高中數(shù)學蘇教版2第二章推理與證明2．1合情推理與演繹推理 學業(yè)分層測評12類比推理

學業(yè)分層測評(十二)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、填空題1．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇＝________.【解析】扇形的弧長類比三角形的底，扇形的半徑類比三角形的高，所以S扇形＝eq\f(lr,2).【答案】eq\f(lr,2)2．(2023·晉州模擬)數(shù)列{an}是正項等差數(shù)列，若bn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,1＋2＋3＋…＋n)，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，類比上述結論，正項等比數(shù)列{cn}，若dn＝________，則數(shù)列{dn}也為等比數(shù)列．【解析】∵根據(jù)等差數(shù)列構造的新的等差數(shù)列是由原來的等差數(shù)列和下標一致的數(shù)字倍的和，除以下標的和，∴根據(jù)等比數(shù)列構造新的等比數(shù)列，乘積變化為乘方c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n)，原來的除法變?yōu)殚_方(c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n))eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n).【答案】(c1ceq\o\al(2,2)ceq\o\al(3,3)…ceq\o\al(n,n))eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)3．由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“|m·n|＝|m|·|n|”類比得“|a·b|＝|a|·|b|”；④“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，類比得到的結論正確的序號是________．【解析】①②均正確，③④不正確．【答案】①②4．已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的eq\f(1,3)，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是________.【導學號：01580034】【解析】原問題的解法為等面積法，即正三角形的面積S＝eq\f(1,2)ah＝3×eq\f(1,2)ar?r＝eq\f(1,3)h.類比，用等體積法，V＝eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)r·S?r＝eq\f(1,4)h.【答案】正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的eq\f(1,4)5．已知雙曲正弦函數(shù)shx＝eq\f(ex－e－x,2)和雙曲余弦函數(shù)chx＝eq\f(ex＋e－x,2)與我們學過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個類比的正確結論________．【解析】類比結論為ch(x－y)＝chxchy－shxshy.證明：右邊＝eq\f(ex＋e－x,2)·eq\f(ey＋e－y,2)－eq\f(ex－e－x,2)·eq\f(ey－e－y,2)＝eq\f(1,4)(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)＝eq\f(1,4)[2ex－y＋2e－(x－y)]＝eq\f(ex－y＋e－x－y,2)＝ch(x－y)＝左邊．【答案】ch(x－y)＝chxchy－shxshy(答案不惟一)6．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結論為________．【解析】結合等差數(shù)列的特點，類比等比數(shù)列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，則有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×97．二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W＝________.【解析】因為V＝8πr3，所以W＝2πr4，滿足W′＝V.【答案】2πr48．對于等差數(shù)列{an}有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1＝0，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有(s－1)at＝(t－1)as”類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應的一個正確命題是：“________”．【解析】首先，需要類比寫出b1＝1，然后寫出bt＝qt－1，bs＝qs－1，即可發(fā)現(xiàn)：beq\o\al(s－1,t)＝beq\o\al(t－1,s).【答案】若{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有beq\o\al(s－1,t)＝beq\o\al(t－1,s).二、解答題9．如圖2-1-10，在三棱錐S—ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分別為α1，α2，α3，三側面△SBC，△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S3.類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個猜想．圖2-1-10【解】在△DEF中，由正弦定理，得eq\f(d,sinD)＝eq\f(e,sinE)＝eq\f(f,sinF).于是，類比三角形中的正弦定理，在四面體S-ABC中，猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).那么在四面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．【解】證明：如圖所示，由射影定理，AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).[能力提升]1．下面使用類比推理恰當?shù)男蛱柺莀_______．(填序號)①“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“a·c＝b·c，則a＝b”；②“(a·b)·c＝a·(b·c)”類推出“(a·b)·c＝a·(b·c)”；③“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”；④“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”．【解析】①②④均錯．【答案】③2．如圖2-1-11所示，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于________．圖2-1-11【解析】如圖所示，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．又因為eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．【答案】eq\f(1＋\r(5),2)3．在平面幾何里，由勾股定理：設△ABC的兩條邊BC，AC互相垂直，則BC2＋AC2＝AB2.拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面積和底面積的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩垂直，則________”．【解析】線的關系類比到面的關系，猜測Seq\o\al(2,△BCD)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB).證明如下：如圖作AE⊥CD連接BE，則BE⊥CD，Seq\o\al(2,△BCD)＝eq\f(1,4)CD2·BE2＝eq\f(1,4)CD2(AB2＋AE2)＝eq\f(1,4)(AC2＋AD2)(AB2＋AE2)＝eq\f(1,4)(AC2AB2＋AD2AB2＋AC2AE2＋AD2AE2)＝eq\f(1,4)(AC2AB2＋AD2AB2＋CD2AE2)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)【答案】Seq\o\al(2,△BCD)＝Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ADB)4．我們知道三角形的性質(zhì)：如圖2-1-12，過△ABC的底邊AB上任一點O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC，AC于A1，B1，則eq\f(OA1,AC)＋eq\f(OB1,BC)為定值1.那么你能類比此性質(zhì)，猜想四面體中所具有的性質(zhì)嗎？試證明你的猜想是否正確．圖2-1-12【解】猜想的性質(zhì)為：如圖①，過四面體V－ABC的底面ABC上任一點O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側面的交點，則eq\f(OA1,VA)＋eq\f(OB1,VB)＋eq\f(OC1,VC)為定值1.①證明如下：設平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，則△MOA1∽△MAV，