高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 第2章7

2．6曲線與方程2．曲線與方程[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.掌握證明已知曲線C的方程是f(x，y)＝0的方法和步驟．[知識(shí)鏈接]1．直線y＝x上任一點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等嗎？答：相等．2．到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)都在直線y＝x上，對(duì)嗎？答：不對(duì)．3．到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？為什么？答：y＝±x.在直角坐標(biāo)系中，到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)(x0，y0)滿足y0＝x0或y0＝－x0；即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離相等．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．2．點(diǎn)與曲線如果曲線C的方程是f(x，y)＝0，那么點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是f(x0，y0)＝0.要點(diǎn)一曲線與方程的概念例1證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy＝±k.證明①如圖，設(shè)M(x0，y0)是軌跡上的任意一點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)M與x軸的距離為|y0|，與y軸的距離為|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)(x1，y1)是方程xy＝±k的解，則x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是點(diǎn)M1到縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)M1到這兩條直線的距離的積是常數(shù)k，點(diǎn)M1是曲線上的點(diǎn)．由①②可知，xy＝±k是與兩條坐標(biāo)軸的距離的積為常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程．規(guī)律方法解決此類問題要從兩方面入手：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說(shuō)“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說(shuō)“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng)，才能說(shuō)曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程．跟蹤演練1判斷下列命題是否正確．(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的方程是y＝eq\r(r2－x2)；(2)過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線l的方程為|x|＝2.解(1)不正確．設(shè)(x0，y0)是方程y＝eq\r(r2－x2)的解，則y0＝eq\r(r2－x\o\al(2,0))，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝r2.兩邊開平方取算術(shù)平方根，得eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝r即點(diǎn)(x0，y0)到原點(diǎn)的距離等于r，點(diǎn)(x0，y0)是這個(gè)圓上的點(diǎn)．因此滿足以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．但是，以原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓上的一點(diǎn)如點(diǎn)(eq\f(r,2)，－eq\f(\r(3),2)r)在圓上，卻不是y＝eq\r(r2－x2)的解，這就不滿足曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解．所以，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的方程不是y＝eq\r(r2－x2)，而應(yīng)是y＝±eq\r(r2－x2).(2)不正確．直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|＝2的解．然而，坐標(biāo)滿足|x|＝2的點(diǎn)不一定在直線l上，因此|x|＝2不是直線l的方程，直線l的方程為x＝2.要點(diǎn)二由方程判斷曲線例2下列方程表示如圖所示的直線，對(duì)嗎？為什么？不對(duì)請(qǐng)改正．(1)eq\r(x)－eq\r(y)＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.解(1)中，曲線上的點(diǎn)不全是方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0的解，如點(diǎn)(－1，－1)等，即不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；(2)中，盡管“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，但以方程x2－y2＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在曲線上，如點(diǎn)(2，－2)等，即不符合“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一結(jié)論；(3)中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”．事實(shí)上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲線應(yīng)該是下圖的三種情況：規(guī)律方法判斷方程表示什么曲線，必要時(shí)要對(duì)方程適當(dāng)變形，變形過(guò)程中一定要注意與原方程等價(jià)，否則變形后的方程表示的曲線就不是原方程的曲線．跟蹤演練2求方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0所表示的曲線．解依題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－1≥0，))或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.綜上可知，原方程所表示的曲線是射線x＋y－1＝0(x≥1)和直線x＝1.要點(diǎn)三曲線與方程關(guān)系的應(yīng)用例3若曲線y2－xy＋2x＋k＝0過(guò)點(diǎn)(a，－a)(a∈R)，求k的取值范圍．解∵曲線y2－xy＋2x＋k＝0過(guò)點(diǎn)(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2).∴k≤eq\f(1,2)，∴k的取值范圍是(－∞，eq\f(1,2)]．規(guī)律方法(1)判斷點(diǎn)是否在某個(gè)方程表示的曲線上，就是檢驗(yàn)該點(diǎn)的坐標(biāo)是不是方程的解，是否適合方程．若適合方程，就說(shuō)明點(diǎn)在曲線上；若不適合，就說(shuō)明點(diǎn)不在曲線上．(2)已知點(diǎn)在某曲線上，可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或范圍問題．跟蹤演練3已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判斷點(diǎn)P(1，－2)，Q(eq\r(2)，3)是否在此方程表示的曲線上；(2)若點(diǎn)M(eq\f(m,2)，－m)在此方程表示的曲線上，求m的值．解(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(eq\r(2))2＋(3－1)2＝6≠10，∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，Q(eq\r(2)，3)不在此曲線上．(2)∵M(jìn)(eq\f(m,2)，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，∴(eq\f(m,2))2＋(－m－1)2＝10.解得m＝2或m＝－eq\f(18,5).1．“點(diǎn)M在曲線y2＝4x上”是“點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程y＝－2eq\r(x)”的________條件．