第七章 假設(shè)檢驗(yàn)

1教師：陳新宏單位：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

2第七章假設(shè)檢驗(yàn)

《統(tǒng)計(jì)學(xué)》編委制作3主要內(nèi)容第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理第二節(jié)總體均值的檢驗(yàn)第三節(jié)總體方差和比例的檢驗(yàn)4第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理一、假設(shè)檢驗(yàn)的意義和依據(jù)二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本形式三、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤四、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造五、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟51、小概率原理:指發(fā)生概率很小的隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的。小概率指p<5%。

2、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是應(yīng)用小概率原理。例如:某廠產(chǎn)品合格率為99%,從一批(100件)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,恰好是次品的概率為1%。隨機(jī)抽取一件是次品幾乎是不可能的,但是這種情況發(fā)生了,我們有理由懷疑該廠的合格率為99%.這時(shí)我們犯錯(cuò)誤的概率是1%。一、假設(shè)檢驗(yàn)的意義和依據(jù)63.顯著性水平用樣本推斷H0是否正確，必有犯錯(cuò)誤的可能。原假設(shè)H0正確，而被我們拒絕，犯這種錯(cuò)誤的概率用表示。把稱為假設(shè)檢驗(yàn)中的顯著性水平(Significantlevel),即決策中的風(fēng)險(xiǎn)。顯著性水平就是指當(dāng)原假設(shè)正確時(shí)人們卻把它拒絕了的概率或風(fēng)險(xiǎn)。通常取＝0.05或=0.01或=0.001,那么,接受原假設(shè)時(shí)正確的可能性(概率)為:95%,99%,99.9%。7二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本形式8雙側(cè)檢驗(yàn)臨界值和拒絕域使用臨界值臨界值臨界值拒絕域拒絕域(一)雙側(cè)檢驗(yàn)（雙尾）

關(guān)心的是要檢驗(yàn)總體參數(shù)與假定值有沒(méi)有顯著差異，而不問(wèn)差異的方向是正或負(fù)。9例：＝0.05時(shí)的接受域和拒絕域10【例】一個(gè)著名的醫(yī)生聲稱有75%的女性所穿鞋子過(guò)小，一個(gè)研究組織對(duì)356名女性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)其中有313名婦女所穿鞋子的號(hào)碼至少小一號(hào)。你對(duì)這個(gè)醫(yī)生的論斷有何看法？

分析：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)的問(wèn)題。我們所關(guān)心的是：穿鞋子過(guò)小的女性比例與75%是否有顯著差異。此時(shí)，可做如下假設(shè)：11(二)單側(cè)檢驗(yàn)（單尾）關(guān)心的是要檢驗(yàn)總體參數(shù)與假定值是否有特定方向的顯著差異。1.下側(cè)檢驗(yàn)下側(cè)檢驗(yàn)臨界值和拒絕域使用臨界值臨界值拒絕域12【例】已知番茄罐頭中，維生素C含量服從正態(tài)分布。按照規(guī)定，維生素C的含量不得少于21mg?，F(xiàn)從一批罐頭中抽取17罐，計(jì)算得維生素C含量的平均值為23mg，標(biāo)準(zhǔn)差為3.98mg。問(wèn)該批罐頭維生素C的含量是否合格？

分析：這個(gè)題目中，我們關(guān)心的是罐頭中維生素C的含量是否合格，即維生素C的含量是否低于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)21mg，因此屬于下側(cè)檢驗(yàn)的問(wèn)題。應(yīng)提出如下假設(shè)：

132.上側(cè)檢驗(yàn)上側(cè)檢驗(yàn)臨界值和拒絕域臨界值拒絕域使用臨界值14【例】某廠有一批產(chǎn)品，須經(jīng)檢驗(yàn)合格才能出廠。按照規(guī)定，次品率不能超過(guò)2%。今從這批產(chǎn)品中任意抽取10件，發(fā)現(xiàn)有1件次品。問(wèn)：這批產(chǎn)品是否合格？分析：題目關(guān)心的是：這批產(chǎn)品是否合格，等同于檢驗(yàn)該批產(chǎn)品的次品率是否高于規(guī)定值2%，因此屬于上側(cè)檢驗(yàn)的問(wèn)題。應(yīng)做如下假設(shè)：

