相交線與平行線知識點與練習(xí)

相交線與平行線知識點與練習(xí)相交線與平行線知識點與練習(xí)28/28相交線與平行線知識點與練習(xí)知識點一：鄰補角定義：兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這樣的關(guān)系的兩個角互為鄰補角。留意：（1）鄰補角形成的前提是兩直線相交；（2）互為鄰補角要同時滿意三個條件：1,有公共頂點；2,其中一邊是公共邊；3,另一邊互為反向延長線；（3）鄰補角包含了兩個角的位置關(guān)系，又包括兩個角的數(shù)量關(guān)系?！班彙敝肝恢孟噜彽?，“補”指兩個角的和為180°。若兩個角互為鄰補角且度數(shù)之比為3：2，求這兩個角的度數(shù)。知識點二：對頂角定義：兩個角有一個公共的頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角。例1：如圖所示：直線AB,CD相交于點O，OE,OF是過點O的射線，其中構(gòu)成對頂角的是（）A.∠AOF和∠DOEB.∠EOF和∠BOEC.∠BOC和∠AODD.∠COF和∠BOD對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。例2：如圖，直線EF交直線AB,CD于G,H兩點，∠1=∠2，∠3=120°，求∠4的度數(shù)。練：如圖，直線AB,CD,EF相交于點O，∠AOE=24°，∠BOC=3∠AOC，求∠DOF的度數(shù)。知識點三：垂線定義：兩條直線相交成90°角，則這兩條直線相互垂直。其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足。假如a是b的垂線，則b也是a的垂線，寫成：a⊥b或b⊥a。例：如圖所示，已知直線AB,CD,EF相交于點O，且CD⊥AB?！螦OE:∠AOD=2：5，求∠BOF,∠DOF的度數(shù)。知識點四：垂線的畫法三角板畫法：一落：讓直角三角形的一條直角邊落在已知直線上，即及已知直線重合；二移：沿已知直線移動三角板，使其另一條直角邊經(jīng)過已知點；三畫：沿及已知直線不重合的直角邊畫直線，這條直線就是已知直線的垂線。量角器畫法：一落：將量角器的0°刻度線及已知直線重合；二移：沿已知直線移動量角器，使90°刻度線經(jīng)過已知點，作出90°刻度線上的另一點；“三畫”用量角器的底邊連接已知點和另一點，這條直線就是已知直線的垂線。例：如圖所示：直線AB,CD相交于點O，Q是CD上一點。過點Q畫AB的垂線，E為垂足；過點O畫CD的垂線。知識點5：垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線于已知直線垂直?！坝小北硎敬嬖冢爸挥小北硎疚ㄒ?。性質(zhì)2：連接直線外一點及直線上各點的全部線段中，垂線段最短。簡單地說：垂線段最短。例：如圖，在鐵路旁邊有一個村莊A，現(xiàn)要建一個火車站，為了使此村莊的人乘火車最便利（即距離最近），應(yīng)怎樣選擇火車站的位置呢？請你畫圖說明，并說明其中所蘊含的數(shù)學(xué)道理。垂直,垂線,垂線段的概念辨析：垂直：直線AB，CD相交，所交的角是90°，AB及CD相互垂直。垂線：兩條直線相互垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，單獨一條直線不能叫做垂線。垂線段：連接直線l外一點A及直線l上各點的線段中，及直線l垂直的線段叫做點A到直線l的垂線段。例：下列說法不正確的是（）經(jīng)過一點能畫一條直線和已知直線垂直；B.一條直線可以有多數(shù)條垂線C.在同一平面內(nèi)，過射線的端點及該射線垂直的直線只有一條D.過直線外一點并過直線上一點可畫一條直線及該直線垂直點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。例：如圖所示，找出圖中能表示點到直線（或線段）的距離的線段。知識點6：同位角,內(nèi)錯角,同旁內(nèi)角直線AB，CD被直線EF所截，形成了8個角。同位角：兩個角都在兩條被截線同一方，并在截線的同側(cè)，這樣一對角叫做同位線。內(nèi)錯角：兩個角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩側(cè)，這樣一對角叫做內(nèi)錯角。同旁內(nèi)角：兩個角都在兩條被截線之間，并且在截線的同側(cè)，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。例：如圖，指出圖中的同位角,內(nèi)錯角,同旁內(nèi)角。練1：如圖所示，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠B中，同位角是_______________________________，內(nèi)錯角是_______________________________，同旁內(nèi)角是______________________________________。