均值，新加入的三個數(shù)的平均數(shù)為，比小，故拉低了平均值，.本題主要考查分層抽樣、相互獨立性事件同時發(fā)生的概率、平均數(shù)，考查了分析問題與解決問題的能力.(1)由分層抽樣法易得結(jié)論；(2)由相互獨立性事件同時發(fā)生的概率公式求解即可；(3)由平均數(shù)公式求解可得結(jié)論.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)當時，函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)的