15注釋：雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)實(shí)際的需要可以分為：雙側(cè)檢驗(yàn)（雙尾）:指只強(qiáng)調(diào)差異而不強(qiáng)調(diào)方向性的檢驗(yàn)。單側(cè)檢驗(yàn)（單尾）：強(qiáng)調(diào)某一方向性的檢驗(yàn)。左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)16假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)是依據(jù)樣本提供的信息進(jìn)行推斷的,即由部分來(lái)推斷總體,因而假設(shè)檢驗(yàn)不可能絕對(duì)準(zhǔn)確,是可能犯錯(cuò)誤的。兩類錯(cuò)誤：

錯(cuò)誤(I型錯(cuò)誤):H0為真時(shí)卻被拒絕,棄真錯(cuò)誤;

錯(cuò)誤(II型錯(cuò)誤):H0為假時(shí)卻被接受,取偽錯(cuò)誤。

假設(shè)檢驗(yàn)中各種可能結(jié)果的概率：接受H0,拒絕H1拒絕H0，接受H1H0為真

1－(正確決策)(棄真錯(cuò)誤)H0為偽

(取偽錯(cuò)誤)1-(正確決策)三、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤1718(1)與是兩個(gè)前提下的概率。即是拒絕原假設(shè)H0時(shí)犯錯(cuò)誤的概率，這時(shí)前提是H0為真；是接受原假設(shè)H0時(shí)犯錯(cuò)誤的概率，這時(shí)前提是H0為偽。所以＋不等于1。

(2)對(duì)于固定的n,與一般情況下不能同時(shí)減小。對(duì)于固定的n,越小,Z/2越大,從而接受假設(shè)區(qū)間(-Z/2,Z/2)越大,H0就越容易被接受,從而“取偽”的概率就越大;反之亦然。即樣本容量一定時(shí)，“棄真”概率和“取偽”概率不能同時(shí)減少，一個(gè)減少，另一個(gè)就增大。

與19

(3)要想減少與,一個(gè)方法就是要增大樣本容量n。與20四、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造根據(jù)樣本觀測(cè)結(jié)果計(jì)算得到的，并據(jù)以對(duì)原假設(shè)和備擇假設(shè)做出決策的某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量，稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。與參數(shù)估計(jì)相同，需要考慮：總體是否正態(tài)分布；大樣本還是小樣本；總體方差已知還是未知。21五、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟(一)臨界值法的檢驗(yàn)步驟提出與應(yīng)用相適應(yīng)的原假設(shè)

和備擇假設(shè)

。指定檢驗(yàn)中的顯著性水平

。確定適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。確定臨界值和拒絕域。利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。利用拒絕規(guī)則，作出決策：若統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕域，則拒絕

；否則不能拒絕。22第二節(jié)總體均值的檢驗(yàn)一、單個(gè)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)(一)大樣本的檢驗(yàn)方法(二)小樣本的檢驗(yàn)方法（正態(tài)總體）23一、單個(gè)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)(一)大樣本的檢驗(yàn)方法1.總體方差已知【例】一種袋裝牛奶采用自動(dòng)生產(chǎn)線包裝生產(chǎn)，按照標(biāo)準(zhǔn)，每袋牛奶的容量為221ml，標(biāo)準(zhǔn)差為5ml。質(zhì)檢人員在某批包裝的牛奶中隨機(jī)抽取了50袋進(jìn)行檢驗(yàn)，測(cè)得樣本平均容量為220.5ml。要求：在顯著性水平為0.05的條件下檢驗(yàn)該批袋裝牛奶是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求。24解：這里，我們關(guān)心的是總體均值與221ml是否有顯著差異的問(wèn)題，所以屬于雙側(cè)檢驗(yàn)的問(wèn)題。按照假設(shè)檢驗(yàn)的步驟（臨界值法）：（1）依據(jù)題意設(shè)立假設(shè)（2）指定顯著性水平（3）確定適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量25（4）確定臨界值和拒絕域在的顯著性水平下，對(duì)應(yīng)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得：臨界值為=1.96；拒絕域?yàn)椋海?）利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值（6）根據(jù)規(guī)則作出決策由于-0.71>-1.96，統(tǒng)計(jì)量沒(méi)有落在拒絕域，因此不能拒絕原假設(shè)。即：沒(méi)有足夠證據(jù)表明該批產(chǎn)品不符合標(biāo)準(zhǔn)。