練2：如圖，指出下列各組角是哪兩條直線被哪一條直線所截取而得到的，并說明它們的名稱：∠1和∠9；∠1和∠2；∠3和∠5；∠2和∠7；∠5和∠8；∠6和∠7；∠6和∠8；∠8和∠9；∠4和∠7。練習(xí)：如圖所示，M，N是直線AB上兩點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1及∠2，∠3和∠4是對頂角嗎？2,“假如∠1+∠2+∠3=180°，則∠1，∠2，∠3互補”這種說法正確嗎？3,下列推斷中錯誤的是（）A.一條線段有多數(shù)條垂線B.若兩條直線相交，則它們相互垂直C.兩直線相交所成的四個角中，若有一個角為90°，則這兩條直線相互垂直。D.在同一平面內(nèi)，過線段AB的中點有且只有一條直線及線段AB垂直4,下列選項中，∠1及∠2是同位角的是（）5,如圖1，直線a和直線b相交于點O，∠1=50°，則∠2=__________.6,如圖2，直線AB,CD相交于點O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，則∠AOE=_______.7,如圖3，點A，O，B在同一條直線上，已知∠BOC=50°，則∠AOC=_______。8,如圖4，已知∠BOC=30°，OD平分∠BOC，則∠AOD=_______.9,如圖5，AB⊥CD，垂足為點B，EF平分∠ABD，則∠CBF的度數(shù)為__________.10,如圖6，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（）A.20°B.40°C.50°D.60°11,如圖7，及∠1是內(nèi)錯角的是（）A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5知識點一：平行線的定義及表示方法定義：同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。如圖，直線a及直線b相互平行，記作a//b。留意：兩條線段或射線平行是指這兩條線段或射線所在的直線相互平行。例：下列說法：①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段平行；②在同一平面內(nèi)，射線a及射線b沒有交點，則a//b；③若兩直線l，l平行，則l上的線段AB及l(fā)上的射線OP確定平行；④若直線m及直線n沒有交點，則m//n。其中，正確的個數(shù)是（）A.4B.3C.2D.1知識點二：平行線的畫法利用三角尺和直尺過直線外一點畫已知直線的平行線口訣：一落，二靠，三推，四畫。一落：將三角尺的一邊落在已知直線上二靠：將直尺緊靠三角尺的另兩邊的隨意一邊；三推：沿直尺移動三角尺，使三角尺一邊正好經(jīng)過已知點；四畫：沿過已知點的三角尺的一邊畫直線。例：讀下面的語句，并作圖：（1）如圖1，過點A作AF//CE，交BC于點F.（2）如圖2，過點C作CE//AD，交BA的延長線于點E。知識點三：平行公理及推論1,平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線及這條直線平行。2,平行公理的推論（平行線的傳遞性）：假如兩條直線都及第三條直線平行，則這兩條直線也相互平行，即假如a//b，c//b，則a//c。例：同一平面內(nèi)，已知直線AB及EF相交于點M，AB//CD，則EF及CD具有怎樣的位置關(guān)系？為什么？例：如圖，直線a//b，b//c，c//d，則a//d嗎？為什么？例：下列說法中正確的是（）1.一條直線的平行線只有一條；②過一點及已知直線平行的直線只有一條；③因為a//b，c//d，所以a//d；④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線及已知直線平行。A.1個B.2個C.3個D.4個知識點四：平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，假如同位角相等，則這兩條直線平行，即同位角相等，兩直線平行。符號語言：∵∠1=∠2，∴l(xiāng)//l。判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，假如內(nèi)錯角相等，則這兩條直線平行，即內(nèi)錯角相等，兩直線平行。符號語言：∵∠2=∠3，∴l(xiāng)//l。判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，假如同旁內(nèi)角互補，則這兩條直線平行，即同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。符號語言：∵∠2+∠4=180°，∴l(xiāng)//l。例：如圖所示：依據(jù)下列條件，可推出哪兩條直線平行，并說明依據(jù)。（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180°；（3）∠ABC=∠DCE知識點五：平行線判定方法的推論推論：在同一平面內(nèi)，假如兩條直線都垂直及同一條直線，則這兩條直線平行。符號語言：∵a⊥c，b⊥c，∴a//b。