第十章重積分

個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)第十章重積分教課目標(biāo)：1.理解二重積分、三重積分的觀點(diǎn)，認(rèn)識(shí)重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。8、會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。教課要點(diǎn)：1、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；2、三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。教課難點(diǎn)：1、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；2、利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分；3、物理應(yīng)用中的引力問(wèn)題?！?1二重積分的觀點(diǎn)與性質(zhì)一、二重積分的觀點(diǎn)曲頂柱體的體積設(shè)有一立體它的底是xOy面上的閉地域D它的側(cè)面是以D的界線曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面它的頂是曲面zf(xy)這里f(xy)0且在D上連續(xù)這類立體叫做曲頂柱體現(xiàn)在我們來(lái)議論怎樣計(jì)算曲頂柱體的體積資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途第一用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小地域12n分別以這些小閉地域的界線曲線為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面這些柱面把本來(lái)的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體在每個(gè)i中任取一點(diǎn)(ii)以f(ii)為資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途高而底為i的平頂柱體的體積為f(ii)i(i12n)這個(gè)平頂柱體體積之和nVf(i,i)ii1能夠以為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值為求得曲頂柱體體積的精確值將切割加密只要取極限即nVlimf(i,i)i0i1此中是個(gè)小地域的直徑中的最大值2平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片據(jù)有xOy面上的閉地域D它在點(diǎn)(xy)處的面密度為(xy)這里(xy)0且在D上連續(xù)現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小地域1/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)12n把各小塊的質(zhì)量近似地看作平均薄片的質(zhì)量(ii)i各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值nM(i,i)ii1將切割加細(xì)取極限獲得平面薄片的質(zhì)量nMlim(i,i)i0i1此中是個(gè)小地域的直徑中的最大值定義設(shè)f(xy)是有界閉地域D上的有界函數(shù)將閉地域D任意分成n個(gè)小閉地域12n此中i表示第i個(gè)小地域也表示它的面積在每個(gè)i上任取一點(diǎn)(ii)作和nf(i,i)ii1若是當(dāng)各小閉地域的直徑中的最大值趨于零時(shí)這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)f(x,y)d在閉地域D上的二重積分記作D即資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途f(x,y)dlimnf(i,i)iD0i1f(xy)被積函數(shù)f(xy)d被積表達(dá)式d面積元素xy積分變量D積分地域積分和直角坐標(biāo)系中的面積元素若是在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分D那么除了包括界線點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外其他的小閉地域都是矩形閉地域設(shè)矩形閉地域i的邊長(zhǎng)為xi和yi則ixiyi所以在直角坐標(biāo)系中有時(shí)也把面積元素d記作dxdy而把二重積分記作資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途f(x,y)dxdyD此中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素二重積分的存在性當(dāng)f(xy)在閉地域D上連續(xù)時(shí)積分和的極限是存在的也就是說(shuō)函數(shù)f(xy)在D上的二重積分必定存在我們總假定函數(shù)f(xy)在閉地域D上連續(xù)所以f(xy)在D上的二重積分都是存在的資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途二重積分的幾何意義若是f(xy)0被積函數(shù)f(xy)可講解為曲頂柱體的在點(diǎn)(xy)處的豎坐標(biāo)所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積若是f(xy)是負(fù)的柱體就在xOy面的下方二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積但二重積分的值是負(fù)的資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途二二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則[c1f(x,y)c2g(x,y)]dc1f(x,y)dc2g(x,y)dDDD性質(zhì)2若是閉地域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉地域則在D上的二重積分等于在各部2/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)分閉地域上的二重積分的和比方D分為兩個(gè)閉地域D1與D2則資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D21dd性質(zhì)3DD(為D的面積)性質(zhì)4若是在D上f(xy)g(xy)則有不等式f(x,y)dg(x,y)dDD特別地有|f(x,y)d||f(x,y)|dDD性質(zhì)5設(shè)M、m分別是f(xy)在閉地域D上的最大值和最小值為D的面積則有mf(x,y)dMD性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(xy)在閉地域D上連續(xù)為D的面積則在D上最少存在一點(diǎn)()使得資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途f(x,y)df(,)D§92二重積分的計(jì)算法一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分型地域D1(x)y2(x)axbY型地域D1(x)y2(x)cyd混雜型地域設(shè)f(xy)0D{(xy)|1(x)y2(x)axb}f(x,y)d此時(shí)二重積分D在幾何上表示以曲面zf(xy)為頂以地域D為底的曲頂柱體的體積關(guān)于x0[ab]曲頂柱體在xx0的截面面積為以區(qū)間[1(x0)2(x0)]為底、以曲線zf(x0y)為曲邊的曲邊梯形所以這截面的面積為資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途2(x0)f(x0,y)dyA(x0)1(x0)依據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法得曲頂柱體體積為bb2(x)VaA(x)dxa[1(x)f(x,y)dy]dxf(x,y)db2(x)[f(x,y)dy]dx即VDa1(x)可記為3/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)f(x,y)db2(x)f(x,y)dydx1(x)Da近似地若是地域D為Y型地域D1(x)y2(x)cyd則有f(x,y)dd2(y)dy1(y)f(x,y)dxDcxyd例1計(jì)算D解畫出地域方法一可把

