直線的方程知識清單

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率,直線的方程一,知識清單一,直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角．當(dāng)直線與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)傾斜角的范圍為[0，π)_．2．直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90°的直線沒有斜率．(2)過兩點的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y1－y2,x1－x2).二,直線方程的形式及適用條件名稱幾何條件方程局限性點斜式過點(x0，y0)，斜率為ky－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式斜率為k，縱截距為by＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式過兩點(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式在x軸,y軸上的截距分別為a，b(a，b≠0)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不包括垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)1.求直線方程時要留意推斷直線斜率是否存在，每條直線都有傾斜角，但不肯定每條直線都存在斜率．2．由斜率求傾斜角，一是要留意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性．3．用截距式寫方程時，應(yīng)先推斷截距是否為0，若不確定，則須要分類探討．1．求傾斜角的取值范圍的一般步驟：(1)求出斜率k＝tanα的取值范圍；(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角α的取值范圍．求直線方程的方法主要有以下兩種：(1)直接法：依據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程，再依據(jù)已知條件求出待定系數(shù)，最終代入求出直線方程．解決直線方程的綜合問題時，除敏捷選擇方程的形式外，還要留意題目中的隱含條件，若與最值或范圍相關(guān)的問題可考慮構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值．4．(2012·東北三校聯(lián)考)已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點．(1)當(dāng)△AOB面積最小時，求直線l的方程；(2)當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程．解：(1)設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0，1－2k)，△AOB的面積S＝eq\f(1,2)(1－2k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)(4＋4)＝4.當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)時，等號成立．故直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵|MA|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)，|MB|＝eq\r(4＋4k2)，∴|MA|·|MB|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝2eq\r(k2＋\f(1,k2)＋2)≥2×2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝eq\f(1,k2)，即k＝－1時取等號，故直線方程為x＋y－3＝0.[典例](2012·西安模擬)設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．[嘗試解題](1)當(dāng)直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，此時截距相等．故a＝2，方程即為3x＋y＝0.當(dāng)直線不過原點時，由截距存在且均不為0，得eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.綜上，l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＞0，,a－2≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，,a－2≤0.))∴a≤－1.綜上可知，a的取值范圍是(－∞，－1]．——————[易錯提示]———————————————————————————1.與截距有關(guān)的直線方程求解時易忽視截距為零的情形.如本例中的截距相等，當(dāng)直線在x軸與y軸上的截距為零時也滿意.2.常見的與截距問題有關(guān)的易誤點有：“截距互為相反數(shù)”；“一截距是另一截距的幾倍”等，解決此類問題時，要先考慮零截距情形.留意分類探討思想的運用.—————————————————————————————————————第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系一,兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)A2B2≠0時，記為\f(A1,A2)≠\f(B1,B2)))垂直k1＝－eq\f(1,k2)或k1k2＝－1A1A2＋B1B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)B1B2≠0時，記為\f(A1,B1)·\f(A2,B2)＝－1))平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)A2B2C2≠0時，記為\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)≠\f(C1,C2)))重合k1＝k2且b1＝b2A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)A2B2C2≠0時，記為\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)＝\f(C1,C2)))二,兩條直線的交點設(shè)兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，兩條直線的交點坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0))的解，若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；反之，亦成立．三,幾種距離1．兩點間的距離平面上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式：d(A，B)＝|AB|＝eq