知識點六：推斷兩條直線平行的方法1,定義；2,假如兩條直線都及第三條直線平行，則這兩條直線平行；3,同位角相等，兩直線平行；4,在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；5,內(nèi)錯角相等，兩直線平行；6,同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。例：如圖，∠1=∠A，∠2及∠B互余，DE⊥BC于點F，試確定圖中哪些直線平行，并說明理由。練習(xí)：1,下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）（1）兩條不相交的直線叫做平行線；（2）過一點有且只有一條直線及已知直線平行；（3）在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條射線是平行線；（4）假如兩條直線都及第三條直線平行，則這兩條直線也相互平行。A.1B.2C.3D.42,如圖1，由下列條件可判定哪兩條直線平行？(1)∠1=∠3；（2）∠2=∠43,對于圖2中的標記的各角，下列條件能夠推理得到a//b的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠1+∠4=180°4,如圖3所示，已知∠1=∠2，則圖中相互平行的線段是__________.5,如圖4所示，能判定EB//AC的條件是()A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE6,如圖5所示，下列條件中能推斷直線l//l的是（）A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°D.∠3=∠57,如圖6，已知∠ACD=70°，∠ACB=60°，∠ABC=50°，求證：AB//CD8,如圖7所示，若∠B=102°，∠1=78°，則AB及CD平行嗎？請說明理由。知識點1：平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，即兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵l//l，∴∠1=∠2。性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，即兩直線平行，內(nèi)錯角相等。幾何語言：∵l//l，∴∠3=∠2。性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，即兩直線平行，同旁內(nèi)角相等互補。幾何語言：∵l//l，∴∠4+∠2=180°。例：如圖所示，假如AB//EF，DE//BC，且∠4=115°，則你能說出∠1,∠2,∠3的度數(shù)嗎？為什么？兩角間的數(shù)量關(guān)系兩直線間的位置關(guān)系知識點2：命題定義：推斷一件事情的語句，叫做命題。組成：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項。表達形式：通常寫成“假如……則……”的形式，這時“假如”后接的部分是題設(shè)，“則”后接的部分是結(jié)論。分類：假如題設(shè)成立，則結(jié)論確定成立的命題，叫做真命題，反之，命題中題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論確定成立的命題叫做假命題。留意：（1）命題必需是一個完整的句子，是對事情作出確定或否定的推斷。（2）命題一般為陳述句，其他如疑問句,感嘆句,祈使句以及表示畫圖的語句都不是命題。例：指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并將其改寫為“假如……則……”的形式。同位角相等；等角的余角相等；直角相等；兩點確定一條直線知識點3：定理及證明定理：經(jīng)過推理證明得到的真命題叫做定理。證明：一個命題的正確性，須要經(jīng)過推理，才能作出推斷，這個推理的過程叫做證明。留意：（1）定理都是真命題，但真命題不確定都是定理。（2）證明中的每一步都要依據(jù)，這些依據(jù)可以已知條件，也可以是學(xué)過的定義，定理等。例：填寫下列證明過程中的推理依據(jù)。如圖：已知AC,BD相交于點O，DF平分∠CDO及AC相交于點F，BE平分∠ABO及AC相交于點E，∠A=∠C.求證：∠1=∠2。證明：∵∠A=∠C（已知）∴AB//CD(______________________________________)∴∠ABO=∠CDO（___________________________________）又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO（已知）∴∠1=∠CDO，∠2=∠ABO（_______________）∴∠1=∠2（等量代換）。實力點1兩條平行線間的距離同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離。