262.5%2.5%-1.961.96拒絕域拒絕域0-0.7127[例7-2]某市歷年來(lái)對(duì)7歲男孩的統(tǒng)計(jì)資料表明，他們的身高服從均值為1.32米、標(biāo)準(zhǔn)差為0.12米的正態(tài)分布?，F(xiàn)從各個(gè)學(xué)校隨機(jī)抽取25個(gè)7歲男學(xué)生，測(cè)得他們平均身高1.36米，若已知今年全市7歲男孩身高的標(biāo)準(zhǔn)差仍為0.12米，問(wèn)與歷年7歲男孩的身高相比是否有顯著差異(?。?.05)。

解：從題意可知，＝1.36米，＝1.32米，＝0.12米。

(1)建立假設(shè)：H0：＝1.32，H1：1.32

(2)確定統(tǒng)計(jì)量：

28

(3)Z的分布：Z～N(0,1)

(4)對(duì)給定的＝0.05確定臨界值。因?yàn)槭请p側(cè)備擇假設(shè)所以查表時(shí)要注意。因概率表是按雙側(cè)排列的，所以應(yīng)查1-0.05＝0.95的值，查得臨界值＝1.96。

(5)檢驗(yàn)準(zhǔn)則。|Z|<1.96，接受H0，反之，拒絕H0。

(6)決策：因Z＝1.67＜1.96；落在了接受域，因此認(rèn)為今年7歲男孩平均身高與歷年7歲男孩平均身高無(wú)顯著差異，即不能拒絕零假設(shè)。

29

例2：設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管,其壽命X~N(,2002),由以往經(jīng)驗(yàn)知平均壽命

=1500小時(shí),現(xiàn)采用新工藝后,在所生產(chǎn)的燈管中抽取25只,測(cè)得平均壽命1675小時(shí),問(wèn)采用新工藝后,燈管壽命是否有顯著提高。(=0.05)解:這里拒絕H030(一)大樣本的檢驗(yàn)方法2.總體方差未知例3糖廠用自動(dòng)打包機(jī)打包，已知包重服從正態(tài)分布。每天開工后需要檢驗(yàn)一次打包機(jī)工作是否正常。每包標(biāo)準(zhǔn)重量為100公斤。某日開工后，隨機(jī)抽取30包測(cè)得平均重量是99.7公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2公斤。問(wèn)該日打包機(jī)工作是否正常？31解：這個(gè)題目屬于大樣本且總體方差未知的情形。打包機(jī)對(duì)糖進(jìn)行打包，少于或多于100公斤都不正常，所以此題屬于雙側(cè)檢驗(yàn)的問(wèn)題。假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程如下（臨界值法）：（1）設(shè)立假設(shè)（2）指定顯著性水平（3）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

32（4）確定臨界值和拒絕域在的顯著性水平下，對(duì)應(yīng)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得：臨界值為

=1.96；拒絕域?yàn)椋海?）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本觀測(cè)值（6）利用規(guī)則作出決策由于-8.22<-1.96,統(tǒng)計(jì)量落在了拒絕域內(nèi)，因此拒絕原假設(shè)。即：有足夠證據(jù)表明，該日糖廠自動(dòng)打包機(jī)工作不正常。332.5%2.5%-1.961.96拒絕域拒絕域0-8.2234(二)小樣本的檢驗(yàn)方法(正態(tài)總體)

1.總體方差已知【例】設(shè)某產(chǎn)品的某指標(biāo)服從正態(tài)分布，總體標(biāo)準(zhǔn)差為100個(gè)單位。今抽取了一個(gè)容量為17的樣本，計(jì)算得平均值為1650個(gè)單位。問(wèn)在顯著性水平0.05下，能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600？35解：（1）提出原假設(shè)和備擇假設(shè)

