第七章 假設檢驗

1教師：陳新宏單位：數(shù)學與統(tǒng)計學院概率論與數(shù)理統(tǒng)計

2第七章假設檢驗

《統(tǒng)計學》編委制作3主要內容第一節(jié)假設檢驗的基本原理第二節(jié)總體均值的檢驗第三節(jié)總體方差和比例的檢驗4第一節(jié)假設檢驗的基本原理一、假設檢驗的意義和依據(jù)二、假設檢驗的基本形式三、假設檢驗的兩類錯誤四、檢驗統(tǒng)計量的構造五、假設檢驗的一般步驟51、小概率原理:指發(fā)生概率很小的隨機事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的。小概率指p<5%。

2、假設檢驗的基本思想是應用小概率原理。例如:某廠產(chǎn)品合格率為99%,從一批(100件)產(chǎn)品中隨機抽取一件,恰好是次品的概率為1%。隨機抽取一件是次品幾乎是不可能的,但是這種情況發(fā)生了,我們有理由懷疑該廠的合格率為99%.這時我們犯錯誤的概率是1%。一、假設檢驗的意義和依據(jù)63.顯著性水平用樣本推斷H0是否正確，必有犯錯誤的可能。原假設H0正確，而被我們拒絕，犯這種錯誤的概率用表示。把稱為假設檢驗中的顯著性水平(Significantlevel),即決策中的風險。顯著性水平就是指當原假設正確時人們卻把它拒絕了的概率或風險。通常?。?.05或=0.01或=0.001,那么,接受原假設時正確的可能性(概率)為:95%,99%,99.9%。7二、假設檢驗的基本形式8雙側檢驗臨界值和拒絕域使用臨界值臨界值臨界值拒絕域拒絕域(一)雙側檢驗（雙尾）

關心的是要檢驗總體參數(shù)與假定值有沒有顯著差異，而不問差異的方向是正或負。9例：＝0.05時的接受域和拒絕域10【例】一個著名的醫(yī)生聲稱有75%的女性所穿鞋子過小，一個研究組織對356名女性進行了研究，發(fā)現(xiàn)其中有313名婦女所穿鞋子的號碼至少小一號。你對這個醫(yī)生的論斷有何看法？

分析：這是一個雙側檢驗的問題。我們所關心的是：穿鞋子過小的女性比例與75%是否有顯著差異。此時，可做如下假設：11(二)單側檢驗（單尾）關心的是要檢驗總體參數(shù)與假定值是否有特定方向的顯著差異。1.下側檢驗下側檢驗臨界值和拒絕域使用臨界值臨界值拒絕域12【例】已知番茄罐頭中，維生素C含量服從正態(tài)分布。按照規(guī)定，維生素C的含量不得少于21mg?，F(xiàn)從一批罐頭中抽取17罐，計算得維生素C含量的平均值為23mg，標準差為3.98mg。問該批罐頭維生素C的含量是否合格？

分析：這個題目中，我們關心的是罐頭中維生素C的含量是否合格，即維生素C的含量是否低于規(guī)定標準21mg，因此屬于下側檢驗的問題。應提出如下假設：

132.上側檢驗上側檢驗臨界值和拒絕域臨界值拒絕域使用臨界值14【例】某廠有一批產(chǎn)品，須經(jīng)檢驗合格才能出廠。按照規(guī)定，次品率不能超過2%。今從這批產(chǎn)品中任意抽取10件，發(fā)現(xiàn)有1件次品。問：這批產(chǎn)品是否合格？分析：題目關心的是：這批產(chǎn)品是否合格，等同于檢驗該批產(chǎn)品的次品率是否高于規(guī)定值2%，因此屬于上側檢驗的問題。應做如下假設：

15注釋：雙側檢驗與單側檢驗假設檢驗根據(jù)實際的需要可以分為：雙側檢驗（雙尾）:指只強調差異而不強調方向性的檢驗。單側檢驗（單尾）：強調某一方向性的檢驗。左側檢驗右側檢驗16假設檢驗中的兩類錯誤假設檢驗是依據(jù)樣本提供的信息進行推斷的,即由部分來推斷總體,因而假設檢驗不可能絕對準確,是可能犯錯誤的。兩類錯誤：

錯誤(I型錯誤):H0為真時卻被拒絕,棄真錯誤;