答案必要不充分解析∵y＝－2eq\r(x)≤0，而y2＝4x中y可正可負(fù)，∴點(diǎn)M在曲線y2＝4x上，但M不一定在y＝－2eq\r(x)上．反之點(diǎn)M在y＝－2eq\r(x)上時(shí)，一定在y2＝4x上．2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是________．答案四個(gè)點(diǎn)解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,y2－4＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝±2，,y＝±2.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2.))3．下列四個(gè)圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是________．答案④解析對(duì)于①，點(diǎn)(0，－1)滿足方程，但不在曲線上，排除①；對(duì)于②，點(diǎn)(1，－1)滿足方程，但不在曲線上，排除②；對(duì)于③，曲線上第三象限的點(diǎn)，由于x<0，y<0，不滿足方程，排除③.4．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所確定的兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．答案a>1解析∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a的圖象大致如圖，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a所確定的兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則要求y＝a|x|在y軸右側(cè)的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.1.曲線的方程和方程的曲線必須滿足兩個(gè)條件：曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．2．點(diǎn)(x0，y0)在曲線C上的充要條件是點(diǎn)(x0，y0)適合曲線C的方程．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲線為________．答案一條射線解析方程y＝3x－2表示的曲線是一條直線，當(dāng)x≥1時(shí)，它表示一條射線．2．方程x2＋xy＝x表示的曲線是________．答案兩條直線解析由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示兩條直線．3．曲線C的方程為y＝x(1≤x≤5)，則下列四點(diǎn)中在曲線C上的是________．①(0,0)②(eq\f(1,5)，eq\f(1,5))③(1,5)④(4,4)答案④解析(4,4)適合方程y＝x且滿足1≤x≤5.4．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲線形狀是________．答案③解析由x2＋y2＝1可知方程表示的曲線為圓．又∵xy<0，∴圖象在第二、四象限內(nèi)．5．下面各對(duì)方程中，表示相同曲線的一對(duì)方程是________(填序號(hào))．①y＝x與y＝eq\r(x2)②(x－1)2＋(y＋2)2＝0與(x－1)(y＋2)＝0③y＝eq\f(1,x)與xy＝1④y＝lgx2與y＝2lgx答案③解析y＝eq\f(1,x)與xy＝1表示雙曲線．6．下列命題正確的是________(填序號(hào))．①方程eq\f(x,y－2)＝1表示斜率為1，在y軸上的截距是2的直線；②△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，則中線AO的方程是x＝0；③到x軸距離為5的點(diǎn)的軌跡方程是y＝5；④曲線2x2－3y2－2x＋m＝0通過(guò)原點(diǎn)的充要條件是m＝0.答案④解析對(duì)照曲線和方程的概念，①中，方程需滿足y≠2；②中，“中線AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而③中，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為|y|＝5，從而只有④是正確的．7．(1)方程|x|－1＝eq\r(1－y－12)表示什么曲線？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲線？解(1)|x|－1＝eq\r(1－y－12)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|－1≥0，,1－y－12≥0，,|x|－12＝1－y－12，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|－1≥0，,|x|－12＝1－y－12，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1或x≤－1，,|x|－12＋y－12＝1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－12＋y－12＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－1，,x＋12＋y－12＝1，))故方程表示兩個(gè)半圓．(2)方程左邊配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－12＝0，,y＋12＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴方程表示的圖形是點(diǎn)A(1，－1)．二、能力提升8．點(diǎn)A(1，－2)在曲線x2－2xy＋ay＋5＝0上，則a＝________.答案5解析由題意可知點(diǎn)(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一組解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.9．已知定點(diǎn)P(x0，y0)不在直線l：f(x，y)＝0上，則方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直線是________(填序號(hào))．①過(guò)點(diǎn)p且垂直于l的直線；②過(guò)點(diǎn)p且平行于l的直線；③不過(guò)點(diǎn)P但垂直于l的直線；④不過(guò)點(diǎn)P但平行于l的直線．答案②解析點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)滿足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直線過(guò)點(diǎn)P.又∵f(x0，y0)為非零常數(shù)，∴方程可化為f(x,y)＝f(x0，y0)，方程表示的直線與直線l平行．10．已知方程①x－y＝0；②eq\r(x)－eq\r(y)＝0；③x2－y2＝0；④eq\f(x,y)＝1，其中能表示直角坐標(biāo)系的第一、三象限的角平分線C的方程的序號(hào)是________．答案①解析①是正確的；②不正確．如點(diǎn)(－1，－1)在第三象限的角平分線上，但其坐標(biāo)不滿足方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0；③不正確．如點(diǎn)(－1,1)滿足方程x2－y2＝0，但它不在曲線C上；④不正確．如點(diǎn)(0,0)在曲線C上，但其坐標(biāo)不滿足方程eq\f(x,y)＝1.11．方程(x＋y－1)eq\r(x2＋y2－4)＝0表示什么曲線？解由(x＋y－1)eq\r(x2＋y2－4)＝0可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2－4≥0，))或x2＋y2－4＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2≥4，))或x2＋y2＝4，由圓x2＋y2＝4的圓心到直線x＋y－1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<2得直線與圓相交，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2≥4，))表示直線x＋y－1＝0在圓x2＋y2＝4上和外面的部分，x2＋y2＝4表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓．所以原方程表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓和直線x＋y－1＝0在圓x2＋y2＝4的外面的部分，如圖所示．12．證明圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程是x2＋y2＝25，并判斷點(diǎn)M1(3，－4)，M2(－2