（2）確定顯著性水平（3）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由于題目給定是正態(tài)總體，所以同樣使用Z統(tǒng)計(jì)量36（4）確定臨界值和拒絕域單側(cè)檢驗(yàn)下，對(duì)應(yīng)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得：臨界值為=1.645；拒絕域?yàn)椋海?）利用樣本信息計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值（6）利用規(guī)則作出決策由于2.06>1.645，統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值落入了拒絕域內(nèi)，因此有充分證據(jù)拒絕原假設(shè)。即這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600。371.645拒絕域02.065%38·雙邊檢驗(yàn):對(duì)于假設(shè)H0：=0；H1：0由p{|T|t/2(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)閨T|t/2(n1),(二)小樣本的檢驗(yàn)方法(正態(tài)總體)2.總體方差未知39t檢驗(yàn)法是使用服從t分布的統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)正態(tài)總體平均值的方法。當(dāng)正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，檢驗(yàn)零假設(shè)H0：?？梢宰C明，在H0成立的前提下，有：（其中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差）40例3用熱敏電阻測(cè)溫儀間接溫量地?zé)峥碧骄诇囟?重復(fù)測(cè)量7次，測(cè)得溫度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某種精確辦法測(cè)得溫度為112.6(可看作真值),試問(wèn)用熱敏電阻測(cè)溫儀間接測(cè)溫有無(wú)系統(tǒng)偏差(設(shè)溫度測(cè)量值X服從正態(tài)分布,取=0.05)?解:H0：=112.6；H1：112.6由p{|T|t0.025(n1)}=0.05,得水平為=0.05的拒絕域?yàn)閨T|t0.025(6)=2.4469這里接受H041

[例7-5]某制藥廠試制某種安定神經(jīng)的新藥，給10個(gè)病人試服，結(jié)果各病人增加睡眠量如表7-2所示。

表7-1病人服用新藥增加睡眠量表

試判斷這種新藥對(duì)病人有無(wú)安定神經(jīng)的功效(＝0.05)。

解：(1)建立假設(shè)H0：(沒(méi)有功效)；

H1：(有功效)(單側(cè)備擇假設(shè))

(2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：

=1.24=1.45

病人號(hào)碼12345678910增加睡眠（小時(shí)）0.7-1.1-0.21.20.13.43.70.81.82.042

=2.57

(3)確定統(tǒng)計(jì)量分布。本例中，。

(4)對(duì)于給定的顯著性水平0.05，查自由度為9的t分布表，單側(cè)臨界值為1.833。

(5)建立檢驗(yàn)規(guī)則。|t|1.833，接受H0，否則，拒絕H0。

(6)結(jié)論。因?yàn)楸纠齮＝2.57﹥1.833，所以，拒絕H0，即，認(rèn)為這種新藥對(duì)病人有安定神經(jīng)的功效。

43【例】某公司年度財(cái)務(wù)報(bào)表的附注中聲明，其應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差不得超過(guò)50元。審計(jì)師從該公司年度內(nèi)應(yīng)收賬款賬戶中隨機(jī)抽取15筆進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)樣本平均計(jì)算誤差為55元，標(biāo)準(zhǔn)差為9元。假設(shè)該公司應(yīng)收賬款的誤差服從正態(tài)分布，試以0.05的顯著性水平評(píng)估該公司應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差是否超過(guò)了規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)。44解：題目滿足正態(tài)總體、小樣本、總體方差未知的條件，應(yīng)使用t檢驗(yàn)。且題目關(guān)心的方向是“>”，屬于上側(cè)檢驗(yàn)的問(wèn)題。（1）設(shè)立原假設(shè)和備擇假設(shè)（2）確定顯著性水平（3）構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量45（4）確定臨界值和拒絕域，由于此題是上側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，所以查t分布表得：拒絕域?yàn)椋海?）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值（6）決策因?yàn)?.15>1.761，樣本統(tǒng)計(jì)值落在了拒絕域，應(yīng)該拒絕原假設(shè)。即該公司應(yīng)收賬款的平均計(jì)算誤差超過(guò)了規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)。