錯誤(II型錯誤):H0為假時卻被接受,取偽錯誤。

假設檢驗中各種可能結果的概率：接受H0,拒絕H1拒絕H0，接受H1H0為真

1－(正確決策)(棄真錯誤)H0為偽

(取偽錯誤)1-(正確決策)三、假設檢驗的兩類錯誤1718(1)與是兩個前提下的概率。即是拒絕原假設H0時犯錯誤的概率，這時前提是H0為真；是接受原假設H0時犯錯誤的概率，這時前提是H0為偽。所以＋不等于1。

(2)對于固定的n,與一般情況下不能同時減小。對于固定的n,越小,Z/2越大,從而接受假設區(qū)間(-Z/2,Z/2)越大,H0就越容易被接受,從而“取偽”的概率就越大;反之亦然。即樣本容量一定時，“棄真”概率和“取偽”概率不能同時減少，一個減少，另一個就增大。

與19

(3)要想減少與,一個方法就是要增大樣本容量n。與20四、檢驗統(tǒng)計量的構造根據(jù)樣本觀測結果計算得到的，并據(jù)以對原假設和備擇假設做出決策的某個樣本統(tǒng)計量，稱為檢驗統(tǒng)計量。與參數(shù)估計相同，需要考慮：總體是否正態(tài)分布；大樣本還是小樣本；總體方差已知還是未知。21五、假設檢驗的一般步驟(一)臨界值法的檢驗步驟提出與應用相適應的原假設

和備擇假設

。指定檢驗中的顯著性水平

。確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量。確定臨界值和拒絕域。利用樣本數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的值。利用拒絕規(guī)則，作出決策：若統(tǒng)計量的值落在拒絕域，則拒絕

；否則不能拒絕。22第二節(jié)總體均值的檢驗一、單個總體均值的假設檢驗(一)大樣本的檢驗方法(二)小樣本的檢驗方法（正態(tài)總體）23一、單個總體均值的假設檢驗(一)大樣本的檢驗方法1.總體方差已知【例】一種袋裝牛奶采用自動生產(chǎn)線包裝生產(chǎn)，按照標準，每袋牛奶的容量為221ml，標準差為5ml。質檢人員在某批包裝的牛奶中隨機抽取了50袋進行檢驗，測得樣本平均容量為220.5ml。要求：在顯著性水平為0.05的條件下檢驗該批袋裝牛奶是否符合標準要求。24解：這里，我們關心的是總體均值與221ml是否有顯著差異的問題，所以屬于雙側檢驗的問題。按照假設檢驗的步驟（臨界值法）：（1）依據(jù)題意設立假設（2）指定顯著性水平（3）確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量25（4）確定臨界值和拒絕域在的顯著性水平下，對應查標準正態(tài)分布表可得：臨界值為=1.96；拒絕域為：（5）利用樣本數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的值（6）根據(jù)規(guī)則作出決策由于-0.71>-1.96，統(tǒng)計量沒有落在拒絕域，因此不能拒絕原假設。即：沒有足夠證據(jù)表明該批產(chǎn)品不符合標準。

262.5%2.5%-1.961.96拒絕域拒絕域0-0.7127[例7-2]某市歷年來對7歲男孩的統(tǒng)計資料表明，他們的身高服從均值為1.32米、標準差為0.12米的正態(tài)分布?，F(xiàn)從各個學校隨機抽取25個7歲男學生，測得他們平均身高1.36米，若已知今年全市7歲男孩身高的標準差仍為0.12米，問與歷年7歲男孩的身高相比是否有顯著差異(?。?.05)。

解：從題意可知，＝1.36米，＝1.32米，＝0.12米。

(1)建立假設：H0：＝1.32，H1：1.32

(2)確定統(tǒng)計量：

28

(3)Z的分布：Z～N(0,1)