此中D是由直線y1、x2及yx所圍成的閉地域DD看作是X型地域1x21yx于是xyd2[xxydy]dx2y2121[x4x29]xdx(x3x)dxD11[x]21212124218xyd2x2xdxxydyxdxydy注積分還能夠?qū)懗蒁1111解法2也可把D看作是Y型地域1y2yx2于是22x2y3y4Dxyd[xydx]dy2222291y1[y21(2y288y1x2y2d例2計(jì)算D此中D是由直線y1、x1及yx所圍成的閉地域解畫出地域D可把D看作是X型地域1x1xy1于是y1x2y2d11y2dydxy1x2D1x112231113xy)21)dx3[(1]xdx3(|x|112131)dx1(x230也可D看作是Y型地域：1y11x<y于是y1x2y2d1ydyy1x2y2dx1D1xyd2及拋物線y2例3計(jì)算D此中D是由直線yxx所圍成的閉地域解積分地域能夠表示為DD1+D2此中D1:0x1,xyxD2:1x4,2yx于是xyd1xxydy4xdxxdxxydyD01x2積分地域也能夠表示為D1y2y2xy2于是4/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)xyd2dyy2xydx2x2y2121y2dy2)2y5]dyD[2y]y22[y(y111y44y32y2y62552[3]1846議論積分次序的選擇例4求兩個(gè)底圓半徑都等于的直交圓柱面所圍成的立體的體積解設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為x2y22及x2z22利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性只要算出它在第一卦限部分的體積V1爾后再乘以8就行了第一卦限部分是以D{(xy)|0yR2x2,0x}為底以zR2x2頂?shù)那斨w于是V8R2x2dRR2x2R2y]022D8dxR2x2dy8[R2xRxdx000R8(R2x2)dx16R303二利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分有些二重積分積分地域D的界線曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變f(x,y)d量、表達(dá)比較簡(jiǎn)單這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分D資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途nf(x,y)dlimf(i,i)i按二重積分的定義D0i1下邊我們來(lái)研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族齊心圓組成的網(wǎng)將地域D分為n個(gè)小閉地域小閉地域的面積為資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途i1(ii)2i2i(ii)i2i