例：如圖所示，直線l//l，點A，B在直線l上，點C，D在直線l上，若△ABC的面積為S，△ABD的面積為S，則（）A.S＞SB.S=SC.S＜SD.不確定例：下列命題中：①鄰補角是互補的角；②相等的角是對頂角；③同位角相等；④兩銳角的和不確定是鈍角。其中正確的個數(shù)是（）0B.1C.2D.3練習(xí)：1,如圖，已知直線a，b被直線c所截，以下結(jié)論正確的有（）。①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠2=∠3；④∠3+∠4=180°A.1個B.2個C.3個D.4個2,如圖所示，直線a//b，∠1=70°，求∠2的度數(shù)。推斷下列語句是否是命題，假如是，請寫出它的題設(shè)和結(jié)論，并推斷真假。內(nèi)錯角相等；（2）對頂角相等；（3）畫一個60°的角如圖，AB//CD，MN和PQ分別平分∠EMB和∠EPD，求證：MN//PQ.5,如圖1所示，直線AB//CD，直線EF分別交直線AB，CD于點E，F(xiàn)，過點F作FG⊥FE，交直線AB于點G，若∠1=42°，則∠2的大小是（）A.56°B.48°C.46°D.40°6,如圖2所示，已知直線a,b被直線c所截，a//b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（）。A.30°B.60°C.120°D.150°7,如圖3所示，直線a⊥直線c，直線b⊥直線c，若∠1=70°，∠2=（）。A.70°B.90°C.110°D.80°8,如圖3所示，已知AB//CD，AD和BC相交于點O，∠A=50°，∠AOB=105°，則∠C等于（）A.20°B.25°C.35°D.45°9,如圖4所示，直線a,b被直線c所截，a//b，∠1=∠2，若∠3=40°，則∠4等于（）A.40°B.50°C.70°D.80°10,如圖5，AB//CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，則∠ACD的度數(shù)為()A.40°B.35°C.50°D.45°知識點1平移的概念在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某始終線方向移動，會得到一個新的圖形，圖形的這種移動，叫做平移。如圖，三角形ABC沿直線MN方向平移到三角形ABC,點A及點A叫做對應(yīng)點，點B,C及點B,C也分別是對應(yīng)點；線段AB及線段AB是對應(yīng)線段，線段BC，CA及線段BC，CA也分別是對應(yīng)線段；∠A及∠A是對應(yīng)角，∠B，∠C及∠B，∠C也分別是對應(yīng)角。三角形ABC平淡方向也可以看成有點A（或B，C）到點A（或B，C）的方向，平移的距離就是線段AA(或BB，CC)的長度留意：（1）平移是一種運動形式，是圖形變換的一種狀況；圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)。圖形的平移是指圖形的整體平移圖形的平移實質(zhì)是將圖形上全部點沿同一方向移動相同的距離。例：下列運動不是平移的是（）傳送帶上物品的運動；②電梯的升降；③火車在平直的鐵軌上運行；④門圍著門框旋轉(zhuǎn)；⑤奧運五環(huán)旗圖案的形成過程；⑥電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動①②B.③④C.④⑥D(zhuǎn).③⑤知識點2平移的性質(zhì)平移中的對應(yīng)點：新圖形中的每一點都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點。平移的性質(zhì)：因為平移前后兩個圖形的大小,形態(tài)完全相同，所以平移前后的對應(yīng)線段平行（或在同始終線上）且相等，對應(yīng)角相等。圖形上的每個點都平移了相同的距離，對應(yīng)點之間的距離就是平移的距離；圖形平移前后對應(yīng)點所連的線段平行（或在同始終線上）且相等。例：如圖所示，圖中有兩個梯形ABCD和EFGH，其中梯形EFGH是由梯形ABCD向右平移2.1cm后得到的，問：線段AE,BF,CG,DH有什么數(shù)量關(guān)系？AB及EF,BC及FG,CD及GH,AD及EH之間有什么位置關(guān)系？∠BAD及∠FEH,∠ABC及∠EFG,∠BCD及∠FGH,∠ADC及∠EHG之間有什么數(shù)量關(guān)系？知識點3平移作圖平移作圖步驟：一找：找出平移的方向和距離；二定：比照詳細圖形，確定關(guān)鍵點；三移：依據(jù)既定方向和距離平移圖形中的關(guān)鍵點；四連：順次連接關(guān)鍵點的對應(yīng)點，得到平移后的圖形。例：如圖所示，平移三角形ABC，使點A移動到A，畫出平移后的三角形ABC。練習(xí)：下列現(xiàn)象不屬于平移的是（）A.小華乘電梯從一樓到三樓B.足球在操場上沿直線滾動C.一個鐵球從高處自由下落D.小摯友坐滑梯下滑2,如圖，三角形ABE沿著BC方向平移到三角形FCD的位置，若AB=4cm，AE=3cm，BE=2cm，BC=5cm，則CF,CD,DF,EF的長分別是多少？