湖南省邵陽市順潮學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

湖南省邵陽市順潮學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值是（

）.A．

B．

C．

D．高參考答案：A略2.已知且與互相垂直，則的值是（

）A.1

B.

C.

D.參考答案：D略3.如圖所示，已知在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D為A1B1的中點(diǎn)，且異面直線OD與A1B垂直，則三棱柱ABO－A1B1O1的高是

A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：B略4.設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的圖象向右平移后的表達(dá)式為（）A． B． C．y=sin2x D．參考答案：C考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)求出m的值，利用三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行平移即可．解答：解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，∵m＞0，∴平移直線，則由圖象知，直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線截距最大，此時(shí)z最大為2，由，解得，即B（1，1），則1+=2，解得m=2，則=sin（2x+），則的圖象向右平移后，得到y(tǒng)=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故選：C．點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件求出m的取值是解決本題的關(guān)鍵．5.設(shè)等比數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,已知,則（）A． B． C． D．參考答案：D6.命題“，”的否定是（

）A．，

B．，C．，

D．，參考答案：B根據(jù)命題的否定易得：命題“，”的否定是，7.若，則的值（

）A．大于0

B．等于0

C．小于0

D．符號(hào)不能確定參考答案：A8.在△ABC中，內(nèi)角所對的邊長分別為a,b,c.（）A． B． C． D．參考答案：A略9.橢圓,P為橢圓上一點(diǎn),則過點(diǎn)P且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A10.圓（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直線3x+4y﹣11=0的距離等于1的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：C【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】由圓的方程找出圓心A的坐標(biāo)和半徑r=3，然后由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心A到已知直線的距離為2，由AE﹣AD=DE，即3﹣2=1求出DE的長，得到圓A上的點(diǎn)到已知直線距離等于1的點(diǎn)有三個(gè)，如圖，點(diǎn)D，P及Q滿足題意．【解答】解：由圓的方程，得到圓心A坐標(biāo)為（3，3），半徑AE=3，則圓心（3，3）到直線3x+4y﹣11=0的距離為d==2，即AD=2，∴ED=1，即圓周上E到已知直線的距離為1，同時(shí)存在P和Q也滿足題意，∴圓上的點(diǎn)到直線3x+4y﹣11=0的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)．故選C．【點(diǎn)評】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.半徑為r的圓的面積S（r）=πr2，周長C（r）=2πr，若將r看作（0，+∞）上的變量，則（πr2）′=2πr①．①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)．對于半徑為R的球，若將R看作（0，+∞）上的變量，請你寫出類似于①的式子②：，②式可以用語言敘述為：．參考答案：；球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！究键c(diǎn)】歸納推理．【專題】常規(guī)題型；壓軸題．【分析】圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)，類比得到球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)，有二維空間推廣到三維空間．【解答】解：V球=，又故②式可填，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)．”故答案為，球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)．【點(diǎn)評】本題考查類比推理，屬于基礎(chǔ)題．12.方程，當(dāng)時(shí)，表示圓；當(dāng)時(shí)，表示橢圓；當(dāng)時(shí)，表示雙曲線；當(dāng)時(shí)，表示兩條直線.參考答案：

，

，

，

；13.如果a＞0，那么a++2的最小值是

．參考答案：4【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a＞0，∴a++2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．∴a++2的最小值是4．故答案為：4．14.已知f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集為．參考答案：{x|﹣1＜x＜1}【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為|x|＜1，解可得x的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由于f（1）=0，則f（x）＞0?f（x）＞f（1），f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（x）＞f（1）?f（|x|）＞f（1）?|x|＜1，解可得：﹣1＜x＜1，則不等式f（x）＞0的解集為{x|﹣1＜x＜1}；故答案為：{x|﹣1＜x＜1}．15.化簡復(fù)數(shù)為

．參考答案：略16.已知數(shù)列中，若，則=

參考答案：670數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為，則通項(xiàng)公式。由得：=670考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且結(jié)合正確的計(jì)算．17.已知，則的最小值是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2014?余杭區(qū)校級模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B為鈍角，b=10，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．

【專題】計(jì)算題；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理化簡已知表達(dá)式，通過兩角和的正弦函數(shù)與三角形的內(nèi)角和，求出的值；（Ⅱ）通過（Ⅰ）求出a與c的關(guān)系，利用B為鈍角，b=10，推出關(guān)系求a的取值范圍．【解答】（本小題滿分14分）解：（I）由正弦定理，設(shè)，則，所以．…（4分）即（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，化簡可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）又A+B+C=π，所以sinC=3sinA因此．…（8分）（II）由得c=3a．…（9分）由題意，…（12分）∴…（14分）【點(diǎn)評】本題考查正弦定理與兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，注意三角形的判斷與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．19.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直線AE和平面PDB所成的角．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面所成的角；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）判斷AC⊥面PBD，再運(yùn)用直線垂直直線，直線垂直平面問題證明．（II）根據(jù)題意得出AC⊥面PBD，運(yùn)用直線與平面所成的角得出∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）連接EO，∵點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，O為DB中點(diǎn)，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直線AE和平面PDB所成的角45°點(diǎn)評：本題考查了棱錐的幾何性質(zhì)，直線與平面角的概念及求解，考查學(xué)生的空間思維能力，運(yùn)用平面問題解決空間問題的能力．20.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)．過右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求△POQ的面積；（3）在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線的斜率；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】壓軸題．【分析】（1）設(shè)橢圓方程為．由兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn)，且短軸長為2，由此能夠求出a，b，c的值，從而得到所求橢圓方程．（2）右焦點(diǎn)F（1，0），直線l的方程為y=x﹣1．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由題設(shè)條件得．由此入手可求出．（3）假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本€與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1）（k≠0）．由題意知（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由此可知．【解答】解：（1）由已知，橢圓方程可設(shè)為．∵兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn)，且短軸長為2，∴．所求橢圓方程為．（2）右焦點(diǎn)F（1，0），直線l的方程為y=x﹣1．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y﹣1=0，解得．∴．（3）假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本€與x軸不垂直，所以設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴．．其中x2﹣x1≠0以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0?（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0?（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0?2k2﹣（2+4k2）m=0．∴．【點(diǎn)評】本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．21.設(shè)為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸正方向的單位向量，，且。（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)做直線交軌跡于兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求出直線的方程.參考答案：解析：（1）由知，點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值8，又8>4所以的軌跡為以

為焦點(diǎn)橢圓，故方程為

…………4分（2）當(dāng)為軸時(shí)，重合，不合題意，故設(shè)直線的斜率為，方程為

聯(lián)立方程組：

得

…………6分則，

(*)………8分因?yàn)椋倪呅螢榫匦?，所?/p>

………………10分即

(*)式代入得

故當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，直線:

…12分22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）求證：直線CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一點(diǎn)G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小為，若存在，確定G的位置，若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在PC上取一點(diǎn)F，使PF=2FC，連接MF，NF，結(jié)合已知可得MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．從而可得MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．再由線面平行的判定可得直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．進(jìn)一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由線面垂直的判定可得直線CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G點(diǎn)位置．【解答】證明：（Ⅰ）在PC上取一點(diǎn)F，使PF=2FC，連接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．∴MF∥AN，MF=AN，∴MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．又AM?平面PNC，∴直線AM∥