12

2iii

1(2ii)ii2此中i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值在i內(nèi)取點(diǎn)(i,i)設(shè)其直角坐標(biāo)為(ii)則有iicosiiisininnlimf(i,i)ilimf(icosi,isini)iii于是0i10i1f(x,y)df(cos,sin)dd即DD若積分地域D可表示為5/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)1()2()f(cos,sin)ddd2()f(cos,sin)d1()則D議論怎樣確立積分限?f(cos,sin)ddd()f(cos,sin)d0Df(cos,sin)dd2()f(cos,sin)dd0D0ex2y2dxdy例5計(jì)算D此中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉地域解在極坐標(biāo)系中閉地域D可表示為0a02ex2y2dxdye2dd2[ae2d]d21e2a于是DD00[2]0d01(1ea2)2d(1ea2)20ex2y2dxdyex2y2dxdy注此處積分D也常寫成x2y2a2ex2y2dxdy(1ea2)ex2利用x2y2a2計(jì)算廣義積分dx0設(shè)D1{(xy)|x2y2R2x0y0}222x0y0}D2{(xy)|xy2RS{(xy)|0xR0yR}顯然D1SD2因?yàn)閑x2y20從則在這些閉地域上的二重積分之間有不等式ex2y2dxdyex2y2dxdyex2y2dxdyD1SD2ex2y2dxdyRex2dxRey2dy(Rex2dx)2因?yàn)镾000又應(yīng)用上邊已得的結(jié)果有ex2y2dxdy4(1eR2)ex2y2dxdy(1e2R2)D1D24(1eR2)(Rex2dx)2(1e2R2)于是上邊的不等式可寫成404令R上式兩端趨于同一極限4進(jìn)而0ex2dx2例6求球體x2y2z24a2被圓柱面x2y22ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途解由對(duì)稱性立體體積為第一卦限部分的四倍6/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)V44a2x2y2dxdyD此中D為半圓周y2axx2及x軸所圍成的閉地域在極坐標(biāo)系中D可表示為02acos02V44a22dd42d2acos4a22d0于是D032a22(1sin3)d322(2)303a23§93三重積分一、三重積分的觀點(diǎn)定義設(shè)f(xyz)是空間有界閉地域上的有界函數(shù)將任意分成n個(gè)小閉地域v1v2vn此中vi表示第i個(gè)小閉地域也表示它的體積在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)(iii)作乘積nf(i,i,i)vif(iii)vi(i12n)并作和i1若是當(dāng)各小閉地域的直徑中的最大值趨于零時(shí)這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xyz)在閉區(qū)域上的三重積分記作f(x,y,z)dv即資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途nf(x,y,z)dvlimf(i,i,i)vi0i1三重積分中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)——積分號(hào)f(xyz)——被積函數(shù)f(xyz)dv——被積表達(dá)式dv體積元素xyz——積分變量——積分地域資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途在直角坐標(biāo)系中若是用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分則vixiyizi所以也把體積元素記為dvdxdydz三重積分記作資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydzn當(dāng)函數(shù)f(xyz)在閉地域limf(i,i,i)vi上連續(xù)時(shí)極限0i1是存在的所以f(xyz)在上的三重積分是存在的今后也總假定f(xyz)在閉地域上是連續(xù)的三重積分的性質(zhì)與二重積分近似比方[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv12127/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)dvV此中V為地域的體積二、三重積分的計(jì)算利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分三重積分的計(jì)算三重積分也可化為三次積分來(lái)計(jì)算設(shè)空間閉地域可表為z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axbf(x,y,z)dvz2(x,y)[f(x,y,z)dz]d則Dz1(x,y)by2(x)z2(x,y)dx[f(x,y,z)dz]dyay1(x)z1(x,y)by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dzdxdyz1(x,y)ay1(x)by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dzf(x,y,z)dvdxdyz1(x,y)即ay1(x)此中D:y1(x)yy2(x)axb它是閉地域在xOy面上的投影地域提示設(shè)空間閉地域可表為z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axbf(x,y,z)dv計(jì)算基本思想關(guān)于平面地域Dy1(x)yy2(x)axb內(nèi)任意一點(diǎn)(xy)將f(xyz)只看作z的函數(shù)在區(qū)間[z1(xy)z2(xy)]上對(duì)z積分獲得一個(gè)二元函數(shù)F(xy)資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途F(x,y)z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz爾后計(jì)算F(xy)在閉地域D上的二重積分這就完成了f(xyz)在空間閉地域上的三重積分z2(x,y)by2(x)z2(x,y)F(x,y)d[f(x,y,z)dz]ddx[f(x,y,z)dz]dyDz1(x,y)Day1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dvz2(x,y)[f(x,y,z)dz]d則Dz1(x,y)by2(x)z2(x,y)dx[f(x,y,z)dz]dyay1(x)z1(x,y)by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dzdxdyz1(x,y)ay1(x)by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dzf(x,y,z)dvdxdyz1(x,y)即ay1(x)此中D:y1(x)yy2(x)axb它是閉地域在xOy面上的投影地域xdxdydz例1計(jì)算三重積分此中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x2yz1所圍成的閉地域8/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)解作圖地域可表示為:0z1x0y1(1x)x12y2011x1x2yxdxdydz2dxdyxdz于是00011xxdx2(1x2y)dy00112x23)dx1(xx4048議論其他種類地域呢?有時(shí)我們計(jì)算一個(gè)三重積分也能夠化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分設(shè)空間閉地域{(xyz)|(xy)Dzc1zc2}此中Dz是豎坐標(biāo)為z的平面截空間閉地域所獲得的一個(gè)平面閉地域則有資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途f(x,y,z)dvc2f(x,y,z)dxdydzc1Dzz2dxdydzx2y2z21例2計(jì)算三重積分此中是由橢球面a2b2c2所圍成的空間閉地域解空間地域可表為:x2y21z2a2b2c2czccz2dzdxdyz2dxdydzcz243cabc(12dz于是Dzc2)z15abc練習(xí)If(x,y,z)dxdydz1將三重積分化為三次積分此中是由曲面z1x2y2z0所圍成的閉地域是雙曲拋物面xyz及平面xy10z0所圍成的閉地域(3)此中是由曲面zx22y2及z2x2所圍成的閉地域If(x,y,z)dxdydz2將三重積分化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式此中由曲面z1x2y2z0所圍成的閉地域資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M(xyz)為空間內(nèi)一點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為P()則這樣的三個(gè)數(shù)、、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)這里規(guī)定、、z的變化范圍為資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途0<02<z<坐標(biāo)面00zz0的意義點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系9/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)xcosysinxcosysinzzzz柱面坐標(biāo)系中的體積元素dvdddz簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)dxdydddxdydzdxdydzdddz柱面坐標(biāo)系中的三重積分f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddzzdxdydz例3利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分此中是由曲面22與平面z4所圍成的zxy閉地域解閉地域可表示為2z40202zdxdydzzdddz于是22410d0d2zdz212[8216]2642603

