高中數(shù)學人教A版第二章點直線平面之間的位置關(guān)系單元測試 市賽獲獎

湖北省部分重點中學2023－2023學年度上學期高二期中考試數(shù)學試卷（文科）命題人：市49中唐和海審題人：武漢中學楊銀舟一、選擇題（5×12＝60分）1.下列命題正確的是（）A．經(jīng)過三點確定一個平面B．經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C．四邊形確定一個平面D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面2.為了解1200名學生對學校教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為30的樣本，考慮采用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為（）3.已知直線⊥平面，直線m，給出下列命題：①∥②∥m;③∥m④；其中正確的命題是（）A．①②③B．②③④C．②④D．①③4.某程序框圖如圖所示,若輸出的S=57,則判斷框內(nèi)為（）A．k>4?B．k>5?C．k>6?D．k>7?5.有5根細木棍，長度分別為1、3、5、7、9(cm)，從中任取三根，能搭成三角形的概率為（）A．B．C．D．6.如右圖是歌手大獎賽中，七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1，a2，則一定有()A．a(chǎn)1>a2B．a(chǎn)2>a1C．a(chǎn)1＝a2D．a(chǎn)1、a2的大小不確定7.某人5次上班途中所花的時間（單位：min）分別為：x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10，方差為2，則的值為（）A．1B．2C．3D．48.兩條異面直線a,b所成的角是60°，A為空間一定點，則過點A作一條與直線a,b均成60°的直線，這樣的直線能作幾條（）條條條條9.如右圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成角；④與垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④10.如圖，在棱長為1的正方體—中，點在線段上運動，給出以下四個命題：①異面直線與所成的角為定值；②二面角的大小為定值；③三棱錐的體積為定值；其中真命題的個數(shù)為()A．B． C．D．11.下列表格所示的五個散點，原本數(shù)據(jù)完整，且利用最小二乘法求得這五個散點的線性回歸直線方程為，后因某未知原因第5組數(shù)據(jù)的值模糊不清，此位置數(shù)據(jù)記為（如下表所示），則利用回歸方程可求得實數(shù)的值為（）1961972002032041367（A）（B）（C）（D）12.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為()A.B.C.D.二、填空題（5×4＝20分）13.已知A表示點，a，b，c表示直線，M，N表示平面，給出以下命題：①a⊥M，若M⊥N，則a∥N②a⊥M，若b∥M,c∥a,則a⊥b,c⊥b③a⊥M，bM,若b∥M，則b⊥a④ab∩=A,c為b在內(nèi)的射影，若a⊥c，則a⊥b。其中命題成立的是___________14.執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸入的值為8，則輸出的值為．（15題圖）（14題圖）（15題圖）（14題圖）15.如右上圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是．16.甲、乙兩艘輪船都要停靠在同一個泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達．甲、乙兩船?？坎次坏臅r間分別為4小時與2小時，則有一艘船停靠泊位時必需等待一段時間的概率為．三、解答題（10+12×5＝70分）17.（10分）某市規(guī)定，高中學生在校期間須參加不少于80小時的社區(qū)服務(wù)才合格．某校隨機抽取20位學生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學生人數(shù)；（Ⅱ）從參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學生中任意選取2人，求所選學生的參加社區(qū)服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率．18.（12分）已知：四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PD的中點，PA=a，∠PDA=45o(1)求證：AF∥平面PCE；(2)求證：平面PCE⊥平面PCD；(3)求點D到平面PCE的距離.19.（12分）某學校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如下圖所示，其中成績分組區(qū)間是：，，，，。（1）求圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；（3）若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)與數(shù)學成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)之比如下表所示，求數(shù)學成績在之外的人數(shù)。分數(shù)段x：y1：12：13：44：520.已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，PG=4。（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC,PF:FC=k,求k的值.21.等邊三角形ABC的邊長為2,沿平行于BC的線段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，設(shè)點A到直線PQ的距離為x，AB的長為d．（Ⅰ）x為何值時，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．22.如圖：在三棱錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且.（1）求三棱錐D－ABC的表面積；（2）求證AC⊥平面DEF；（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．