(4)對給定的＝0.05確定臨界值。因為是雙側備擇假設所以查表時要注意。因概率表是按雙側排列的，所以應查1-0.05＝0.95的值，查得臨界值＝1.96。

(5)檢驗準則。|Z|<1.96，接受H0，反之，拒絕H0。

(6)決策：因Z＝1.67＜1.96；落在了接受域，因此認為今年7歲男孩平均身高與歷年7歲男孩平均身高無顯著差異，即不能拒絕零假設。

29

例2：設某廠生產(chǎn)一種燈管,其壽命X~N(,2002),由以往經(jīng)驗知平均壽命

=1500小時,現(xiàn)采用新工藝后,在所生產(chǎn)的燈管中抽取25只,測得平均壽命1675小時,問采用新工藝后,燈管壽命是否有顯著提高。(=0.05)解:這里拒絕H030(一)大樣本的檢驗方法2.總體方差未知例3糖廠用自動打包機打包，已知包重服從正態(tài)分布。每天開工后需要檢驗一次打包機工作是否正常。每包標準重量為100公斤。某日開工后，隨機抽取30包測得平均重量是99.7公斤，標準差為0.2公斤。問該日打包機工作是否正常？31解：這個題目屬于大樣本且總體方差未知的情形。打包機對糖進行打包，少于或多于100公斤都不正常，所以此題屬于雙側檢驗的問題。假設檢驗過程如下（臨界值法）：（1）設立假設（2）指定顯著性水平（3）構造檢驗統(tǒng)計量

32（4）確定臨界值和拒絕域在的顯著性水平下，對應查標準正態(tài)分布表可得：臨界值為

=1.96；拒絕域為：（5）計算檢驗統(tǒng)計量的樣本觀測值（6）利用規(guī)則作出決策由于-8.22<-1.96,統(tǒng)計量落在了拒絕域內，因此拒絕原假設。即：有足夠證據(jù)表明，該日糖廠自動打包機工作不正常。332.5%2.5%-1.961.96拒絕域拒絕域0-8.2234(二)小樣本的檢驗方法(正態(tài)總體)

1.總體方差已知【例】設某產(chǎn)品的某指標服從正態(tài)分布，總體標準差為100個單位。今抽取了一個容量為17的樣本，計算得平均值為1650個單位。問在顯著性水平0.05下，能否認為這批產(chǎn)品的指標的期望值不低于1600？35解：（1）提出原假設和備擇假設

（2）確定顯著性水平（3）構造檢驗統(tǒng)計量由于題目給定是正態(tài)總體，所以同樣使用Z統(tǒng)計量36（4）確定臨界值和拒絕域單側檢驗下，對應查標準正態(tài)分布表可得：臨界值為=1.645；拒絕域為：（5）利用樣本信息計算統(tǒng)計量的值（6）利用規(guī)則作出決策由于2.06>1.645，統(tǒng)計量的觀測值落入了拒絕域內，因此有充分證據(jù)拒絕原假設。即這批產(chǎn)品的指標的期望值不低于1600。371.645拒絕域02.065%38·雙邊檢驗:對于假設H0：=0；H1：0由p{|T|t/2(n1)}=,得水平為的拒絕域為|T|t/2(n1),(二)小樣本的檢驗方法(正態(tài)總體)2.總體方差未知39t檢驗法是使用服從t分布的統(tǒng)計量檢驗正態(tài)總體平均值的方法。當正態(tài)總體標準差未知時，檢驗零假設H0：?？梢宰C明，在H0成立的前提下，有：（其中，樣本標準差）40例3用熱敏電阻測溫儀間接溫量地熱勘探井底溫度,重復測量7次，測得溫度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某種精確辦法測得溫度為112.6(可看作真值),試問用熱敏電阻測溫儀間接測溫有無系統(tǒng)偏差(設溫度測量值X服從正態(tài)分布,取=0.05)?解:H0：=112.6；H1：112.6由p{|T|t0.025(n1)}=0.05,得水平為=0.05的拒絕域為|T|t0.025(6)=2.4469這里接受H041

[例7-5]某制藥廠試制某種安定神經(jīng)的新藥，給10個病人試服，結果各病人增加睡眠量如表7-2所示。

表7-1病人服用新藥增加睡眠量表

試判斷這種新藥對病人有無安定神經(jīng)的功效(＝0.05)。

解：(1)建立假設H0：(沒有功效)；

H1：(有功效)(單側備擇假設)

