2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)洋涇中學(xué)南校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)洋涇中學(xué)南校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，下列四個(gè)命題為真命題的是（）①若m⊥α，n⊥m，則n∥α；

②若α∥β，n⊥α，m∥β，則n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥β．A．②③ B．③④ C．②④ D．①④參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】①，若m⊥α，n⊥m，則n∥α或n?α；

②，若α∥β，n⊥α?n⊥β，又∵m∥β，則n⊥m；③，若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α、β不一定垂直；④，若n⊥β，m∥n?m⊥β，又∵m∥α，則α⊥β．【解答】解：對(duì)于①，若m⊥α，n⊥m，則n∥α或n?α，故錯(cuò)；

對(duì)于②，若α∥β，n⊥α?n⊥β，又∵m∥β，則n⊥m，故正確；對(duì)于③，若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α、β不一定垂直，故錯(cuò)；對(duì)于④，若n⊥β，m∥n?m⊥β，又∵m∥α，則α⊥β，故正確．故選：C2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S是（）A．10 B．15 C．20 D．35參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的p，s，i的值，當(dāng)i=6時(shí)，不滿足條件i≤5，退出循環(huán)，輸出s的值為35．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有i=1，p=0，s=0滿足條件i≤5，p=1，s=1，i=2滿足條件i≤5，p=3，s=4，i=3滿足條件i≤5，p=6，s=10，i=4滿足條件i≤5，p=10，s=20，i=5滿足條件i≤5，p=15，s=35，i=6不滿足條件i≤5，退出循環(huán)，輸出s的值為35．故選：D．3.函數(shù)的圖象為 （）

參考答案：D當(dāng)時(shí)，，排除B,C.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以排除A,選D.4.過點(diǎn)和的直線斜率為，那么的值為（

）A．1

B．4

C．1或3

D．1或4參考答案：A5.已知上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（

）

A．

B．

C．（0，1）

D．參考答案：A6.在1萬平方公里的海域中有40平方公里的大陸架貯藏著石油，假若在海域中任意一點(diǎn)鉆探，那么鉆到油層面的概率是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是

（

）

參考答案：A8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線與雙曲線的一條漸近平行，則此雙曲線離心率是（

）

A．

B．1

C．

D．2參考答案：C依題意，應(yīng)有=tan30°，又＝，∴=，解得e=．9.已知滿足，若的最大值為，最小值為，則a的范圍為

（

）A.

B.

C.

D.或參考答案：C略10.在中，,,,若為的內(nèi)心，則的值為A.6 B.10C.12 D.15參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積.

F3

解析：設(shè)的內(nèi)切圓半徑r，由，所以CI=，又，所以，故選D.【思路點(diǎn)撥】先求出內(nèi)切圓半徑，由勾股定理得CI長(zhǎng)，再求出∠ICB的余弦值，最后由數(shù)量積定義求得結(jié)論.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）若復(fù)數(shù)，則|z|=．參考答案：【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)求模．【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式即可得出．解：∵復(fù)數(shù)===1﹣i．∴|z|==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．12.已知函數(shù)f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），給出下列結(jié)論：①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，]；②函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；③對(duì)任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，]．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．參考答案：①②④【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】閱讀型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判斷①；化簡(jiǎn)g（x），判斷g（x）的單調(diào)性即可判斷②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)無解的a的范圍，即可判斷③；由③得，有解的條件為：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范圍，即可判斷④．【解答】解：當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）=﹣x是遞減函數(shù)，則f（x）∈[0，]，當(dāng)x∈（，1]時(shí)，f（x）==2（x+2）+﹣8，f′（x）=2﹣＞0，則f（x）在（，1]上遞增，則f（x）∈（，]．則x∈[0，1]時(shí)，f（x）∈[0，]，故①正確；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0）=﹣acosx﹣2a+2，由a＞0，0≤x≤，則g（x）在[0，1]上是遞增函數(shù)，故②正確；由②知，a＞0，x∈[0，1]時(shí)g（x）∈[2﹣3a，2﹣]，若2﹣3a＞或2﹣＜0，即0＜a＜或a＞，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)無解，故③錯(cuò)；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，則解得≤a≤．故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的值域和單調(diào)性及運(yùn)用，考查存在性命題成立的條件，轉(zhuǎn)化為最值之間的關(guān)系，屬于易錯(cuò)題和中檔題．13.記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題：①當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；②對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；③當(dāng)時(shí)，；④對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號(hào)）

參考答案：①③④當(dāng)時(shí)，

，，故①正確；同樣驗(yàn)證可得③④正確，②錯(cuò)誤.

14.已知，且的夾角為銳角，則的取值范圍是_______。參考答案：(-∞，-)∪(-，)略15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則

．參考答案：2116.已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，設(shè)S、A、B、C四點(diǎn)均在以O(shè)為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為

．

參考答案：解：SA=SB=SC=2，TS在面ABC上的射影為AB中點(diǎn)H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一點(diǎn)到A、B、C的距離相等．∵SH=，CH=1，在面SHC內(nèi)作SC的垂直平分線MO與SH交于O，則O為SABC的外接球球心．SM=1，∴SO=，∴OH=，即為O與平面ABC的距離．17.設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知：（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；（2）寫出的單調(diào)遞增區(qū)間．參考答案：

………4分（1）函數(shù)的值域?yàn)閇，4]

………6分;函數(shù)f(x)的最小正周期

………8分；（2）∵

………10分∴；∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

………12分；19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足（為常數(shù)），成等差數(shù)列.（Ⅰ）求p的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，證明：.參考答案：解：（Ⅰ）由得∵成等差數(shù)列，∴即得………（2分）依題意知，當(dāng)時(shí)，…相加得∴∴……………（4分）又適合上式，………（5分）故……………………（6分）（Ⅱ）證明：∵∴∵

…（8分）若則即當(dāng)時(shí)，有…………………（10分）又因?yàn)椤?1分）故……………………（12分）（Ⅱ）法二：要證

只要證…………（7分）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，左邊=12，右邊=9，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，左邊=36，右邊=36，不等式成立.…………（8分）②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立.…（9分）則當(dāng)時(shí)，左邊=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2，要證3×9k2≥9（k+1）2，只要正3k2≥（k+1）2，即證2k2-2k-1≥0.…………（10分）而當(dāng)k即且時(shí)，上述不等式成立.………………（11分）由①②可知，對(duì)任意，所證不等式成立.…………（12分）20.甲乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是．設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）分別求甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率；（2）若比賽結(jié)果3：0或3：1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分，對(duì)方得1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝①3：0，概率為P1=（）3=；②3：1，概率為P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率為P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率：．（2）乙隊(duì)得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；則X的分布列為X3210PE（X）=3×+2×+1×+0×=．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝，分別求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式求出甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；（2）X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．解答：解：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝①3：0，概率為P1=（）3=；②3：1，概率為P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率為P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率：．（2）乙隊(duì)得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；則X的分布列為X3210PE（X）=3×+2×+1×+0×=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分