湖北省部分重點中學2023－2023學年度上學期高二期中考試文科數(shù)學試題答案1~5、DADAD6~10、BDCCD11、D12、B13、②③④14、815、90°16、16、解：甲比乙早到4小時內(nèi)乙需等待，甲比乙晚到2小時內(nèi)甲需等待．以x和y分別表示甲、乙兩船到達泊位的時間，則有一艘船停靠泊位時需等待一段時間的充要條件為－2≤x－y≤4，在如圖所示的平面直角坐標系內(nèi)，（x，y）的所有可能結(jié)果是邊長為24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位時需等待一段時間”的可能結(jié)果 由陰影部分表示．由幾何概型公式得：P（A）＝1-＝．17、解：（Ⅰ）由題意可知，參加社區(qū)服務(wù)在時間段[90，95）的學生人數(shù)為20××5=4（人），參加社區(qū)服務(wù)在時間段[95，100]的學生人數(shù)為20××5=2（人）．所以參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學生人數(shù)為4+2=6（人）．…………5分（Ⅱ）設(shè)所選學生的服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)為事件A．由（Ⅰ）可知，參加社區(qū)服務(wù)在時間段[90，95）的學生有4人，記為a，b，c，d；參加社區(qū)服務(wù)在時間段[95，100]的學生有2人，記為A，B．從這6人中任意選取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以所選學生的服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率．…………10分18.（1）取PC的中點為G，連結(jié)FG、EG∵FG∥DCFG=DCDC∥ABAE=AB∴FG∥AE且FG＝AE∴四邊形AFGE為平行四邊形∴AF∥EG又∵AF平面PCEEG平面PCE∴AF∥平面PCE…………4分（2）∵PA⊥平面ABCDAD⊥DC∴PD⊥DC∴∠PDA為二面角P-CD-B的平面角∴∠PDA=45o，即△PAD為等腰直角三角形又∵F為PD的中點AF⊥PD①由DC⊥ADDC⊥PDAD∩PD=D得：DC⊥平面PAD而AF平面PAD∴AF⊥DC②由①②得AF⊥平面PDC而EG∥AF∴EG⊥平面PDC又EG平面PCE∴平面PCE⊥平面PDC…………8分（3）過點D作DH⊥PC于H∵平面PCE⊥平面PDC∴DH⊥平面PEC即DH的長為點D到平面PEC的距離在Rt△PAD中，PA=AD=aPD=a在Rt△PDC中，PD=a,CD=aPC=aDH=a即：點D到平面PCE的距離為a…………12分19、(1)……2分解得………………3分(2)50-60段語文成績的人數(shù)為：60-70段語文成績的人數(shù)為：4分70-80段語文成績的人數(shù)為：80-90段語文成績的人數(shù)為：90-100段語文成績的人數(shù)為：………………5分(3)依題意：50-60段數(shù)學成績的人數(shù)=50-60段語文成績的人數(shù)為=5人60-70段數(shù)學成績的的人數(shù)為=50-60段語文成績的人數(shù)的一半=70-80段數(shù)學成績的的人數(shù)為=80-90段數(shù)學成績的的人數(shù)為=90-100段數(shù)學成績的的人數(shù)為=……12分20、解法一：（I）如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標系o—xyz，則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）故異面直線GE與PC所成角的余弦值為.…………6分（Ⅱ）設(shè)F（0，y,z）在平面PGC內(nèi)過F點作FM⊥GC，M為垂足，則，∴……12分解法二：（Ⅰ）在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴異面直線GE與PC所成角的余弦值為.…………6分（Ⅱ）在平面GBCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，又因為DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG由得GM⊥MD，∴GM=GD·cos45°=，∴………………12分21、解：（Ⅰ）如圖（1）為折疊前對照圖，圖（2）為折疊后的空間圖形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴當時，d2取得最小值．…………6分（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴當時，cosθ取得最小值．…………12分22、解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．…………1分設(shè)G為CD的中點，則CG＝，AG＝．∴，，．……3分三棱錐D－ABC的表面積為．…………4分（2）取AC的中點H，∵AB＝BC，∴