(2)計算統(tǒng)計量：

=1.24=1.45

病人號碼12345678910增加睡眠（小時）0.7-1.1-0.21.20.13.43.70.81.82.042

=2.57

(3)確定統(tǒng)計量分布。本例中，。

(4)對于給定的顯著性水平0.05，查自由度為9的t分布表，單側臨界值為1.833。

(5)建立檢驗規(guī)則。|t|1.833，接受H0，否則，拒絕H0。

(6)結論。因為本例t＝2.57﹥1.833，所以，拒絕H0，即，認為這種新藥對病人有安定神經(jīng)的功效。

43【例】某公司年度財務報表的附注中聲明，其應收賬款的平均計算誤差不得超過50元。審計師從該公司年度內應收賬款賬戶中隨機抽取15筆進行調查，發(fā)現(xiàn)樣本平均計算誤差為55元，標準差為9元。假設該公司應收賬款的誤差服從正態(tài)分布，試以0.05的顯著性水平評估該公司應收賬款的平均計算誤差是否超過了規(guī)定的標準。44解：題目滿足正態(tài)總體、小樣本、總體方差未知的條件，應使用t檢驗。且題目關心的方向是“>”，屬于上側檢驗的問題。（1）設立原假設和備擇假設（2）確定顯著性水平（3）構造t統(tǒng)計量45（4）確定臨界值和拒絕域，由于此題是上側檢驗問題，所以查t分布表得：拒絕域為：（5）計算統(tǒng)計量的值（6）決策因為2.15>1.761，樣本統(tǒng)計值落在了拒絕域，應該拒絕原假設。即該公司應收賬款的平均計算誤差超過了規(guī)定的標準。

461.761拒絕域02.155%47例4已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112).某日測得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果標準差不變,該日鐵水的平均含碳量是否顯著偏低?(取=0.05)解:得水平為的拒絕域為這里拒絕H048注:上題中,用雙邊檢驗或右邊檢驗都是錯誤的.若用雙邊檢驗,H0：=4.55；H1：4.55,則拒絕域為由|U|=3.78>1.96,故拒絕H0,說明可以認為該日鐵水的平均含碳量顯著異于4.55.但無法說明是顯著高于還是低于4.55.不合題意若用右邊檢驗,H0：4.55；H1：>4.55,則拒絕域為由U=-3.78<-1.96,故接受H0,說明不能認為該日鐵水的平均含碳量顯著高于4.55.但無法區(qū)分是等于還是低于4.55.不合題意.49假定未知,·雙邊檢驗:對于假設501.總體均值已知時，檢驗總體方差是否等于已知常數(shù)時檢驗步驟：建立假設：H0：(已知數(shù))，H1：（或、）。計算統(tǒng)計量

三、總體方差的檢驗51確定統(tǒng)計量的分布。當H0成立，可證明

服從自由度為n的分布。對給定的顯著性水平，查分布表，得到檢驗臨界值。確定判別標準。若﹥或﹤(雙側備擇假設)，或﹥(右單側)或﹤(左單側)

則拒絕H0；否則，接受H0

。進行統(tǒng)計決策。52

2.總體均值未知時,在檢驗總體方差是否等于已知常數(shù)時，必須通過樣本，求得樣本平均數(shù)，用來代替總體均值，這時統(tǒng)計量

服從自由度為n-1的分布。

有時候樣本平均數(shù)未知，但已知樣本方差，則可用統(tǒng)計量

仍然服從自由度為n-1的分布。

53[例7-11]根據(jù)過去實驗．某產(chǎn)品的某種質量指標服從正態(tài)分布，其方差＝7.5?，F(xiàn)在，從這種產(chǎn)品中隨機抽取25件，測得樣本方差＝10，試判斷產(chǎn)品質量變異程度是否增大了(＝0.05)

解：(1)建立假設：H0：(已知數(shù))，H1：﹥。

(2)計算統(tǒng)計量

(3)確定統(tǒng)計量的分布。當H0成立，可證明

服從自由度df為25-1＝24的分布。54(4)對給定的顯著性水平，查分布表，得到檢驗臨界值。因為是右單側備擇假設，對應于＝0.05，df＝24，

＝36.415

(5)確定判別準則。若﹥＝36.415，則拒絕H0；否則，接受H0。

(6)作結論。因為＝44﹥36.415，所以，拒絕原假設，接受H1，認為產(chǎn)品質量變異程度增大了。

55例5電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，取10根測得其熔化時間（min）為42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.問是否可以認為整批保險絲的熔化時間的方差小于等于80?(=0.05),熔化時間為正態(tài)變量.)得水平為=0.05的拒絕域為這里接受H056設保險絲的融化時間服從正態(tài)分布，取9根測得其熔化時間（min）的樣本均值為62,標準差為