224)dd(1600利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M(xyz)為空間內(nèi)一點(diǎn)則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、、來(lái)確立此中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離為OM與z軸正向所夾的角為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段OP的角這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影這樣的三個(gè)數(shù)r、、叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)這里r、、的變化范圍為資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途0r<0<02坐標(biāo)面rr000的意義點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系xrsincosyrsinsinxrsincosyrsinsinzrcoszrcos球面坐標(biāo)系中的體積元素dvr2sindrdd球面坐標(biāo)系中的三重積分f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd例4求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積解該立體所占地域可表示為0r2acos002于是所求立體的體積為10/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)Vdxdydzr2sindrdd2sind2acos2drr00

2d2acos2sindrdr00016a3cos3sind4a3(1cos4a)303提示球面的方程為x2y2(za)2a2即x2y2z22az在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r22arcos即r2acos資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途§94重積分的應(yīng)用元素法的實(shí)行有好多求總量的問(wèn)題能夠用定積分的元素法來(lái)辦理這類元素法也可實(shí)行到二重積分的應(yīng)用中若是所要計(jì)算的某個(gè)量U關(guān)于閉地域D擁有可加性(就是說(shuō)當(dāng)閉地域D分成好多小閉區(qū)域時(shí)所求量U相應(yīng)地分成好多部重量且U等于部重量之和)而且在閉地域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉地域d時(shí)相應(yīng)的部重量可近似地表示為f(xy)d的形式此中(xy)在d內(nèi)則稱f(xy)d為所求量U的元素記為dU以它為被積表達(dá)式在閉地域D上積分資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途Uf(x,y)dD這就是所求量的積分表達(dá)式一、曲面的面積設(shè)曲面S由方程zf(xy)給出D為曲面S在xOy面上的投影地域函數(shù)f(xy)在D上擁有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(xy)和fy(xy)現(xiàn)求曲面的面積A資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途在地域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(xy)并在地域D內(nèi)取一包括點(diǎn)P(xy)的小閉地域d其面積也記為d在曲面S上點(diǎn)M(xyf(xy))處做曲面S的切平面T再做以小地域d的界線曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值記為dA又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為則資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途dAd1fx2(x,y)fy2(x,y)dcos這就是曲面S的面積元素于是曲面S的面積為A1fx2(x,y)fy2(x,y)dDA1(z)2(z)2dxdy或Dxy設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素dA在xOy面上的投影為小閉地域dM在xOy面上的投影為點(diǎn)P(xy)因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M處的法向量為n(fxfy1)所以資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d提示dA與xOy面的夾角為(n^k)dAcos(n^k)dnk|n|cos(n^k)1cos(n^k)|n|