下列運動：①海浪的運動；②屏幕上一串移動的字幕；③被投擲出去的鉛球運動；④沿圓形跑道跑步的運動員，其中屬于平移的有_________4,如圖所示，三角形FDE經(jīng)過怎樣的平移可以得到三角形ABC？（）A.沿EC的方向移動DB長B.沿BD的方向移動BD長C.沿EC的方向移動CD長D.沿BD的方向移動DC長5,下列說法中，不正確的是（）A.圖形平移前后，對應(yīng)線段,對應(yīng)角相等B.圖形平移后，連接對應(yīng)點的線段平行（或在同一條直線上）且相等C.圖形平移過程中，對應(yīng)線段確定平移D.圖形不論平移到何處，它及原圖形的面積總是相等的6,如圖所示，將周長為8的△ABC沿BC方向平移1個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（）A.6B.8C.10D.127,如圖所示，將△ABC沿直線AB向右平移后到達△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，則∠CBE的度數(shù)為________復(fù)習(xí)專題一：相交線兩直線相交成四個角：位置上來看，其中兩對角的兩邊互為反向延長線，這樣兩對角叫對頂角；還有四對角，每對角都有一條公共邊，另一對邊互為反向延長線，這樣四對角稱為鄰補角。從大小來看對頂角相等，鄰補角互補。垂直是相交的特別狀況，當兩直線相交成90°角時，這兩條直線就相互垂直了?？梢詫懗伞摺螦OB=90°∴AO⊥OB，或∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°。例：如圖，已知直線AB及CD相交于點O，EO⊥CD于O，OF平分∠AOD且∠BOE=50°，求∠COF的度數(shù)。復(fù)習(xí)專題二：平行線的判定推斷兩直線平行目前有6種方法：是利用平行的定義（在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線），但是利用平行的定義只能定性地推斷，不能定量的推斷；是利用“平行于同一條直線的兩條直線相互平行”，是探討三條直線相互平行時常用的方法；利用同位角相等來證明兩直線平行；利用“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行”，運用時必定出現(xiàn)兩個垂直；利用內(nèi)錯角相等來證明兩直線平行；利用同旁內(nèi)角互補來證明兩直線平行。1,2,4的方法運用有局限性，一般都是依據(jù)角度關(guān)系來證明兩直線平行。例：如圖，∠B=∠C，∠DAC=∠B+∠C，AE平分∠DAC，試說明AE//BC。復(fù)習(xí)專題三：平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補，因此平行線性質(zhì)最直接的運用是：已知兩直線平行，可以推斷出角相等或互補。平行線的性質(zhì)是證明不同頂點的兩個角相等的常用工具。例：已知，如圖AB//CD，OE平分∠AOC，OE⊥OF，點O為垂足，∠C=50°，求∠AOF的度數(shù)。復(fù)習(xí)專題四：平移學(xué)習(xí)了平移的概念，平移的基本特征以及運用平移作圖。確定平移的因素是平移的方向和平移的距離，平移不改變圖形的形態(tài)和大小，平移前后的對應(yīng)點的連線段以及對應(yīng)線段平行（或在同條直線上）且相等。例：如圖，將字母k按箭頭所指方向平移1.8cm，作出平移后的圖形。復(fù)習(xí)專題五：方程思想方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當設(shè)元建立方程，然后通過解方程使問題得到解決的思維方式。例：如圖，F(xiàn)C//AB//DE，∠α：∠D：∠B=2：3：4，求∠α,∠D,∠B的度數(shù)。復(fù)習(xí)專題六：分類探討思想當被探討的對象包含多種可能狀況，導(dǎo)致我們不能對它們一概而論，必需依據(jù)出現(xiàn)的全部狀況進行分類探討，得出各種狀況下相應(yīng)的結(jié)論。這就是分類探討思想。分類探討思想能使困難,繁瑣的問題條理化,簡單化。例：在∠ABC和∠DEF中，DE//AB，EF//BC，請你嘗摸索究∠ABC和∠DEF的關(guān)系。復(fù)習(xí)專題七：轉(zhuǎn)化思想在幾何推理中，已知條件和要求的結(jié)論之間經(jīng)常須要轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化是常用的推理形式，必要時還須要添加協(xié)助線進行轉(zhuǎn)化。例：如圖，AB//CD，∠1=∠B，∠2=∠D，試說明BE⊥DE。復(fù)習(xí)專題八：數(shù)形結(jié)合思想平行線的判定是由角及角的數(shù)量關(guān)系到“形”的判定，而性質(zhì)則是“形”到“數(shù)”的說理，探討兩直線的垂直或平行的共同點是把探討它們的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化