461.761拒絕域02.155%47例4已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112).某日測(cè)得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果標(biāo)準(zhǔn)差不變,該日鐵水的平均含碳量是否顯著偏低?(取=0.05)解:得水平為的拒絕域?yàn)檫@里拒絕H048注:上題中,用雙邊檢驗(yàn)或右邊檢驗(yàn)都是錯(cuò)誤的.若用雙邊檢驗(yàn),H0：=4.55；H1：4.55,則拒絕域?yàn)橛蓔U|=3.78>1.96,故拒絕H0,說(shuō)明可以認(rèn)為該日鐵水的平均含碳量顯著異于4.55.但無(wú)法說(shuō)明是顯著高于還是低于4.55.不合題意若用右邊檢驗(yàn),H0：4.55；H1：>4.55,則拒絕域?yàn)橛蒛=-3.78<-1.96,故接受H0,說(shuō)明不能認(rèn)為該日鐵水的平均含碳量顯著高于4.55.但無(wú)法區(qū)分是等于還是低于4.55.不合題意.49假定未知,·雙邊檢驗(yàn):對(duì)于假設(shè)501.總體均值已知時(shí)，檢驗(yàn)總體方差是否等于已知常數(shù)時(shí)檢驗(yàn)步驟：建立假設(shè)：H0：(已知數(shù))，H1：（或、）。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

三、總體方差的檢驗(yàn)51確定統(tǒng)計(jì)量的分布。當(dāng)H0成立，可證明

服從自由度為n的分布。對(duì)給定的顯著性水平，查分布表，得到檢驗(yàn)臨界值。確定判別標(biāo)準(zhǔn)。若﹥或﹤(雙側(cè)備擇假設(shè))，或﹥(右單側(cè))或﹤(左單側(cè))

則拒絕H0；否則，接受H0

。進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策。52

2.總體均值未知時(shí),在檢驗(yàn)總體方差是否等于已知常數(shù)時(shí)，必須通過(guò)樣本，求得樣本平均數(shù)，用來(lái)代替總體均值，這時(shí)統(tǒng)計(jì)量

服從自由度為n-1的分布。

有時(shí)候樣本平均數(shù)未知，但已知樣本方差，則可用統(tǒng)計(jì)量

仍然服從自由度為n-1的分布。

53[例7-11]根據(jù)過(guò)去實(shí)驗(yàn)．某產(chǎn)品的某種質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其方差＝7.5?，F(xiàn)在，從這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25件，測(cè)得樣本方差＝10，試判斷產(chǎn)品質(zhì)量變異程度是否增大了(＝0.05)

解：(1)建立假設(shè)：H0：(已知數(shù))，H1：﹥。

(2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

(3)確定統(tǒng)計(jì)量的分布。當(dāng)H0成立，可證明

服從自由度df為25-1＝24的分布。54(4)對(duì)給定的顯著性水平，查分布表，得到檢驗(yàn)臨界值。因?yàn)槭怯覇蝹?cè)備擇假設(shè)，對(duì)應(yīng)于＝0.05，df＝24，

＝36.415

(5)確定判別準(zhǔn)則。若﹥＝36.415，則拒絕H0；否則，接受H0。

(6)作結(jié)論。因?yàn)椋?4﹥36.415，所以，拒絕原假設(shè)，接受H1，認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量變異程度增大了。

55例5電工器材廠生產(chǎn)一批保險(xiǎn)絲，取10根測(cè)得其熔化時(shí)間（min）為42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.問(wèn)是否可以認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的熔化時(shí)間的方差小于等于80?(=0.05),熔化時(shí)間為正態(tài)變量.)得水平為=0.05的拒絕域?yàn)檫@里接受H056設(shè)保險(xiǎn)絲的融化時(shí)間服從正態(tài)分布，取9根測(cè)得其熔化時(shí)間（min）的樣本均值為62,標(biāo)準(zhǔn)差為