2021-2022學年廣西壯族自治區(qū)南寧市兩江鎮(zhèn)中學高二數(shù)學理期末試卷含解析

2021-2022學年廣西壯族自治區(qū)南寧市兩江鎮(zhèn)中學高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的最小正周期為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由三角恒等變換得，再求其周期即可.【詳解】解：函數(shù)，則該函數(shù)的最小正周期為，故選C.【點睛】本題考查了三角恒等變換及三角函數(shù)的周期，屬基礎題.2.已知是兩個平面，是兩條直線，以下四個命題正確的個數(shù)為（

）①若

②若③若

④若A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A3.設z=x+y，其中實數(shù)x，y滿足，若z的最大值為12，則z的最小值為（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】先畫出可行域，得到角點坐標．再利用z的最大值為12，通過平移直線z=x+y得到最大值點A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如圖：由得：A（k，k），目標函數(shù)z=x+y在x=k，y=k時取最大值，即直線z=x+y在y軸上的截距z最大，此時，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目標函數(shù)z=x+y在x=﹣12，y=6時取最小值，此時，z的最小值為z=﹣12+6=﹣6，故選B．【點評】本題主要考查簡單線性規(guī)劃．解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數(shù)賦予幾何意義．4.雙曲線y2﹣=1的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±7x C．y=±x D．y=±x參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】雙曲線y2﹣=1的漸近線方程為y2﹣=0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．【解答】解：∵雙曲線y2﹣=1，∴雙曲線y2﹣=1的漸近線方程為y2﹣=0，即y=±x．故選C．5.下列說法中正確的是

(

)A．“”是直線“與直線平行”的充要條件；B．命題“”的否定是“”；C．命題“若，則方程有實數(shù)根”的逆否命題為：“若方程無實數(shù)根，則”；D．若為假命題，則p,q均為假命題。參考答案：C略6.若橢圓經(jīng)過點P（2，3），且焦點為F1(－2,0),F2(2,0)，則這個橢圓的離心率等于

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.在同一坐標系中，方程與的曲線大致是參考答案：D略8.在平行六面體,是上底面的中心，設,,,則=

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＞2ab B． C． D．參考答案：D【考點】基本不等式．【專題】綜合題．【分析】利用基本不等式需注意：各數(shù)必須是正數(shù)．不等式a2+b2≥2ab的使用條件是a，b∈R．【解答】解：對于A；a2+b2≥2ab所以A錯對于B，C，雖然ab＞0，只能說明a，b同號，若a，b都小于0時，所以B，C錯∵ab＞0∴故選：D【點評】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值時，必須注意滿足的條件：已知、二定、三相等．10.雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（）A．

B．2

C．

D．4參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.f（x）=x3+x﹣8在（1，﹣6）處的切線方程為

．參考答案：4x﹣y﹣10=0【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，再由點斜式方程可得切線的方程．【解答】解：f（x）=x3+x﹣8的導數(shù)為f′（x）=3x2+1，可得切線的斜率為k=3+1=4，即有切線的方程為y+6=4（x﹣1），化為4x﹣y﹣10=0．故答案為：4x﹣y﹣10=0．12.圓上的點到直線的距離的最大值與最小值的和為___________．參考答案：略13.棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為

．參考答案：27π【考點】球的體積和表面積．【分析】正方體的對角線就是球的直徑，求出后，即可求出球的表面積．【解答】解：正方體的對角線就是球的直徑，設其體對角線的長為l，則l==3，故答案為：27π．14.如圖在四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OB=OC=3，OA=4，給出如下判斷：①存在點D（O點除外），使得四面體DABC有三個面是直角三角形；②存在點D，使得點O在四面體DABC外接球的球面上；③存在唯一的點D使得OD⊥平面ABC；④存在點D，使得四面體DABC是正棱錐；⑤存在無數(shù)個點D，使得AD與BC垂直且相等．其中正確命題的序號是（把你認為正確命題的序號填上）．參考答案：①②④⑤【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】①，取D為長方體的一個頂點，使得A，B，C是與D相鄰的三個頂點，則可使四面體ABCD有3個面是直角三角形；②，取同①的點D，使得點O與D為相對的兩個長方體的頂點，利用長方體一定有外接球即可得出；③，過O可以作一條直線與面ABC垂直，點D可以是該直線上任意點；④，作△CBD為正三角形，使得AD=DB，則點D使四面體ABCD是正三棱錐．⑤過點A作BC的垂面，垂面內(nèi)過AD的每一條都垂直BC，；【解答】解：對于①，取D為長方體的一個頂點，使得A，B，C是與D相鄰的三個頂點，則可使四面體ABCD有3個面是直角三角形，故正確；對于②，∵二面角C﹣OA﹣B為直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的點D，使得點O與D為相對的兩個長方體的頂點，則點O在四面體ABCD的外接球球面上，故正確；對于③，過O可以作一條直線與面ABC垂直，點D可以是該直線上任意點，故錯④作△CBD為正三角形，使得AD=DB，則點D使四面體ABCD是正三棱錐，故正確．⑤過點A作BC的垂面，垂面內(nèi)過AD的每一條都垂直BC，故正確；故答案為：①②④⑤15.若過點（1，2）總可以作兩條直線和圓相切，則實數(shù)k的取值構成的集合是_________________.參考答案：16.若函數(shù)，則

。參考答案：略17.若正整數(shù)滿足，則的取值范圍是____________.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2＝1，求實數(shù)a的值；(2)是否存在實數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：略19.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X（單位：t，100≤X≤150）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．（Ⅰ）將T表示為X的函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率．參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（I）由題意先分段寫出，當X∈的頻率為0.7，利用樣本估計總體的方法得出下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值．【解答】解：（I）由題意得，當X∈時，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利潤T不少于57000元，當且僅當120≤X≤150．由直方圖知需求量X∈的頻率為0.7，所以下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7．【點評】本題考查用樣本的頻率分布估計總體分布及識圖的能力，求解的重點是對題設條件及直方圖的理解，了解直方圖中每個小矩形的面積的意義．20.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F(xiàn)是BB1的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）由于長方體中，因此只要證，這由中位線定理可得，從而可得線面平行；（2）以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補可得．【詳解】（1）證明：連接，∵分別為的中點，∴∵長方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在長方體中，分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，∴，，，設平面的一個法向量，則，取，則同樣可求出平面的一個法向量∴∴二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查用空間向量法求二面角．本題屬于基礎題型．21.

已知點是某直線上的點，以為圓心作圓．所作的圓與軸交于和兩點，記、的橫坐標分別為、．其中（1）證明是常數(shù)，并求數(shù)列的通項公式；（2）若l的方程為中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

參考答案：解：（1）因這頂點的等腰三角形，（1）從而由（2）—（1）得，顯然分別成等差數(shù)列．（2）當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，．作軸于

要使（※）當時，方程（※）無解．當n為偶數(shù)時，有．綜上所述