1議論若曲面方程為xg(yz)或yh(zx)則曲面的面積怎樣求？11/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)A1(x)2(x)2dydzDyzyzA1(y)2(y)2dzdx或Dzxzx此中Dyz是曲面在yOz面上的投影地域Dzx是曲面在zOx面上的投影地域例1求半徑為R的球的表面積解上半球面方程為zR2x2y2x2y2R2因?yàn)閦對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)在Dx2y2R2上無(wú)界所以上半球面面積不能夠直接求出所以先求222(aR)上的部分球面面積爾后取極限資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途在地域D1xyaRdxdyR2dardra2R2x2y2x2y200R2r22R(RR2a2)lim2R(RR2a2)2R2于是上半球面面積為aR整個(gè)球面面積為A2A14R2提示zxy2zy1(z)2(z)2RxR2x2yR2x2y2xyR2x2y2解球面的面積A為上半球面面積的兩倍上半球面的方程為zR2x2y2而zxzyxR2x2y2yR2x2y2A21(z)2(z)2所以x2y2R2xy2Rdxdy2R2RdR22y2d022x2y2R20Rx4R22R4R2R0例2設(shè)有一顆地球同步軌道通信衛(wèi)星距地面的高度為h36000km運(yùn)轉(zhuǎn)的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度同樣試計(jì)算該通信衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R6400km)資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途解取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)地心到通信衛(wèi)星中心的連線為z軸建立坐標(biāo)系通信衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面被半頂角為的圓錐面所截得的部分的方程為R2x2y2x2y2R2sin2于是通信衛(wèi)星的覆蓋面積為12/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)A1(z)2(z)2dxdyRdxdyDxyxyDxyR2x2y2此中Dxy{(xy)|x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影地域利用極坐標(biāo)得2RsinRd2RRsind2R2(1cos)Ad00R220R22cosRRh代入上式得因?yàn)锳2R2(1R)2R2hRhRh由此得這顆通信衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為Ah3610642.5%4R22(Rh)2(366.4)106由以上結(jié)果可知衛(wèi)星覆蓋了全世界三分之一以上的面積故使用三顆相隔就可以覆蓋幾乎地球所有表面資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途二、質(zhì)心

2角度的通信衛(wèi)星設(shè)有一平面薄片據(jù)有xOy面上的閉地域D在點(diǎn)P(xy)處的面密度為(xy)假定(xy)在D上連續(xù)現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途在閉地域D上任取一點(diǎn)P(xy)及包括點(diǎn)P(xy)的素來(lái)徑很小的閉地域d(其面積也記為d)則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途dMxy(xy)ddMyx(xy)d平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為Mxy(x,y)dMyx(x,y)dDD設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x,y)平面薄片的質(zhì)量為M則有xMMyyMMx于是Myx(x,y)dy(x,y)dDyMxDx(x,y)dM(x,y)dMDD在閉地域D上任取包括點(diǎn)P(xy)小的閉地域d(其面積也記為d)則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩元素分別為dMxy(xy)ddMyx(xy)d平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為Mxy(x,y)dMyx(x,y)dDD設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x,y)平面薄片的質(zhì)量為M則有13/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)xMMyyMMx于是MyDx(x,y)dMxy(x,y)dxyDM(x,y)dM(x,y)dDD提示將P(xy)點(diǎn)處的面積元素d看作是包括點(diǎn)P的直徑得小的閉地域D上任取一點(diǎn)P(xy)及包括的素來(lái)徑很小的閉地域d(其面積也記為d)則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途議論若是平面薄片是平均的即面密度是常數(shù)則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)怎樣求？求平面圖形的形心公式為xdydxDyDddDD例3求位于兩圓2sin和4sin之間的平均薄片的質(zhì)心解因?yàn)殚]地域D對(duì)稱于y軸所以質(zhì)心C(x,y)必位于y軸上于是x0yd2sindd4sin2d7因?yàn)镈D0sind2sind22123Dyd77yDd33所以D所求形心是

C(0,7)3近似地?fù)?jù)有空間閉地域、在點(diǎn)(xyz)處的密度為(xyz)(假寬(xyz)在上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途x1x(x,y,z)dvy1y(x,y,z)dvz1z(x,y,z)dvMMMM(x,y,z)dv此中例4求平均半球體的質(zhì)心解取半球體的對(duì)稱軸為z軸原點(diǎn)取在球心上又設(shè)球半徑為a則半球體所占空間閉區(qū)可表示為{(xyz)|x2y2z2a2z0}顯然質(zhì)心在z軸上故xy0zdvzdvzdvdv3a814/17個(gè)人采集整理僅供參照學(xué)習(xí)(0,0,3a)故質(zhì)心為8提示0ra0202dv2d2da2sindr2a30r2sind2a00dr2dr3000zdv2d2arcosr2sindr12a1a4d2d300020sin2d00rdr224三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一平面薄片據(jù)有xOy面上的閉地域D在點(diǎn)P(xy)處的面密度為(xy)假定(xy)在D上連續(xù)現(xiàn)在要求該薄片關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途在閉地域D上任取一點(diǎn)P(xy)及包括點(diǎn)P(xy)的素來(lái)徑很小的閉地域d(其面積也記為d)則平面薄片關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元素分別為資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途dIxy2(xy)ddIyx2(xy)d整片平面薄片關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ixy2(x,y)dIyx2(x,y)dDD例5求半徑為a的平均半圓薄片(面密度為常量)關(guān)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解取坐標(biāo)系如圖則薄片所占閉地域D可表示為D{(xy)|x2y2a2y0}而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IxIxy2d2sin2ddDDsin2da