層次分析法及模糊綜合評價建模方法

層次分析法及模糊綜合評價建模方法第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日一、層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立。2）構(gòu)造判斷矩陣用相互比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對每一相互比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日3層次分析法（AHP）求解流程圖建立層次結(jié)構(gòu)分析模型構(gòu)造判斷矩陣層次單排序及其一致性檢驗(yàn)層次總排序的一致性檢驗(yàn)層次總排序第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日二.層次分析法的廣泛應(yīng)用

應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。

構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日5整個層次結(jié)構(gòu)分析模型可以分成三層：

最高層(目的層)——合理使用利潤，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展。

中間層

(各種使用企業(yè)留成利潤方案所應(yīng)當(dāng)考慮的準(zhǔn)則)——進(jìn)一步調(diào)動廣大職工勞動積極性，大力提高企業(yè)技術(shù)水平和盡力改善職工物質(zhì)文化生活。

最低層（所考慮的五種措施）—選擇最優(yōu)方案。這種層次結(jié)構(gòu)分析模型可用下圖所示。第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日6合理使用企業(yè)利潤促進(jìn)企業(yè)發(fā)展調(diào)動職工勞動積極性B1提高企業(yè)技術(shù)水平B2改善職工物質(zhì)文化生活B3發(fā)獎金S1擴(kuò)大集體福利事業(yè)S2辦職工業(yè)余技校S3建圖書館俱樂部文體工隊(duì)S4引進(jìn)新技術(shù)設(shè)備S5目標(biāo)（O）層準(zhǔn)則（C）層措施層(P)第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日國家綜合實(shí)力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實(shí)力分析例2

工作選擇第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日過河的效益

A經(jīng)濟(jì)效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日過河的代價

A經(jīng)濟(jì)代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日待評價的科技成果直接經(jīng)濟(jì)效益

C11間接經(jīng)濟(jì)效益

C12社會效益

C13學(xué)識水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日三.層次分析法的若干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權(quán)向量？

當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)正互矩陣：設(shè)，若元素滿足一致矩陣：設(shè)為一個正互矩陣，并且滿足第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日一致矩陣性質(zhì)：設(shè)，則有(1)(2)A的每一行(列)元素均是第一行(列)相應(yīng)元素的正倍數(shù)，并且rank(A)=1(3)A的最大特征值，其余的特征值均為0.(4)若對應(yīng)的特征向量為，則第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日定理1

正矩陣A的最大特征根是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根,是A為一致陣的充要條件.

正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標(biāo)定義合理第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日1）將A的每一列向量歸一化到得2.

正互反陣最大特征根和特征向量的實(shí)用算法

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——和法的步驟如下：2）對按行求和得4）計算最大特征值3）將歸一化得，則為近似特征向量；第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日列向量歸一化歸一化精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010按行求和第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)2第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日18關(guān)于如何確定成對比較矩陣

中元素的值,Saaty等建議試用1~9尺度，即的取值范圍是1,2，…,9以及倒數(shù)是1,1\2,…,1\9,判斷矩陣的元素一般采用1~9及其倒數(shù)的標(biāo)度方法。標(biāo)度含義135792，4，6，8倒數(shù)Ci與Cj的影響相同Ci比Cj的影響稍強(qiáng)Ci比Cj的影響強(qiáng)Ci比Cj的影響明顯強(qiáng)Ci比Cj的影響絕對強(qiáng)Ci與Cj的影響之比在上述兩個相鄰等級之間若因素i與j比較得判斷,則因素j與i

比較的判斷為Cji=1/Cij

第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日19當(dāng)CR<0.1時，層次單排序的結(jié)果才認(rèn)為是滿意的，此時我們用A的最大特征值對應(yīng)的歸一化的特征向量作為比較矩陣的權(quán)重向量。當(dāng)CR>=0.1時，必須重新調(diào)整成對比較矩陣A，直至具有滿意的一致性。判斷矩陣階數(shù)n12345678910RI000.580.91.121.241.321.411.451.49一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)一致性比率第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日3.

特征向量作為權(quán)向量——成對比較的多步累積效應(yīng)問題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與

aij相差盡量?。▽λ衖,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日

按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。成對比較Ci:Cj(直接比較）aij~1步強(qiáng)度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強(qiáng)度更能反映Ci對Cj的強(qiáng)度多步累積效應(yīng)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)當(dāng)k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第2層對第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計算第3層對第1層權(quán)向量w(3）的方法貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2P1P3P4例:評價教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日

不考慮支配元素數(shù)目不等的影響

仍用計算

支配元素越多權(quán)重越大用支配元素數(shù)目n1,n2對w(2)加權(quán)修正

若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評價應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1

再用計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研任務(wù)由上級安排教學(xué)、科研靠個人積極性考察一個特例：第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日5.

殘缺成對比較陣的處理mi~A第i行中的個數(shù)為殘缺元素輔助矩陣第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日6.

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)

遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨(dú)立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動底盤車輪方向盤發(fā)動機(jī)減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運(yùn)行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例第二十五頁，